¿Cuál es el área de superficie de un cono d-dimensional?

Answer 1

Hay un sombrero de fiesta con forma de cono sentado en una mesa. Como odias los cumpleaños *, golpeas el cono contra la mesa. ¡Toma eso, cono! Ahora ya sabes cómo se siente ser un disco.

Vamos a suponer que eres un experto en romper el sombrero de fiesta, por lo que cada punto en el cono está ahora en el punto de la mesa que estaba directamente debajo de él. Claramente, el área del cono ha disminuido después de romperlo, pero la pregunta de la hora es: ¿en cuánto?

Para resolverlo, dibuja un pequeño vector horizontal en tu cono. (¡Oh, ya lo rompiste? ¡Bueno, entonces consigue otro sombrero!) Cuando lo rompas, la longitud del vector no cambiará. Es horizontal, por lo que puedes aplastarlo todo lo que quieras en dirección vertical: no le importa.

Suficientemente fácil. Ahora, dibuja un vector en la dirección perpendicular, directamente hacia el punto del cono. (Necesitará obtener un nuevo cono nuevamente, lo siento). Ahora, cuando lo rompa, obtendrá un vector que señala hacia el centro del disco. Esta vez, el vector se aplastará un poco, por lo que será más corto. Pero, de nuevo, la pregunta es: ¿por cuánto?

Para responder a esa pregunta, aquí hay un diagrama sacado descaradamente de Internet:

Aquí, r es el radio del cono, h es su altura y l es su altura inclinada. Hay un triángulo rectángulo convenientemente dibujado para nosotros. El vector original estaba a lo largo del lado etiquetado como l, y el vector aplastado estaba a lo largo del lado etiquetado como r.

Si observa la imagen y dibuja algunos triángulos similares si lo desea, notará que las longitudes del vector original y del vector aplastado tienen la relación l: r. En otras palabras, para obtener la longitud del vector aplastado de la longitud del vector original, debe multiplicar por r / l. (Tenga en cuenta que r / l <1, por lo que estamos reduciendo las cosas).

Recapitulemos: aplastar no afectó las longitudes horizontales, pero redujo las longitudes inclinadas: se multiplicaron por r / l. A pesar de la configuración interesante, las áreas funcionan igual que con los rectángulos: si mantiene una dirección igual y reduce la otra dirección, el área se reducirá en el mismo factor. Como resultado, aplastar redujo el área del cono en r / l.

¡Pero eso es todo lo que necesitas saber! Dado que el aplastamiento convirtió un cono en un disco y multiplicó áreas por r / l, podemos desenmascarar todo para concluir que el área de un cono es solo l / r veces el área del disco del mismo radio. ¡Hurra!

Para el cono habitual, el disco tiene área [matemática] \ pi r ^ 2 [/ matemática], por lo que el cono tiene área [matemática] \ pi r ^ 2 \ cdot \ tfrac lr = \ pi rl. [/ Matemática]

Una nota sobre las dimensiones: los matemáticos determinan si algo es bidimensional o tridimensional al ver si está hecho de papel (incluido el papel maché) o ladrillos. Un sombrero de fiesta está hecho de papel, por lo que el cono de arriba es el cono bidimensional, y nos estrellamos contra el disco bidimensional, también conocido como la bola bidimensional.

Todo lo anterior funciona en dimensiones superiores exactamente de la misma manera: solo hay más direcciones horizontales, pero, nuevamente, a las direcciones horizontales no les importa. Usted aplasta el cono d-dimensional en el disco d-dimensional, por lo que el área del cono d-dimensional es el área del disco d-dimensional del mismo radio, multiplicado por l / r, donde l es la altura inclinada yr es el radio de la base.

“¡Pero espera!” usted podría preguntar: “Ahora, en lugar de encontrar el área del cono d-dimensional, necesito encontrar el volumen de una bola d-dimensional. ¡Eso suena difícil!” Afortunadamente, un artículo de Wikipedia dedicado por completo a este tema viene a su rescate: Volumen de una bola n.

* Me encantan los cumpleaños!

Answer 2

Teniendo en cuenta que si cortamos el cono 2-d obtenemos un triángulo, que es básicamente un disco unidimensional unido con un punto, voy a afirmar valientemente que

SA (cono n-dim) = Volumen ((n – 1) -dim ball) * [math] \ sqrt [n] {2} [/ math] – Supongo que el punto superior es (0, 0, … 1) y esfera unitaria

La afirmación descarada se siente bien porque si cortamos el cono d-dim a lo largo de un borde, topológicamente de hecho obtenemos este ‘triángulo’ cuyo fondo es una bola d-1 dimensional. (Recuerde [matemática] S ^ n [/ matemática] sin un punto es [matemática] D ^ n [/ matemática]). En cuanto a si geométricamente este despliegue se puede hacer, no tengo idea.

====== Editar ========
Aunque todavía no tengo pruebas formales, estoy aún más seguro con mi reclamo anterior, utilizando la segunda forma de pensar en lo que es un cono como lo señala Ben Zax. Ahora establezcamos el punto en el origen, nuevamente, hagamos la altura 1, de modo que la esfera n-1 resida en el plano [matemática] x_n = 1 [/ matemática] Entonces tenemos

[matemáticas] SA (C_n) = \ int_0 ^ 1 r ^ {n-1} S_ {n-1} \ sqrt [n] {2} dx_n [/ matemáticas] donde [matemáticas] S_ {n-1} [/ matemática] se refiere al área de superficie de una unidad n-1 esfera, r el radio de la esfera a la altura correspondiente. Wikipedia dice que el área de superficie de n esfera es proporcional a [matemáticas] r ^ n [/ matemáticas]. La conveniencia de hacer el punto en origen, haciendo la altura y el radio 1, es que ahora [math] x_n = r [/ math].

Por lo tanto, tenemos [math] SA (C_n) = \ sqrt [n] {2} \ cdot \ frac {S_ {n-1}} {n} [/ math], y wikipedia dice que la segunda parte es precisamente el volumen de n pelota.

Esto todavía está ondulado, pero ahora estoy mucho más convencido.

==== Editar ========
¡De hecho, acabo de demostrar que mi primer punto estaba equivocado ! Entonces SA (n-dim cone) = Volumen (n-dim ball) * [math] \ sqrt [n] {2} [/ math], en lugar de n – 1 dim ball! ¿Qué funciona cuando n = 2. Considerando que la segunda forma produce la solución donde n = 2 es correcta, puede ser correcta?