¿Qué teoremas en matemáticas tienen varias pruebas (aparte del teorema de Pitágoras y la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss)?

Answer 1

La gran mayoría de los teoremas principales tienen varias pruebas conocidas. A menudo, la primera prueba es muy técnica y complicada, y la gente luego mejora y encuentra pruebas más simples.

Como ejemplo, el teorema del número primo. Varias personas, entre ellas Dirichlet, Chebyshev y Riemann, hicieron el trabajo inicial sobre esto, pero fue demostrado por primera vez por Hadamard y de forma independiente (y diferente) por de la Vallée-Poussin, ambos en 1896. Estas pruebas fueron largas, complicadas y técnicas. Se realizaron varias mejoras, pero nada importante hasta mediados del siglo XX, cuando se encontraron varias pruebas elementales, incluidas Selberg, Erdős y Newman.

Este es un ejemplo bastante típico de la evolución de la prueba de un teorema mayor. Cada vez que alguien prueba algo importante, pero no puede dar una prueba elegante, siempre hay alguien que trabajará en ello y tratará de encontrar uno, y muchas veces tendrá éxito.

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta anterior. La mayoría de los teoremas tienen múltiples pruebas.

De hecho depende del tema. Básicamente, son posibles múltiples pruebas porque todos los campos están interrelacionados. Dejame darte un ejemplo simple:

El teorema es la suma de todos los números naturales hasta n es n * (n + 1) / 2. Veamos varias formas de probarlo aquí:

Prueba 1: el método es la inducción . Estoy seguro de que todos lo saben. Esta es una prueba normal por cálculo.

Prueba 2: Esto se llama prueba combinatoria . Este es en realidad un método muy famoso de pruebas. La forma en que funciona es que usted toma algo, cuenta que es igual a LHS, cuenta que es igual a RHS, por lo tanto, pruebe que LHS es igual a RHS. En nuestro ejemplo, digamos que tienes n + 1 bolas. El número de formas de seleccionar dos bolas es (n + 1) C2, que es n * (n + 1) / 2. Ahora vamos a contarlo de otra manera. Numeremos las bolas anteriores de 1 a n + 1. Ahora, permita que varias formas de recoger dos bolas, de modo que la diferencia entre ellas sea “i”, sea S (i). Sabemos,

S (i) = (n + 1) – i.
suma (S (i)) = 1 + 2 + …………. + n, que sabemos es igual a n * (n + 1) / 2.

Incluso un teorema tan simple como el anterior tiene múltiples pruebas. Tienes múltiples pruebas para casi cualquier teorema.

Answer 3

Teorema binomial
1> natural utilizando combinatoria
2> natural usando probabilidad
3> natural usando inducción
3> racional usando la técnica de Euler (Referir Hall y Knight)
4> General usando Taylor Expansion