No hay una relación simple.
En esta figura, los círculos circundantes tienen seis veces la circunferencia del círculo interno.
En esta figura, los círculos circundantes tienen una circunferencia mucho más grande. Los círculos superior e inferior pueden hacerse arbitrariamente grandes, haciendo que la circunferencia total sea arbitrariamente grande.
ACTUALIZAR:
- ¿Cuál es el radio del círculo que rodea un círculo, si todos los círculos circundantes son iguales?
- ¿Cómo se resuelve el problema 6 de la OMI de 2007 (que se detalla)?
- Geometría: ¿Cuál es la intuición detrás de la fórmula para la circunferencia del círculo?
- Geometría: ¿Cuál es la intuición detrás de pi?
- Geometría: ¿Cuál es la intuición detrás del hecho de que el tercer lado de cualquier triángulo es menor que la suma y mayor que la diferencia de los otros dos lados?
Si todos los círculos circundantes deben tener el mismo tamaño, la circunferencia total depende del número de círculos circundantes.
Deje que el círculo más interno tenga radio 1. Si hay [matemática] n [/ matemática] círculos circundantes, entonces el ángulo [matemática] t [/ matemática] en la figura es [matemática] t = \ pi / n [/ matemática] . Entonces
[matemáticas] \ sin (\ pi / n) = r / (1 + r) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin (\ pi / n) + r \ sin (\ pi / n) = r [/ matemáticas]
[matemática] r = \ frac {\ sin (\ pi / n)} {1 – \ sin (\ pi / n)} [/ matemática]
La circunferencia total es [matemáticas] 2 n \ pi r [/ matemáticas], o
[matemática] \ frac {2 n \ pi \ sin (\ pi / n)} {1 – \ sin (\ pi / n)} [/ matemática]
Si el círculo interno no tiene radio 1, podemos escalar este resultado y la circunferencia total relativa a la circunferencia del círculo interno es
[matemáticas] \ frac {n \ sin (\ pi / n)} {1 – \ sin (\ pi / n)} [/ matemáticas]
Esta es una función decreciente que es aproximadamente [matemática] 19.3922 [/ matemática] para [matemática] n = 3 [/ matemática], exactamente igual a [matemática] 6 [/ matemática] para [matemática] n = 6 [/ matemática] y se acerca a [math] \ pi [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math]