¿Existe una interpretación intuitiva de lo que significa la media geométrica?

Answer 1

Aplicaciones de la media geométrica

¿Cuándo se usaría la media geométrica en lugar de la media aritmética? ¿Cuál es el uso de la media geométrica en general?

La media aritmética es relevante cada vez que se suman varias cantidades para producir un total. La media aritmética responde a la pregunta, “si todas las cantidades tuvieran el mismo valor, ¿cuál tendría que ser ese valor para lograr el mismo total?”

De la misma manera, la media geométrica es relevante cada vez que varias cantidades se multiplican para producir un producto. La media geométrica responde a la pregunta, “si todas las cantidades tuvieran el mismo valor, ¿cuál tendría que ser ese valor para lograr el mismo producto?”

Por ejemplo, suponga que tiene una inversión que genera 10% el primer año, 50% el segundo año y 30% el tercer año. ¿Cuál es su tasa de rendimiento promedio? No es la media aritmética, porque lo que significan estos números es que el primer año su inversión se multiplicó (no se agregó) por 1.10, el segundo año se multiplicó por 1.60 y el tercer año se multiplicó por 1.20. La cantidad relevante es la media geométrica de estos tres números.

La pregunta sobre cómo encontrar la tasa de rendimiento promedio puede reformularse como: “por qué factor constante necesitaría multiplicar su inversión cada año para lograr el mismo efecto que multiplicar por 1.10 un año, 1.60 el siguiente y 1.20 el ¿tercero?” La respuesta es la media geométrica . Si calcula esta media geométrica, obtiene aproximadamente 1.283, por lo que la tasa de rendimiento promedio es de aproximadamente 28% (no 30%, que es lo que le daría la media aritmética de 10%, 60% y 20%).

Cada vez que tiene una serie de factores que contribuyen a un producto y desea encontrar el factor “promedio”, la respuesta es la media geométrica. El ejemplo de las tasas de interés es probablemente la aplicación más utilizada en la vida cotidiana.

Aquí hay algunos datos matemáticos básicos sobre la media aritmética y geométrica:

Supongamos que tenemos dos cantidades, A y B. Tomando su media aritmética obtenemos el número ( A + B ) / 2 que se puede interpretar de varias maneras. Una interpretación (probablemente la más común) es que esta cantidad es el punto medio de los dos números vistos como puntos en una línea.

Ahora supongamos que tenemos un rectángulo con lados de longitudes A y B. La media aritmética también se puede interpretar como la longitud de los lados de un cuadrado cuyo perímetro es el mismo que nuestro rectángulo. Del mismo modo, la media geométrica es la longitud de los lados de un cuadrado que tiene la misma área que nuestro rectángulo.

Se sabe que la media geométrica siempre es menor o igual que la media aritmética (la igualdad se mantiene solo cuando A = B ). La prueba de esto es bastante corta y se deduce del hecho de que siempre es un número no negativo. Sin embargo, esta desigualdad puede ser sorprendentemente poderosa y surge de vez en cuando en las pruebas de teoremas en el cálculo.

Preguntado por G. Ellis, estudiante, Southeast Bulloch High el 16 de enero de 1997 :

¿Podría dar la fórmula para la media geométrica de una serie de números si estoy tratando de obtener la tasa de crecimiento anual compuesta para una serie de números que incluyen números negativos?

En general, solo puede tomar la media geométrica de los números positivos. La media geométrica de los números.

es la enésima raíz del producto

.

En su ejemplo, está tomando la media de los números positivos. Por ejemplo, si está mirando una inversión que aumenta un 10% un año y disminuye un 20% el próximo, las tasas de cambio simples son 10% y -20%, pero eso no es lo que está tomando la media geométrica de.

Al final del primer año tienes 1,1 veces más de lo que comenzaste (el original más otra décima parte). Al final del segundo año, tiene 0.8 veces más de lo que comenzó el segundo año (el original menos una quinta parte). Entonces, los números de los que está tomando la media geométrica son 1.1 y 0.8. Esta media es aproximadamente 0.938.

Esto significa que, en promedio, su inversión se multiplica por 0.938 (= 93.8%) cada año, una pérdida de 6.2%.

Entonces, la tasa de crecimiento anual compuesta es (aproximadamente) -6.2%.

Referencia

https://www.math.toronto.edu/mat…

Answer 2

Hay una intuición geométrica:

Multiplicar dos números da el área de un rectángulo. La media geométrica es la longitud de un lado de un cuadrado con la misma área que el rectángulo. Por ejemplo, el área de un rectángulo de lados que tiene una longitud de 4 unidades y 9 unidades es de 36 unidades. La longitud de un lado de un cuadrado con la misma área es de 6 unidades, es decir, la media geométrica.

Para la multiplicación de tres números, dé el volumen de un cuboide rectangular. Su media geométrica es la longitud de un lado de un cubo con el mismo volumen.

Para la multiplicación de más de tres números, debe ir al hipervolumen.

Answer 3

Es la longitud del lado del cuadrado / cubo / (figura correspondiente n-dimensional) que tiene la misma área / volumen / (volumen correspondiente n-dimensional) que el rectángulo / prisma rectangular / (figura correspondiente n-dimensional) cuyos lados tener longitudes del conjunto de números dado.

Ejemplo: un rectángulo tiene lados de longitud 2 y 3, área = 2 * 3 = 6 unidades cuadradas. Un cuadrado con la misma área tendría lados de longitud SQRT (6) unidades cuadradas. La media geométrica de 2 y 3 es SQRT (2 * 3) = SQRT (6).

Un prisma rectangular tiene lados de longitud 2, 3 y 5. El volumen es de 30 unidades cúbicas. La longitud de los lados de un cubo con el mismo volumen es la raíz cúbica de (2 * 3 * 5) unidades, y la raíz cúbica de 30 es la media geométrica de 2, 3 y 5.

Significado geometrico

Answer 4

Los medios geométricos tienen sentido cuando la relación fundamental entre los puntos de datos es de multiplicación en lugar de suma. Por ejemplo, al combinar tasas de interés de año en año o al construir una apuesta múltiple a partir de varias apuestas individuales.

También hay una construcción geométrica ordenada en un círculo que relaciona cuatro medios diferentes de dos números reales positivos. Puede encontrarlo en mi respuesta a ¿Cómo funciona el “significado armónico” o el “significado de subcontrato”?

Answer 5

Si su riqueza se duplica en el año 2013 y luego se triplica en el año 2014, ¿qué factor se multiplica por año en promedio? (Respuesta: la media geométrica de 2 y 3.)