Un cubo, de un centímetro de lado, se corta en 2 mitades iguales de tal manera que el corte en el medio forme un hexágono regular. ¿Cuál es el área del hexágono regular?

Answer 1

El corte es perpendicular a una diagonal principal del cubo. Si los vértices del cubo son [matemática] (\ pm 1/2, \ pm 1/2, \ pm 1/2) [/ matemática], entonces el corte puede tomarse como el plano [matemático] x + y + z = 0 [/ matemática] y los vértices del hexágono regular serían entonces [matemática] (1 / 2,0, -1 / 2) [/ matemática], [matemática] (1/2, -1 / 2 , 0) [/ matemática], [matemática] (0, -1 / 2,1 / 2) [/ matemática], [matemática] (- 1 / 2,0,1 / 2) [/ matemática], [matemática ] (- 1 / 2,1 / 2,0) [/ matemáticas] y [matemáticas] (0,1 / 2, -1 / 2) [/ matemáticas].

La longitud del lado del hexágono es la distancia entre vértices adyacentes, por ejemplo, entre [matemática] (1 / 2,0, -1 / 2) [/ matemática] y [matemática] (1/2, -1 / 2, 0) [/ math], [math] \ sqrt {1/4 + 1/4} = 1 / \ sqrt {2} [/ math]. El área de un hexágono regular de longitud lateral [matemática] s [/ matemática] es [matemática] s ^ 2 3 \ sqrt {3} / 2 [/ matemática]. Entonces, el área del hexágono es [matemática] 3 \ sqrt {3} / 4 = 1.299 [/ matemática].

Esto es mayor que el área de las caras cuadradas del cubo. De hecho, una unidad cuadrada realmente cabe dentro de este hexágono. Entonces, puede hacer que un cubo pase a través de un cubo, dejando una rosquilla topológica con un agujero cuadrado. Vea el cubo del Príncipe Rupert, que muestra que puede hacerlo incluso mejor que un corte perpendicular.