Fractales: ¿Por qué el área total de un copo de nieve Koch nunca excederá 8/5 del copo de nieve de la etapa 0 original?

Answer 1

Si construimos dos copos de nieve Koch de área [matemática] K [/ matemática] en triángulos de área [matemática] T [/ matemática], y un copo de nieve Koch más grande de área [matemática] 3K [/ matemática] en un triángulo de área [ matemática] 3T [/ matemática], entonces podemos colocar estos tres copos de nieve juntos a lo largo de su límite auto-similar, cortarlos y reorganizarlos en un rombo de área [matemática] 8T [/ matemática]. Entonces [matemáticas] K + K + 3K = 8T [/ matemáticas] y [matemáticas] K = \ tfrac85 T [/ matemáticas].

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Como nota al margen, este rombo es una célula primitiva de la teselación plana con copos de nieve Koch de áreas [matemáticas] K [/ matemáticas] y [matemáticas] 3K [/ matemáticas]:

Answer 2

Aquí hay una foto de un copo de nieve Koch ‘intermedio’. Deje que el área del triángulo equilátero ‘etapa original 0’ sea [matemática] A [/ matemática].

Ahora, las áreas de los triángulos de la etapa 1 son obviamente [matemáticas] \ frac {A} {9} [/ matemáticas]. Hay [matemáticas] 3 [/ matemáticas] tales triángulos. A continuación, las áreas de los triángulos de la etapa 2 son [matemáticas] \ frac {A} {81} [/ matemáticas]. Hay [matemáticas] 12 [/ matemáticas] tales triángulos. A continuación, hay [matemática] 48 [/ matemática] etapa 3 triángulos de área [matemática] \ frac {A} {243} [/ matemática]. En general, excepto en la primera iteración, donde se agregan [matemática] 3 [/ matemática] tantos triángulos como en la iteración cero, en la iteración [matemática] (n + 1) th [/ matemática], [matemática] Se agregan 4 [/ math] veces tantos triángulos como en la iteración [math] nth [/ math]. Por lo tanto, en la iteración [matemática] (n + 1) th [/ matemática], [matemática] 3 * 4 ^ n [/ matemática] triángulos de área [matemática] \ frac {A} {9 ^ {n + 1} } [/ math] se agregan.

Combinando estos dos, el área total agregada en la iteración [matemática] (n + 1) [/ matemática] es [matemática] (3 * 4 ^ n) * (\ frac {A} {9 ^ {n + 1} }) = (\ frac {A} {3}) * (\ frac {4} {9}) ^ n [/ math].

Al agregar todas las áreas agregadas en todas las iteraciones infinitas, obtenemos una serie infinita para el área del copo de nieve de Koch.

Área total = [matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 0} ^ {n} \ frac {A} {3} \ left (\ frac {4} {9} \ right) ^ n [/matemáticas]

Esta es una suma simple de todos los términos de una serie geométrica infinita, que resulta en [matemáticas] \ frac {8} {5} A [/ matemáticas]. Por lo tanto, el área total de todo el copo de nieve de Koch siempre será [matemática] \ frac {8} {5} [/ matemática] veces el área del triángulo equilátero de la etapa 0 original. Nunca será menos que eso, y nunca será más que eso.

He omitido el cálculo de esta suma, ya que es puramente mecánico, y supongo que la pregunta se ha respondido adecuadamente al llegar a la suma de series infinitas.

Answer 3

Considere el análogo del copo de nieve de Koch construido en un solo borde inicial en lugar de un triángulo completo (llamémoslo un golpe de Koch):

Tenga en cuenta que una protuberancia de Koch consiste en un triángulo equilátero “principal”, más 4 protuberancias de Koch más pequeñas, cada una 3 veces menor en longitud (por lo tanto, [matemática] 3 ^ 2 = 9 [/ matemática] veces más pequeña en área). [El triángulo principal es el que sobresale en la etapa 1. Luego, las 4 protuberancias Koch más pequeñas son las que se construyen en los 4 bordes presentes en la etapa 1]. Entonces, las cuatro protuberancias Koch más pequeñas contienen cada una 1/9 del área grande de la protuberancia Koch, mientras que el triángulo principal contiene las otras 5/9. Tenga en cuenta que algunas de esas protuberancias Koch más pequeñas se construyen a los lados de ese triángulo principal; así, vemos que el área de una protuberancia de Koch en el lado de un triángulo equilátero es 1/5 del área de ese triángulo.

