¿Cuál es la diferencia entre homomorfismo y homeomorfismo?

Answer 1

No creo estar completamente de acuerdo con la respuesta de James, así que permítanme ofrecer otra perspectiva y espero que ayude.

Muchos campos de las matemáticas hablan de ciertos objetos y mapas entre ellos, y de hecho esos mapas generalmente conservan cualquier estructura que lleven los objetos.

El término “homomorfismo” se aplica a los mapas que preservan la estructura en algunos dominios de las matemáticas, pero no en otros. Se usa casi exclusivamente en álgebra y matemáticas discretas, por lo que tenemos homomorfismos entre grupos, anillos, gráficos y retículas. (Una excepción notable es la geometría algebraica, un dominio decididamente algebraico en el que el término homomorfismo nunca debe usarse [EDITAR: como señala Jack, esto es una generalización demasiado amplia; lo que quiero decir es que los mapas entre variedades afines o proyectivas no son llamado “homomorfismos”]).

Por otro lado, el “homomorfismo” claramente no se usa en la topología y el análisis. Los mapas de preservación de estructuras entre espacios topológicos no se denominan homomorfismos; se llaman mapas abiertos, y son mucho menos útiles (y mucho menos discutidos) que sus hermanos mapas continuos , que no son estrictamente “preservación de estructura” (un mapa continuo puede tomar un conjunto abierto a uno no abierto; qué lo que hace es asegurarse de que la imagen inversa de un conjunto abierto también esté abierta). Ningún tipo de mapa se llama homomorfismo.

Del mismo modo, el término homomorfismo no se utiliza para mapas entre múltiples diferenciables o espacios de Banach.

Usted escribió “ambos hablan sobre el isomorfismo”, lo que realmente no es cierto. Un homomorfismo puede ser un isomorfismo, pero a menudo no lo es. Por ejemplo, el mapa que lleva un grupo G no trivial completo al elemento de la unidad de otro grupo H es un homomorfismo perfectamente legítimo, pero está muy lejos de ser un isomorfismo. En álgebra, los isomorfismos generalmente se llaman simplemente eso: isomorfismos, y se refieren a homomorfismos que resultan ser invertibles y cuya inversa es en sí misma un homomorfismo.

Es cierto que los homeomorfismos son isomorfismos (en este sentido) entre espacios topológicos o métricos. Pero, de nuevo, el término homeomorfismo está reservado exclusivamente para el dominio de la topología. El término análogo para múltiples diferenciables, por ejemplo, es diffeomorfismo . Ni el “homeomorfismo” ni el “diffeomorfismo” se utilizarían para objetos algebraicos.

En ese sentido, creo que la afirmación de que los homeomorfismos son un tipo especial de homomorfismos es engañosa. Los homeomorfismos son un tipo especial de mapas continuos, y los mapas continuos no se denominan homomorfismos.

Answer 2

Cada uno es un nombre para un tipo particular de mapa de preservación de estructura, pero estos dos en particular no están estrechamente relacionados. Quizás la siguiente tabla sea útil:

Categoría: Mapas de preservación de estructuras ; Mapas invertibles que preservan la estructura.

Grupos: (grupo) homomorfismo; (grupo) isomorfismo
Anillos: (anillo) homomorfismo; (anillo) isomorfismo
Espacios vectoriales: transformación lineal, transformación lineal invertible
Espacios topológicos: mapa continuo; homeomorfismo
Colectores diferenciables : mapa diferenciable; difeomorfismo
Colectores de Riemann: mapa conforme; isometría conforme

(Algunos de estos objetos encajan naturalmente en más de una categoría; por ejemplo, podría considerar otras clases de morfismos en las variedades de Riemann y obtener una categoría).

Answer 3

Además, los mapas continuos son mapas que preservan la estructura, si elegimos axiomatizar la topología en términos de la operación de cierre (para espacios de Hausdorff, podemos usar la operación de tomar un límite): o en la versión de análisis no estándar, “Si x está infinitamente cerca de y, entonces f (x) está infinitamente cerca de f (y) “.
La caracterización ‘inversa de un conjunto abierto es abierta’ es útil, pero un dolor pedagógico en el pijama.

James, como dijo Alon, los homeomorfismos no son “también homomorfismos”, simplemente porque ese término se usa principalmente para objetos algebraicos como grupos y anillos, no topológicos.

El término isomorfismo se usa más ampliamente, porque la teoría de categorías se aplica a tantos objetos. Un morfismo entre espacios vectoriales es un mapeo lineal; un morfismo entre grupos es un homomorfismo; un morfismo entre espacios topológicos es un mapeo continuo; un morfismo entre conjuntos es una biyección; y así. En cada categoría, un isomorfismo es un morfismo con un inverso de dos lados. En una categoría concreta (donde los objetos son conjuntos más estructura) tener un inverso de dos lados suele ser equivalente a ser biyectivo, pero este es un teorema, para esa categoría, no una definición. Un isomorfismo de espacios de medida no necesita ser biyectivo.

Answer 4

Los espacios topológicos, grupos y anillos son ejemplos de conjuntos dotados de alguna estructura adicional. Un mapa de preservación de la estructura entre dos espacios topológicos es uno que envía puntos que están “cerca” entre sí en el primero a puntos que están “cerca” entre sí en el segundo (un mapa continuo ); Tal mapa que también es una biyección se llama homeomorfismo . Un mapa de preservación de la estructura entre dos grupos es uno que preserva la operación del grupo (un homomorfismo ); Tal mapa que también es una biyección se llama isomorfismo .

En el lenguaje de la teoría de categorías, podemos decir que los homeomorfismos son isomorfismos (morfismos invertibles) en la categoría de espacios topológicos, mientras que los homomorfismos son morfismos en la categoría de grupos.

Answer 5

Cuando pienso en homomorfismo pienso en símbolos algebraicos:

[matemáticas] \ phi (A \ ast B) = \ phi (A) \ ast \ phi (B) [/ matemáticas]

es decir, “puedo hacer una operación unaria [matemática] \ phi [/ matemática] antes o después de la operación binaria [matemática] \ ast [/ matemática] y, por lo tanto, estos paréntesis pueden ajustarse”. Puramente simbólico.

Cuando pienso en el homeomorfismo , pienso en la intersección de la geometría y la topología: deformaciones continuas que todavía dejan a la cosa X “igual”.