Quiero enfatizar que hay una gran diferencia entre las matemáticas de ingeniería y las matemáticas como lo saben los matemáticos. Definiré las matemáticas como “lo que hacen los matemáticos” y supongo que eso es lo que estás tratando de aprender. No pretendo insultarlo, pero los antecedentes que describió significan que probablemente sepa muy pocas matemáticas, si es que las tiene.
Dicho esto, ¡nunca es demasiado tarde para comenzar! Al contrario de lo que otros han estado recomendando, no recomiendo comenzar con el bebé Rudin, especialmente si nunca ha escrito una prueba antes. Diría que sus mejores apuestas son las siguientes:
Principiante absoluto
Con esto quiero decir que tienes poca experiencia, si es que tienes alguna, escribiendo pruebas. No recomiendo muchos de esos libros de “aprender técnicas de prueba” porque a menudo hacen que las matemáticas parezcan una bolsa de trucos ad hoc. Yo recomendaria:
- Matemáticas básicas de Serge Lang (Matemáticas básicas: Serge Lang: 9780387967875: Amazon.com: Libros)
- Teoría de conjuntos ingenua de Halmos (Teoría de conjuntos ingenua (Textos de pregrado en matemáticas) Edición de 1974 de Halmos, PR [1998]: Amazon.com: Libros)
- Geometry Revisited by Coxeter (Geometry Revisited (Mathematical Association of America Textbooks): HSM Coxeter, Samuel L. Greitzer: 9780883856192: Amazon.com: Libros)
Creo que estos libros proporcionan una introducción al pensamiento matemático “en contexto” y deberían ayudarlo a decidir si las matemáticas son realmente para usted.
- ¿Cuál es la relación entre números irracionales y triángulos rectángulos?
- ¿Cuáles son algunos usos de la vida real del teorema de Pitágoras?
- Fractales: ¿Por qué el área total de un copo de nieve Koch nunca excederá 8/5 del copo de nieve de la etapa 0 original?
- ¿Por qué un círculo sigue siendo 360 grados en un sistema métrico mientras que las longitudes se miden en múltiplos de 10?
- ¿Qué deberían saber todos sobre la geometría algebraica?
Principiante
En esta etapa, ya has hecho uno o más de los libros anteriores. Tal vez tengas algo de experiencia escribiendo pruebas de una clase de ingeniería matemática o física. En esta etapa, tiene una sólida comprensión de los fundamentos del precalculo. Al contrario de lo que generalmente se enseña en las escuelas, el cálculo no es necesariamente el único siguiente paso. Yo recomendaria:
- Calculus by Spivak (Calculus, 4ta edición: Michael Spivak: 9780914098911: Amazon.com: Libros)
- Álgebra lineal de Hoffman y Kunze (Amazon.com: Álgebra lineal (2a edición) (9780135367971): Kenneth M Hoffman, Ray Kunze: Libros)
- Concrete Mathematics de Knuth (Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd Edition): Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: 0785342558029: Amazon.com: Libros)
Creo que las dos primeras opciones aquí son absolutamente fundamentales, pero es una lástima que muchos estudiantes de matemáticas nunca estudien matemáticas discretas. Además, las matemáticas discretas son bastante accesibles sin muchos antecedentes, y puede encontrarse trabajando en problemas interesantes con bastante rapidez.
