Soy un ingeniero. Por lo tanto, mi conocimiento de las matemáticas se limita a las matemáticas aplicadas y principalmente al cálculo. Quiero estudiar matemáticas por mi cuenta y comprender bien varios conceptos. ¿Cómo debo hacerlo?

Quiero enfatizar que hay una gran diferencia entre las matemáticas de ingeniería y las matemáticas como lo saben los matemáticos. Definiré las matemáticas como “lo que hacen los matemáticos” y supongo que eso es lo que estás tratando de aprender. No pretendo insultarlo, pero los antecedentes que describió significan que probablemente sepa muy pocas matemáticas, si es que las tiene.

Dicho esto, ¡nunca es demasiado tarde para comenzar! Al contrario de lo que otros han estado recomendando, no recomiendo comenzar con el bebé Rudin, especialmente si nunca ha escrito una prueba antes. Diría que sus mejores apuestas son las siguientes:

Principiante absoluto

Con esto quiero decir que tienes poca experiencia, si es que tienes alguna, escribiendo pruebas. No recomiendo muchos de esos libros de “aprender técnicas de prueba” porque a menudo hacen que las matemáticas parezcan una bolsa de trucos ad hoc. Yo recomendaria:

  • Matemáticas básicas de Serge Lang (Matemáticas básicas: Serge Lang: 9780387967875: Amazon.com: Libros)
  • Teoría de conjuntos ingenua de Halmos (Teoría de conjuntos ingenua (Textos de pregrado en matemáticas) Edición de 1974 de Halmos, PR [1998]: Amazon.com: Libros)
  • Geometry Revisited by Coxeter (Geometry Revisited (Mathematical Association of America Textbooks): HSM Coxeter, Samuel L. Greitzer: 9780883856192: Amazon.com: Libros)

Creo que estos libros proporcionan una introducción al pensamiento matemático “en contexto” y deberían ayudarlo a decidir si las matemáticas son realmente para usted.

Principiante

En esta etapa, ya has hecho uno o más de los libros anteriores. Tal vez tengas algo de experiencia escribiendo pruebas de una clase de ingeniería matemática o física. En esta etapa, tiene una sólida comprensión de los fundamentos del precalculo. Al contrario de lo que generalmente se enseña en las escuelas, el cálculo no es necesariamente el único siguiente paso. Yo recomendaria:

  • Calculus by Spivak (Calculus, 4ta edición: Michael Spivak: 9780914098911: Amazon.com: Libros)
  • Álgebra lineal de Hoffman y Kunze (Amazon.com: Álgebra lineal (2a edición) (9780135367971): Kenneth M Hoffman, Ray Kunze: Libros)
  • Concrete Mathematics de Knuth (Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (2nd Edition): Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik: 0785342558029: Amazon.com: Libros)

Creo que las dos primeras opciones aquí son absolutamente fundamentales, pero es una lástima que muchos estudiantes de matemáticas nunca estudien matemáticas discretas. Además, las matemáticas discretas son bastante accesibles sin muchos antecedentes, y puede encontrarse trabajando en problemas interesantes con bastante rapidez.

Licenciatura Principal

Este nivel sería para usted si ha completado la etapa de principiante, o lo que es típico de una especialización de matemáticas afiliada en una universidad de investigación. Hay tres “materias básicas” que los grados de matemáticas requieren universalmente. Son:

