¿Cuál es el número mínimo de mosaicos cuadrados (no necesariamente de las mismas dimensiones) requeridos para cubrir una región rectangular de lados x e y donde x> y?

Answer 1

La pregunta no menciona qué tan grande es x que y también si la longitud de x es un múltiplo integral de y.
Por lo tanto, para hacer que la respuesta sea muy interesante sin perder la precisión (ahora estoy demasiado desempleado en el trabajo) ¡¡Haré poco uso de la física cuántica al final !!
Primero dejemos que x = ky donde k es real y, por supuesto, mayor que 1.
Deje [x] denotar el valor integral de x.
1. [k] número de sqrs son posibles con area (y * y).
Deje a denotar la parte fraccionaria de k.
2. [y / a] número de cuadrados son posibles con área (ay * ay).
Ahora, obviamente, y / a tampoco será integral. Si no fuera así, nuestra respuesta termina aquí con la respuesta final que es [k] + [y / a] cuadrados . ¡Pero la vida no es tan simple!
Sea b la parte no integral de y / a.
3. [ay / b] número de cuadrados son posibles con área (por * por).
¿Ya estás confundido? Sí, ¡podría ser, por desgracia, así son las cosas!
Ahora, si ay / b es un entero, nuestra respuesta termina aquí y el número total de cuadrados será [k] + [y / a] + [ay / b] cuadrados. Pero la vida puede ser realmente irritante a veces y supongamos que ay / b no es integral. ¡Entonces simplemente tenemos que repetir 3 una y otra vez una y otra vez!
Pero, ¿por cuánto tiempo debemos sufrir este cálculo sin fin? La física cuántica al rescate. Según una nueva investigación que se está llevando a cabo, se teoriza que la longitud podría no ser continua como pensamos y que existe la unidad de longitud más pequeña (adecuadamente denominada longitud cuántica). ¡Así que nuestras iteraciones terminarán cuando lleguemos a los cuadrados cuyos lados son de longitud cuántica!
Moraleja de la historia: ¡Cuanto más vaga sea la pregunta, más retorcida será la respuesta! Adios!
PD: Por favor comente si hay algún error en mi método.

Answer 2

Intentaré esbozar si el número mínimo de cuadrados es finito.
Supongamos que x e y son enteros. Decir 10,7. El cálculo va como
10% 7 = 3, 7% 3 = 1, 3% 1 = 0. Por lo tanto, el número de cuadrados es finito {1 * (7 × 7) + 2 * (3 × 3) + 3 * (1 × 1)}. Podemos ver que esto siempre sucederá si x e y son enteros (ya que los términos restantes (3,1,0) disminuyen estrictamente y llegarán a 0).
Si x e y fueran racionales, diga x = a / b, y = c / d, luego, considere el rectángulo de lados a * d, b * c. Como a * d y b * c son enteros, este rectángulo se puede llenar con un número finito de cuadrados. Rectángulo xy es solo una versión a escala del rectángulo ad-bc. Por lo tanto, se puede llenar con el mismo número (finito) de cuadrados.

¿Qué pasa si uno o ambos de x, y es / son irracionales? Sigo trabajando en eso. {El rectángulo 1 / sqrt (2) x sqrt (2) se puede llenar 2 cuadrados. Por lo tanto, todavía puede ser un número finito de cuadrados para x, y irracional.}