Licenciatura Principal
Este nivel sería para usted si ha completado la etapa de principiante, o lo que es típico de una especialización de matemáticas afiliada en una universidad de investigación. Hay tres “materias básicas” que los grados de matemáticas requieren universalmente. Son:
- Análisis
Mis libros favoritos son: - Principios de análisis matemático de Rudin (Principios de análisis matemático (Serie internacional de matemática pura y aplicada): Walter Rudin: 9780070542358: Amazon.com: Libros)
- Análisis matemático por Apostol (Análisis matemático, segunda edición: Tom M. Apostol: 9780201002881: Amazon.com: Libros)
- Calculus on Manifolds de Spivak (Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus: Michael Spivak: 9780805390216: Amazon.com: Libros)
- Álgebra
Aquí recomendaría: - Abstract Algebra de Dummit and Foote (Amazon.com: Abstract Algebra, 3rd Edition (9780471433347): David S. Dummit, Richard M. Foote: Libros)
- Temas en álgebra de Herstein (Temas en álgebra, 2ª edición: IN Herstein: 9780471010906: Amazon.com: Libros)
- Algebra by Artin (Algebra (2nd Edition): Michael Artin: 9780132413770: Amazon.com: Libros)
- Geometría / Topología
Deberías mirar: - Topología de Munkres (Topología (2a edición): James Munkres: 9780131816299: Amazon.com: Libros)
- Geometría diferencial de do Carmo (Geometría diferencial de curvas y superficies: Manfredo P. Do Carmo: 9780132125895: Amazon.com: Libros)
- Geometría no euclidiana de Coxeter (Geometría no euclidiana (Libros de texto de la Asociación Matemática de América): HSM Coxeter: 9780883855225: Amazon.com: Libros)
No tiene que analizar todo lo anterior, cada uno de esos libros tiene una gran cantidad de sabiduría. Debes apuntar a hacer uno o dos de cada grupo.
Otros estudiantes universitarios
Aquí es donde las cosas comienzan a divergir realmente. Honestamente, con bases sólidas en cada una de las tres áreas anteriores, podría comenzar a abordar los textos de nivel de posgrado en esas materias. En este punto, debe tener suficiente “madurez matemática” para elegir cualquier libro de nivel universitario y comenzar con poca resistencia. Para más variedad, te daré mis libros favoritos en muchas otras áreas en las que un estudiante universitario podría estar interesado:
- Ecuaciones diferenciales
- Ecuaciones diferenciales de Birkhoff y Rota (Ecuaciones diferenciales ordinarias: Garrett Birkhoff, Gian-Carlo Rota: 9780471860037: Amazon.com: Libros)
- Ecuaciones diferenciales parciales de Strauss (Amazon.com: Ecuaciones diferenciales parciales: una introducción (9780471548683): Walter A. Strauss: Libros)
- Probabilidad
- Basic Probability Theory de Ash (Basic Probability Theory (Dover Books on Mathematics): Robert B. Ash: 9780486466286: Amazon.com: Libros)
- Essentials of Stochastic Processes por Durrett (Amazon.com: Essentials of Stochastic Processes (Springer Texts in Statistics) (9781461436140): Richard Durrett: Books)
- Teoría de los números
Teoría de números analíticos por Apostol (Introducción a la teoría de números analíticos (Textos de pregrado en matemáticas): Tom M. Apostol: 9780387901633: Amazon.com: Libros)
Introducción a la teoría de los números por Hardy y Wright (Amazon.com: Una introducción a la teoría de los números (9780199219865): GH Hardy, Edward M. Wright, Andrew Wiles, Roger Heath-Brown, Joseph Silverman: Libros) - Análisis complejo
- Análisis complejo de Stein y Shakarchi (Amazon.com: Análisis complejo (Princeton Lectures in Analysis, No. 2) (9780691113852): Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Libros)
- Análisis complejo de Ahlfors (Análisis complejo: Lars Ahlfors: 9780070006577: Amazon.com: Libros)
- Análisis de Fourier
- Análisis de Fourier por Stein y Shakarchi (Amazon.com: Análisis de Fourier: Una introducción (Princeton Lectures in Analysis) (9780691113845): Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Libros)
- Combinatoria
- Un curso de combinatoria de van Lint y Wilson (Un curso de combinatoria: JH van Lint, RM Wilson: 9780521006019: Amazon.com: Libros)
- Algoritmos
Diseño de algoritmo por Kleinberg y Tardos (Diseño de algoritmo: Jon Kleinberg, Éva Tardos: 9780321295354: Amazon.com: Libros)
Introducción a Algoritmos por CLRS (Introducción a Algoritmos: Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: 9780262033848: Amazon.com: Libros)
Lo anterior no debe considerarse exhaustivo. En este punto, estás en el nivel de la mayoría de los estudiantes de matemáticas de la clase superior.
Después de pasar por lo anterior, estará listo para comenzar a hacer algunas matemáticas reales. Elija un texto de nivel de posgrado, o un trabajo de investigación en el campo de su elección y agréguese. ¡Que te diviertas!
Editar ** Se agregaron enlaces y se corrigieron algunos errores tipográficos.