  • Análisis
    Mis libros favoritos son:
    • Principios de análisis matemático de Rudin (Principios de análisis matemático (Serie internacional de matemática pura y aplicada): Walter Rudin: 9780070542358: Amazon.com: Libros)
    • Análisis matemático por Apostol (Análisis matemático, segunda edición: Tom M. Apostol: 9780201002881: Amazon.com: Libros)
    • Calculus on Manifolds de Spivak (Calculus on Manifolds: A Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus: Michael Spivak: 9780805390216: Amazon.com: Libros)
  • Álgebra
    Aquí recomendaría:
    • Abstract Algebra de Dummit and Foote (Amazon.com: Abstract Algebra, 3rd Edition (9780471433347): David S. Dummit, Richard M. Foote: Libros)
    • Temas en álgebra de Herstein (Temas en álgebra, 2ª edición: IN Herstein: 9780471010906: Amazon.com: Libros)
    • Algebra by Artin (Algebra (2nd Edition): Michael Artin: 9780132413770: Amazon.com: Libros)
  • Geometría / Topología
    Deberías mirar:
    • Topología de Munkres (Topología (2a edición): James Munkres: 9780131816299: Amazon.com: Libros)
    • Geometría diferencial de do Carmo (Geometría diferencial de curvas y superficies: Manfredo P. Do Carmo: 9780132125895: Amazon.com: Libros)
    • Geometría no euclidiana de Coxeter (Geometría no euclidiana (Libros de texto de la Asociación Matemática de América): HSM Coxeter: 9780883855225: Amazon.com: Libros)

No tiene que analizar todo lo anterior, cada uno de esos libros tiene una gran cantidad de sabiduría. Debes apuntar a hacer uno o dos de cada grupo.

Otros estudiantes universitarios

Aquí es donde las cosas comienzan a divergir realmente. Honestamente, con bases sólidas en cada una de las tres áreas anteriores, podría comenzar a abordar los textos de nivel de posgrado en esas materias. En este punto, debe tener suficiente “madurez matemática” para elegir cualquier libro de nivel universitario y comenzar con poca resistencia. Para más variedad, te daré mis libros favoritos en muchas otras áreas en las que un estudiante universitario podría estar interesado:

  • Ecuaciones diferenciales
    • Ecuaciones diferenciales de Birkhoff y Rota (Ecuaciones diferenciales ordinarias: Garrett Birkhoff, Gian-Carlo Rota: 9780471860037: Amazon.com: Libros)
    • Ecuaciones diferenciales parciales de Strauss (Amazon.com: Ecuaciones diferenciales parciales: una introducción (9780471548683): ​​Walter A. Strauss: Libros)
  • Probabilidad
    • Basic Probability Theory de Ash (Basic Probability Theory (Dover Books on Mathematics): Robert B. Ash: 9780486466286: Amazon.com: Libros)
    • Essentials of Stochastic Processes por Durrett (Amazon.com: Essentials of Stochastic Processes (Springer Texts in Statistics) (9781461436140): Richard Durrett: Books)
  • Teoría de los números
    Teoría de números analíticos por Apostol (Introducción a la teoría de números analíticos (Textos de pregrado en matemáticas): Tom M. Apostol: 9780387901633: Amazon.com: Libros)
    Introducción a la teoría de los números por Hardy y Wright (Amazon.com: Una introducción a la teoría de los números (9780199219865): GH Hardy, Edward M. Wright, Andrew Wiles, Roger Heath-Brown, Joseph Silverman: Libros)
  • Análisis complejo
    • Análisis complejo de Stein y Shakarchi (Amazon.com: Análisis complejo (Princeton Lectures in Analysis, No. 2) (9780691113852): Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Libros)
    • Análisis complejo de Ahlfors (Análisis complejo: Lars Ahlfors: 9780070006577: Amazon.com: Libros)
  • Análisis de Fourier
    • Análisis de Fourier por Stein y Shakarchi (Amazon.com: Análisis de Fourier: Una introducción (Princeton Lectures in Analysis) (9780691113845): Elias M. Stein, Rami Shakarchi: Libros)
  • Combinatoria
    • Un curso de combinatoria de van Lint y Wilson (Un curso de combinatoria: JH van Lint, RM Wilson: 9780521006019: Amazon.com: Libros)
  • Algoritmos
    Diseño de algoritmo por Kleinberg y Tardos (Diseño de algoritmo: Jon Kleinberg, Éva Tardos: 9780321295354: Amazon.com: Libros)
    Introducción a Algoritmos por CLRS (Introducción a Algoritmos: Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein: 9780262033848: Amazon.com: Libros)

Lo anterior no debe considerarse exhaustivo. En este punto, estás en el nivel de la mayoría de los estudiantes de matemáticas de la clase superior.

