Hay un triángulo ABC, con dos puntos D y E en BC. ¿Puedes probar AB + AC> AD + AE?

Answer 1

No, porque no es verdad. Si D y E en su diagrama se mueven muy cerca de B, entonces claramente AD + AE> AB + AC.

Editar: La pregunta se ha modificado para decir que E está más cerca de C y D está más cerca de B. Sin embargo, la afirmación aún no es cierta. El punto D podría estar bastante cerca de B, en cuyo caso AE debe ser solo un poco más largo que AC.

La condición que estás buscando es que BD = EC. Esta condición es suficiente, y también es necesaria para condiciones que no involucran a A. Para ver que es necesario, coloque A arbitrariamente cerca de la línea BC, más allá de C; entonces AD + AE – AB – AC se vuelve arbitrariamente cerca de EC – BD. O colóquelo en el mismo lado que B, y obtendrá BD – EC. Entonces esta cantidad debe ser arbitrariamente cercana a cero.

Para ver que la condición es suficiente, lo probaremos cuando la distancia sea épsilon. Esto establecerá que la suma AD + AE es una función decreciente de BD = EC. La derivada de esta función se calcula fácilmente como – (cos ABC + cos ACB), que es negativa a menos que ABC o ACB sean obtusos. WLOG ACB es obtuso. Entonces, el suplemento de ACB es ABC + CAB, y en particular es mayor que el ángulo ABC. Por lo tanto cos (180˚-ACB) – cos ABC es negativo, porque cos es una función decreciente en (0,180˚).

Estoy seguro de que Anders Kaseorg puede darle una mejor prueba.

Answer 2

Hola, Michael tiene toda la razón, pero me gustaría señalar que este problema es cierto, o más probablemente la afirmación es cierta si puede dibujar una perpendicular de A a BC que se encuentra entre DE.Ahora si el pie de la perpendicular se encuentra dentro de D y E, entonces el problema es cierto, pero de lo contrario no es válido