Geometría: ¿Cuál es el número máximo de piezas que una esfera se puede cortar en superficies triangulares idénticas (con la misma longitud y forma de los bordes)? ¿Es una pregunta adecuada?

EDITAR: Creo que debo haber leído mal la pregunta cuando escribí esto. Lo que he escrito a continuación es cierto, pero parece estar vagamente relacionado con la pregunta real que se hizo. Como al menos otra respuesta ha hecho referencia a esto, lo dejaré por ahora, posiblemente con mejoras pendientes.


Si imagina tomar un sólido platónico, como, por ejemplo, un cubo:

y luego “inflarlo” hasta obtener una esfera:


entonces esto te da una teselación regular de la esfera. Como hay cinco sólidos platónicos, esto le da cinco mosaicos distintos. Además, también existe la familia infinita de teselaciones de “pelota de playa”:

(infinito porque puede elegir cualquier número de cuñas, no solo el patrón que se muestra con seis cuñas). Estas son las únicas teselaciones regulares de la esfera.

Por supuesto, también hay teselaciones irregulares con cada pieza de la misma forma; por ejemplo, toma la teselación de pelota de playa y dibuja el ecuador, cortando cada cuña en dos triángulos.

Haz lo que Dan, sugiere el doctorado en ciernes, pero usa el icosaedro para hacer los triángulos que buscas. Este es el sólido platónico con la mayoría de las caras y la mayoría de las caras triangulares (equiláteras): 20. Este es el número máximo de triángulos esféricos equiláteros en los que puede cortar una superficie esférica.
Los balones de fútbol a menudo tienen 12 paneles pentagonales y 20 paneles hexagonales. Este es el patrón que obtienes si cortas los vértices de un icosaedón. Creo que usan esta disposición porque un mayor número de paneles produce una forma más esférica para la pelota, y también hace que la construcción sea más fuerte porque solo tres paneles se encuentran en cada intersección.
BALÓN DE FÚTBOL ICOSAEDRO

Solo especificó que los triángulos deben ser idénticos, no que deben ser equiláteros. Todo sólido catalán tiene caras idénticas. El que tiene el mayor número de caras es el triacontaedro disdyakis , cuyas caras son 120 triángulos escalenos congruentes. Cuando se proyectan sobre una esfera, estos triángulos tienen lados (en radianes)
[matemáticas] \ tan ^ {- 1} \ frac {3 – \ sqrt 5} {2}, \ tan ^ {- 1} \ frac {\ sqrt 5 – 1} {2}, \ tan ^ {- 1} (3 – \ sqrt 5) [/ matemáticas].

Puede obtener un número infinito, supongo, utilizando la simetría * 2 2 n, para valores grandes de n. Para superar * 2 3 5 (que es la respuesta habitual aquí), n debe ser mayor que 30.