Después de pasar por lo anterior, estará listo para comenzar a hacer algunas matemáticas reales. Elija un texto de nivel de posgrado, o un trabajo de investigación en el campo de su elección y agréguese. ¡Que te diviertas!

Editar ** Se agregaron enlaces y se corrigieron algunos errores tipográficos.

Las matemáticas son un área enorme, e incluso los matemáticos profesionales generalmente solo conocen una parte en particular. Por lo tanto, debe elegir en qué dirección desea moverse y luego tomar una decisión.

Probablemente, el mejor multiplicador individual en cualquier campo es realmente comprender bien el álgebra lineal y multilineal (incluidas las partes básicas del análisis funcional que a menudo se agrupan en “álgebra lineal”). Puede probar “Linear Algebra Done Right” de Axler para un enfoque introductorio desde una perspectiva algebraica, seguido de las secciones relevantes de “Algebra: Capítulo 0” de Aluffi (que prefiero a otros textos como Hungerford o Lang para este tipo de cosas) para Obtenga la perspectiva algebraica más avanzada. Luego, también querrá aprender sobre los diversos trucos matriciales, como las matrices de Sylvester y demás, y si desea aprender sobre el uso de matrices para hacer cálculos con datos, entonces probablemente quiera leer uno de los libros de Strang y también partes de Golub y van Préstamo.

Supongo que, mientras estudias matemáticas, es importante desarrollar el pensamiento matemático. Echa un vistazo a https://class.coursera.org/cours… . También busque más cursos en https://class.coursera.org/categ… . Autor del curso “Introducción al pensamiento matemático”, “Keith Devlin” también es autor de este libro Introducción al pensamiento matemático. Es posible que desee echarle un vistazo.

Supongo que este podría ser un buen comienzo.

Al abordar su pregunta, creo que es necesario que no se engañe. Como aquí …

“Quiero enfatizar que hay una gran diferencia entre las matemáticas de ingeniería y las matemáticas como lo saben los matemáticos. Definiré las matemáticas como” lo que hacen los matemáticos “y asumiré que eso es lo que estás tratando de aprender. No quiero decir insultarlo, pero los antecedentes que describió significan que probablemente sepa muy pocas matemáticas, si es que las tiene “.

Esto es primero falso y, en segundo lugar, completamente innecesario mencionar. No comenzaré a preocuparme por esa definición de matemáticas. No enumeraré los libros, como se ha hecho y creo que estás por encima de eso.

Esto se reduce a lo que algunos han dicho, desarrollando la propia capacidad para el discurso y el pensamiento matemático y manteniendo la propia motivación, dirección y objetivos a lo largo del tiempo.

Su conocimiento, en la medida en que puede ayudar, es realmente el primero, como se le ha llamado “Real”, y por lo tanto, los estudios matemáticos puros que debe comenzar están en Pruebas matemáticas en un nivel introductorio. Hay un millón de diferentes, y todos cubrirán: teoría de conjuntos, lógica básica y luego significado de declaraciones matemáticas -> significados de pruebas -> métodos de pruebas. El propósito es que comiences a enmarcar tus pensamientos y problemas como objetos matemáticos que tienen un propósito y un significado definidos para que puedan ser manipulados juntos para formar ideas más complejas.

