Resulta que estás haciendo un tipo de pregunta diferente al del área de un círculo, aunque al principio puede no parecer así. Ambos se preguntan por qué la fórmula es lo que es, ¿verdad?
Para ver la diferencia, regrese a la pregunta del área de un círculo por un momento. Sus
[matemáticas] A = \ pi r ^ 2 = (\ pi r) r = (\ frac {circunferencia} {2}) (radio) [/ matemáticas]
Es la última parte lo que importa. Aquí está la foto de Strogatz:
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Como notó, en realidad no dice nada sobre el número [math] \ pi [/ math]. Simplemente dice que el área de un círculo es la mitad de la circunferencia multiplicada por el radio. (Eso es largo * ancho de su rectángulo). En otras palabras, encuentra una propiedad de un círculo (el área) en términos de algunas otras propiedades de ese círculo (la circunferencia y el radio). Podría haber escrito el artículo completo sin mencionar [matemáticas] \ pi [/ matemáticas], y en su lugar deriva la fórmula [matemáticas] A = \ frac {C r} {2} [/ matemáticas].
La pregunta de por qué [matemáticas] C = 2 \ pi r [/ matemáticas] es muy diferente. Esa fórmula es una definición: define [matemáticas] \ pi [/ matemáticas]. La fórmula para el área no era una definición, por lo que podría derivarse. La fórmula para la circunferencia no se puede derivar. No podemos cortar un círculo de alguna manera, colocarlo, señalar una parte y decir: “Mira, aquí está la circunferencia, y ahora podemos ver claramente que tiene una longitud [matemática] 2 * \ pi * r [ /matemáticas]!” No hay una forma concebible de hacerlo porque dependería de alguna otra concepción de lo que [matemática] \ pi [/ matemática] es aparte de ser esta relación en un círculo, pero la relación es, de hecho, la definición. Preguntar por qué [matemática] C = 2 \ pi r [/ matemática] es como preguntar por qué un ponche es cuando el bateador recibe tres golpes. Eso es exactamente lo que es. Por lo tanto, no podemos probar que [matemáticas] C = 2 \ pi r [/ matemáticas], pero podemos probar que tal definición tiene sentido.
Cuando definimos [math] \ pi = \ frac {C} {2 r} [/ math], estamos haciendo una declaración de que [math] \ frac {C} {2 r} [/ math] es lo mismo para cada circulo Pero si dibujo un círculo grande por aquí y dibujas uno pequeño por allá, ¿por qué deberían tener la misma relación de circunferencia a radio? Tenemos que demostrar que lo hacen si queremos que nuestra definición sea buena.
Probar que todos los círculos tienen la misma proporción es esencialmente demostrar que las formas pueden ser similares. Strogatz usó esto como una suposición tácita cuando hizo cosas como deslizar piezas para hacer rectángulos en su artículo sobre el área de un círculo.
La similitud es una propiedad especial de la geometría euclidiana; No es cierto en otras geometrías. Es equivalente al teorema de Pitágoras, y creo que los usos sorprendentes del teorema de Pitágoras hacen un buen trabajo al explicar eso. En cuanto a por qué el Teorema de Pitágoras es verdadero, elige tu prueba favorita (¡pero asegúrate de que no se base en la similitud)! No conozco ninguna forma simple y visual de mostrar que esta relación es constante, aparte de las que plantean la pregunta. (Probablemente hay muchos de estos, porque toda nuestra idea de “visualizar” esto está enraizada en la geometría euclidiana. Le aconsejo que no confíe en ninguna prueba visual).
La mayoría de las personas realmente encuentran esto tan intuitivo que nunca se detienen a preguntar por qué es cierto. ¿Alguna vez pensaste que si tirabas de la punta de una brújula de geometría tres veces más lejos del punto, el círculo que formaba no estaría tres veces más lejos? Bueno, no lo sería, si estuvieras dibujando en una geometría no euclidiana.
Dejando a un lado la cuestión de si [math] \ pi [/ math] es un concepto sensato, queremos saber por qué [math] \ pi = 3.141 … [/ math]. Dado que todavía hay preguntas simples pero sin respuesta sobre los decimales de [math] \ pi [/ math], no hay una forma visual simple de darle su representación decimal exacta.
En cambio, aproximamos [math] \ pi [/ math]. Los primeros cálculos de [math] \ pi [/ math] fueron a través del “método de agotamiento”. La gente dibujaba polígonos regulares dentro y fuera de un círculo, así: 
Sabían que la circunferencia verdadera del círculo era más que el perímetro de la forma interior, pero menos que el perímetro de la forma exterior. Al tomar polígonos con muchos lados, puede aproximar [math] \ pi [/ math] con una precisión razonable.
Hoy existen métodos mucho mejores para aproximar [matemáticas] \ pi [/ matemáticas], pero son más difíciles de intuir. Aún así, al observar estas imágenes, debería ser bastante razonable que [math] \ pi [/ math] sea un poco más de tres. Aquí hay una animación de eso:
Imágenes de http://en.wikipedia.org/wiki/Pi y http: //opinionator.blogs.nytimes…