En un copo de nieve de Koch, tenemos un triángulo equilátero central, más protuberancias de Koch en sus tres lados. Agregando el área de las tres protuberancias de Koch al triángulo central, obtenemos un área total de 8/5 tan grande como el triángulo central.

Answer 4

Estos son los cálculos correctos para mostrar que el área total de un copo de nieve koch nunca excederá 8/5 del Área original. Recientemente tuve que hacer esto en una asignación de Matemáticas C del año 11. Fue clasificado como un estándar A- Complejo no rutinario

Sabemos que el área de un triángulo es la base multiplicada por la altura dividida por 2.
A = bxh / 2

A0 es igual a la raíz 3 en 4, ya que sabemos que un triángulo es en primer lugar raíz 3/2 dividido por 2 para hacerlo raíz 3 en 4. (Este es el A0)

Sabemos que el área sigue dividiéndose por 1/3 cada vez.

A1 es igual a 1 x 1/3 x raíz 3/2 x 1/3 todo dividido por 2
A1 ahora es igual a la raíz 3 en 4 multiplicada por 1/9 multiplicada por 3, a medida que aumenta la cantidad de lados. Esta es ahora la raíz 3 en 4 x 1/3. Esto es final

Encontrará que hay un patrón en cada etapa.

12 A2 = 1 x 1/3 x 1/3 x raíz 3/2 x 1/3 x 1/3 todo dividido por 2
12 A2 = raíz 3 en 4 x 1/3 a la potencia de 4 que es igual a raíz 3 en 4 x 1/9 al cuadrado x (3 x 4 Cantidad de lados)
12 A2 = Raíz 3 en 4 x 1/81 (1/9 al cuadrado) multiplicado por 12.
12 A2 = Raíz 3 en 4 x 4/27 (Esta es la respuesta final para la Etapa 2)

48 A3 = (1 x 1/3 x 1/3 x 1/3) x Raíz cuadrada 3 en 2 x (1/3 x 1/3 x 1/3) todo dividido por 2 nuevamente.
48 A3 = raíz 3 en 4 x 1/9 en cubos x 48 (Cantidad de lados)
48 A3 = raíz 3 en 4 x (1/9 x 1/9 x 1/9 x 48)
48 A3 = raíz 3 en 4 x 16/243

Área Total = Raíz 3 en 4 + Paréntesis [raíz 3 en 4 x 1/3, raíz 3 en 4 x 4/27, raíz 3 en 4 x 16/243 y así sucesivamente para la siguiente etapa) ¿Puedes ver el patrón todavía? ?.

Área Total = A0 + (1/3 A0 + 4/27 A0 + 16/243 AO y así sucesivamente)
Iría a 64/2187 si comprende el patrón solo para asegurarse de que está mostrando el patrón lo suficiente para su maestro / marcador.

También sabemos que esta es una progresión geométrica o un médico de cabecera.
Sabemos que el Término 1 es un 1/3 AO. Sabremos tratar de encontrar la proporción para asegurarnos de que sea un GP.
Por lo tanto, el Término 2 / Término 1 es;
27/2 dividido por 1/3 AO que es igual a 4/9.

Ahora usaremos S para el Infinito = a dividido por 1-R
S al infinito = 1/3 AO dividido por 1-4 / 9
S al infinito = 1/3 AO x 9/5 = 3/5 AO

Por lo tanto, el copo de nieve de Koch nunca excederá 8/5 de su área original A0.
Esta es la solución completa, envíenos cualquier pregunta si tiene alguna inquietud.

Salud,