Sin tener en cuenta las diversas ramas creadas por la teoría de conjuntos utilizada y luego la lógica seguida, eso en esencia cubre “lo que los matemáticos hacen” bastante completamente (fundamentos). Todas las demás matemáticas realmente se dividen en tres categorías que a veces se combinan: geometría (topología), álgebra, combinatoria, aplicada y análisis. La mayoría de los estudiantes luego, naturalmente, van a estudiar los inicios del análisis y el álgebra (real -> complejo) y el álgebra abstracta y lineal (ambos al mismo tiempo o uno u otro) respectivamente.

Al comenzar, debe comenzar a desarrollar hábitos al preguntarse por qué existen o se definen las estructuras, si son y, de ser así, cuáles otras son similares o podrían ser. Lo más inmediato es que, una vez que comience a aprender sobre Grupos, pensará en aritmética e inmediatamente comprenderá sin saber realmente qué es un Campo, o específicamente el campo F (C) de números complejos que usted como ingeniero usar … en todas partes.

El punto realmente es que ser matemático no se trata, como alguna vez pensé, de alabar a todos los grandes hombres antes y sus contribuciones o discriminar contra los que son simplemente diferentes usos de las matemáticas, sino realmente elegir cuestionar qué y cómo ya entiendes las matemáticas y A medida que continúe aplicando esos conceptos para ver el mundo y sus problemas en términos que se relacionan con una construcción matemática completamente nueva, debe determinar y crear o (al relacionarse con la prueba) recurrir al uso histórico de las técnicas para elegir un modelo preciso para cree una construcción para describir lógicamente un sistema de manipulación de ese objeto y presentar reclamos en su contra.

En muchos sentidos, ramas enteras de las matemáticas que son tremendamente importantes (Álgebra abstracta y luego, Dios me ayude, Teoría de Galois, y seguidas por la Teoría de la representación) son casos en los que un conjunto de suposiciones sobre el marco u objeto matemático existente se aflojan o se aprietan y se exploran. . Por ejemplo, el álgebra abstracta no se trata simplemente del álgebra de números reales o complejos, sino del concepto general de una operación binaria en un conjunto y un conjunto de supuestos.

bueno, seguí un poco … pero deberías ver, los matemáticos no se despiertan y dicen “Creo que voy a resolver este gran problema”, en realidad es al comenzar a considerar que podrían declarar eso, encuentran algo que Tiene oportunidad. Esto supura en su mente, mi mente, durante años a veces, y luego hace clic.

Soy un experto en ciencias y matemáticas y puedo relacionarme mucho con lo que sientes. En la mayoría de mis clases de matemáticas de nivel superior no ayuda en absoluto si entro con mi primera mentalidad analítica. Sea abierto a la idea de aprender conceptos que no necesariamente tengan aplicaciones de ingeniería de inmediato, y sea paciente con él. Empecé a amar el álgebra abstracta solo hacia el final de mi semestre. Es un proceso, espero que lo disfruten.

Estos son algunos de los libros que he visto ampliamente utilizados a nivel de pregrado.

Álgebra Lineal Robert Messer
Álgebra abstracta Thomas Hungerford
Combinatoria y teoría de grafos Mossinghoff

Depende de lo que le interese exactamente.

Te sugiero que comiences con un curso de álgebra lineal. La mejor fuente en línea para eso son las conferencias de Gilbert Strang en el sitio web de MIT OCW. Es simplemente increíble y las conferencias están muy bien estructuradas.

Coursera tiene algunos cursos realmente buenos sobre aprendizaje automático, estadísticas.

Espero que se esté preparando para al menos un primer año de comprensión de nivel de posgrado del análisis matemático. Yo mismo lo descubrí por las malas. Como ingeniero tuve que leer documentos escritos por matemáticos. Mi primer encuentro fue con las funciones y propiedades de Green del delta de dirac. Más tarde, análisis asintótico. Eso me llevó a un viaje que tracé principalmente por mi cuenta con errores y cobertura circular a veces. Pero mi recomendación se reduce a tres libros con uno opcional.

a) Aprende la forma matemática de pensar y probar: DJ Velleman’s- Cómo probarlo (2a ed.)

