No hay una forma formal de responder “por qué” en matemáticas (¿Por qué [matemáticas] A_5 [/ matemáticas] es simple pero [matemáticas] A_4 [/ matemáticas] no lo es? ¿Por qué esta suma infinita tiene una expresión de forma cerrada mientras que otra muy similar? suma infinita no?) De todos modos, una forma de obtener una intuición de la diferencia entre caminatas aleatorias 1d / 2d vs 3d y hacia arriba es considerar la probabilidad, [matemáticas] u_n [/ matemáticas], de estar de vuelta en el origen después de exactamente [matemáticas] n [/ matemáticas] pasos.
Para todas estas caminatas aleatorias, [math] u_n = 0 [/ math] si [math] n [/ math] es impar, ya que la cuadrícula siempre puede ser de 2 colores, estilo tablero de ajedrez, y en momentos extraños El color equivocado. El comportamiento de [math] u_ {2n} [/ math] es la parte interesante.
Entonces, resulta que [matemáticas] u_ {2n} \ aprox \ frac {1} {n ^ {d / 2}} [/ matemáticas] (esto es “libremente” cierto; hay algunas constantes involucradas, pero no No importa mucho). En otras palabras:
- En el caso unidimensional, sus posibilidades de volver al origen después de [math] 2n [/ math] pasos son aproximadamente [math] \ frac {1} {\ sqrt {n}} [/ math];
- En el caso bidimensional, sus posibilidades de volver al origen después de [math] 2n [/ math] pasos son aproximadamente [math] \ frac {1} {n} [/ math];
- En el caso tridimensional, sus posibilidades de volver al origen después de los pasos [matemática] 2n [/ matemática] son aproximadamente [matemática] \ frac {1} {n ^ {3/2}} [/ matemática].
En este punto, puede preguntar, ok, pero ¿por qué es eso cierto? Bueno, en 1-d, tienes una coordenada y necesitas que el número de movimientos a la derecha sea igual al número de movimientos a la izquierda. Esto significa que estás viendo tus posibilidades de voltear con precisión [matemáticas] n [/ matemáticas] caras y [matemáticas] n [/ matemáticas] colas en [matemáticas] 2n [/ matemáticas] lanzamientos de una moneda justa. Entonces, está interesado en la proporción de [matemáticas] \ binom {2n} {n} [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ {2n} [/ matemáticas]. Esa proporción es aproximadamente [matemática] \ frac {1} {\ sqrt {n}} [/ matemática] (ver Apéndice A).
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En 2-d, necesita que tanto la coordenada [matemática] x [/ matemática] como la coordenada [matemática] y [/ matemática] estén equilibradas de esta manera. Entonces, aproximadamente necesitas dos cosas independientes, cada una de las cuales tiene problemas [matemática] \ frac {1} {\ sqrt {n}} [/ matemática] para que sucedan simultáneamente; la probabilidad de eso es [matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ times \ frac {1} {\ sqrt {n}} = \ frac {1} {n} [/ matemáticas] (ver Apéndice SI). De manera similar en 3-d y más, cada dimensión se multiplica por otra [matemática] \ frac {1} {\ sqrt {n}} [/ matemática].
Ahora, admitiendo eso, estás preguntando sobre la recurrencia: ¿cuál es la probabilidad de regresar al origen alguna vez ? Esto depende de la suma de todos esos infinitos [math] u_ {2n} [/ math] (nuevamente, estoy suprimiendo algunos detalles). Pero esta suma diverge en 1 y 2 dimensiones (lo que significa que las probabilidades de retorno al origen son tan grandes que cuando las sumas, seguro que conseguirás que ocurra una de ellas, de hecho, ¡infinitas de ellas!), mientras que en 3 dimensiones la suma realmente converge, lo que significa que las probabilidades de retorno al origen son demasiado pequeñas y con el tiempo no es probable que regrese en absoluto.
Apéndice A: ¿por qué [math] \ binom {2n} {n} / 2 ^ {2n} [/ math] es aproximadamente [math] 1 / \ sqrt {n} [/ math]?
La respuesta más fácil es “escríbala con factoriales, reemplace cada factorial con su aproximación de Stirling y verá exactamente por qué”. Obviamente, esto supone que sabes lo que es Stirling:
[matemáticas] n! \ approx \ sqrt {2 \ pi n} \ left (\ frac {n} {e} \ right) ^ n [/ math]
¿Ves eso [math] \ sqrt {n} [/ math] allí? Si haces los cálculos, todo se caerá excepto uno de estos en el enumerador y dos de estos en el denominador. Entonces el denominador gana por [math] \ sqrt {n} [/ math], como se anuncia.
Pero, ¿por qué hay un [math] \ sqrt {n} [/ math] en Stirling para empezar? No conozco una respuesta intuitiva realmente ingeniosa a esta pregunta.
Puede haber una mejor explicación para este comportamiento asintótico. Si encuentro uno, lo publicaré aquí.
Apéndice B: ¿Por qué [matemáticas] 1 / n [/ matemáticas]?
Si tiene una caminata de longitud 2n en una cuadrícula bidimensional, regresar al origen realmente significa que tanto horizontal como verticalmente está realizando un retorno unidimensional a la maniobra de origen. Sin embargo, no es cierto que cada uno de estos debe n pasos largos; podría intentar, por ejemplo, restringir todos los movimientos a horizontal, y luego sus posibilidades de regresar al origen son mucho mejores ([matemática] 1 / \ sqrt {2n} [/ matemática] nuevamente, en lugar de [matemática] 1 / n [/ matemáticas]).
¿Por qué esto no importa? Bueno, obviamente, dado que es muy poco probable que realmente puedas moverte solo horizontalmente o solo verticalmente. Con toda probabilidad, harás ambas cosas y, de hecho, es probable que tengas aproximadamente el mismo número de movimientos horizontales que verticales, al igual que esperarías un número aproximadamente igual de caras y colas en una larga secuencia de lanzamientos de monedas.
Por lo tanto, la estimación anterior realmente proporciona el orden de magnitud correcto para volver al origen en cualquier número de dimensiones; pero hay detalles para verificar aquí que estoy ocultando convenientemente.
EDITAR: Como Ori Gurel-Gurevich señala sabiamente en los comentarios, hay una muy buena manera de ver por qué la 2da caminata en realidad corresponde a una elección simultánea de 2 bits aleatorios independientes por movimiento, donde esos bits deben cancelarse para que podamos regresar al origen, lo que hace que esta parte sea completamente transparente.