b) Baby Rudin, básicamente una introducción a todas las áreas del análisis matemático. Este libro desafiará tus intuiciones de ingeniería y te hará pensar realmente como un matemático .: Principios del análisis matemático por Rudin

c) El libro opcional aquí es Calculus on Manifolds de Spivak, una comprensión básica sobre la integración y su generalización para medir la teoría.

d) Ward Cheney’s: Analysis for Applied Mathematics: tiene la gama más amplia de cobertura de todos los temas en los que cualquier ingeniero estará interesado. Habrás alcanzado la madurez de los tres anteriores y luego elige los temas que realmente te interesan en este libro.

Los primeros tres tomarán un año de esfuerzo para una formación en ingeniería, seguido de otro con el libro de Cheney.

También soy ingeniero, respondiendo.

Si desea comprender las instrucciones actuales en el campo (como una especie de autoflagelación), entonces Ben Carriel seguramente tiene su respuesta. Por triplicado

Pero, si realmente amas las matemáticas puras (como a mí), pero realmente no requieres el zumbido moderno que rodea el campo, POR FAVOR COMIENCE CON “Matemáticas desde el nacimiento de los números”, de Jan Gullberg. Este es un trabajo de amor (muy, muy pesado) de un matemático aficionado, y lo apreciará absolutamente por eso. Se queda muy lejos de las abstracciones académicas más modernas en matemáticas, pero ofrece una referencia histórica única y muy romántica que simplemente no se puede encontrar en ningún otro lado. E incluso podría descubrir que apreciará algunas de las malas caricaturas. Lo he leído muchas veces en su totalidad. Pero, cuando necesito un pequeño estímulo, lo abro en una página aleatoria y pierdo la noción del tiempo. (¿Eso me convierte en un empollón? Está bien si lo hace).

Puede considerar ver algunos de los videos del Profesor NL Wildberger en YouTube en njwildberger. Él no discute todo lo que finalmente puede desear, pero sí ofrece enfoques interesantes para una variedad de temas.

Puede ser bueno comenzar con conceptos con los que ya está familiarizado. Una introducción típica de matemática a las matemáticas “puras” es un libro como las “Pruebas matemáticas” de Chartrand. Una buena base en las habilidades de lógica y razonamiento es esencial, especialmente cuando ha completado toda su educación hasta el momento utilizando explicaciones no rigurosas para los conceptos.

Después de trabajar en lo anterior, recomendaría comenzar con un área que ya conoces mucho (como Álgebra lineal) y ver cómo el enfoque en un libro como Hoffman y Kunze trata el tema de manera diferente a lo que te presentaron cuando tomaste álgebra lineal como estudiante universitario.

Puede descubrir que es mucho más fácil leer un texto de este tipo leyendo primero los teoremas de una sección y tratando de ver si puede juntarlos como un rompecabezas para ver qué los conecta sin modificar las pruebas y luego echar un vistazo. en los ejercicios antes de volver a leer la sección con más cuidado y finalmente tomarse un descanso para resolver los ejercicios.

Si eres ingeniero, es probable que ya conozcas los conceptos de muchas matemáticas. Dado que tenemos que usar estas cosas en casi todos los campos de la ingeniería. Lo que falta es un curso formal donde puedas reafirmar tus conceptos para diseñar tus propios algoritmos.
¿Por qué no haces MS Math a tiempo parcial? No te puedes equivocar con eso.
Sí, puedes estudiar por tu cuenta, pero la educación formal a veces es útil cuando se trata de llenar los huecos en los conceptos.

Bueno, tienes que empezar de nuevo con la escuela.

Supongo que las matemáticas de la escuela secundaria serían suficientes. Cálculo, probabilidad, secuencia y serie, geometría, trigonometría son las áreas con las que puedes comenzar.

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¡Tomaría un enfoque totalmente diferente! Es importante tener un objetivo.

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