Geometría: si podemos ver un círculo como un polígono con lados infinitos de los mismos tamaños, ¿hay algo equivalente para una esfera perfecta?

Answer 1

Hay muchas formas de aproximar una esfera con poliedros que tienen más y más caras, pero no se puede hacer con poliedros regulares.

En Elementos de Euclides, Libro XII, Proposición 2, Euclides encuentra el círculo como un límite de polígonos regulares tanto desde adentro como desde afuera. Cada paso del proceso duplica la cantidad de lados.
En esa proposición, Euclides mostró que las áreas de los círculos son proporcionales a los cuadrados en sus diámetros.

En Elementos de Euclides, Libro XII, Proposición 18, demostró que los volúmenes de esfera son proporcionales a los cubos en sus diámetros. Para hacerlo, en Elementos de Euclides, Libro XII, Proposición 17, aproximó la esfera mediante un poliedro con muchos lados. Aquí está el diagrama de esa proposición. Muestra una rebanada de ese poliedro en la esfera.

Eso es todo un diagrama. Aquí hay un primer plano de una parte.

Answer 2

Antes de que podamos pensar en un equivalente para una esfera, echemos un vistazo más de cerca a los polígonos con infinitos lados y círculos.

Comencemos con un cuadrado que tiene un círculo inscrito en él.

Objetivo: transformar el cuadrado en un círculo aumentando su número de lados que tiene. Agregue cortes al cuadrado en estos lugares. Solo una nota al margen: Perímetro del cuadrado = 4. Lado del cuadrado = Diámetro del círculo = 1.
y obtienes

Si observa que el perímetro del nuevo polígono sigue siendo el mismo, aunque el área se ha reducido. Haz eso de nuevo.

De nuevo mismo perímetro. Ahora sigue haciendo este proceso infinitas veces y terminarás con un polígono de lados infinitos que “parece” un círculo. Sin embargo, solo parece un círculo.

El perímetro del polígono así alcanzado sigue siendo 4. Pero el perímetro del círculo es pi. ¿Qué pasa aquí?
El problema es que tienes un número infinito de lados y cada lado es algo realmente pequeño que tiende a 0. El producto de estas dos cantidades debería darte el perímetro. Pero el infinito multiplicado por 0 no está definido.

Entonces tomamos el “límite” del producto y eso es algo finito e igual a 4 (no pi). La razón por la que es 4 y no pi es porque el polígono de lados infinitos tendrá zigzags infinitesimalmente pequeños en su perímetro porque no está compuesto de una línea recta. Pero un círculo, por otro lado, se puede abrir y colocar en línea recta como una línea recta. Debido a la ausencia de estos zigzags infinitesimalmente pequeños, el perímetro de un círculo es significativamente menor que el polígono de lados infinitos.

Ahora te estarás preguntando por qué acabo de explicar todo esto si has pedido un equivalente para una esfera. La razón es que el polígono de lados infinitos y el círculo tienen la misma área y no el mismo perímetro. De la misma manera, existen múltiples formas de aproximar el mismo volumen de la esfera utilizando algunos de los métodos de algunas otras respuestas aquí. La respuesta de Amar Prabhu
o la respuesta de David Joyce. Si el volumen aproximado es clave, estos métodos funcionarán. Si hubiera intentado encontrar el perímetro del círculo utilizando polígonos de lados infinitos, terminará utilizando el valor incorrecto de pi = 4.

Pero recuerde siempre, un polígono de lados infinitos solo parece un círculo desde lejos. Realmente no lo es

Por cierto, los matemáticos deben tener mucho cuidado con las definiciones. Un polígono tiene que tener un número finito de lados. 😛

En geometría, un polígono es tradicionalmente una figura plana que está limitada por una cadena “finita” de segmentos de línea recta que se cierran en un bucle para formar una cadena o circuito cerrado.

Rapsodia de ViHart a prueba de Pi = 4

Answer 3

Respuesta conceptual:

Los lados del polígono de lados infinitos que forman el círculo están formados por líneas rectas, que son unidimensionales.

Las líneas rectas requieren un mínimo de 2 puntos para construir.

Llevando esto más lejos, una esfera tendría que estar compuesta de infinitas ‘caras’ o ‘planos’.

Un avión requiere un mínimo de 3 puntos para construir. Tales planos son triangulares.

Por lo tanto, se podría decir que una esfera está formada por un número infinito de planos triangulares.

Sin embargo, no estoy seguro de si van a ser triángulos iguales. La esfera geodésica mencionada por Amar Prabhu es uno de esos tipos simplificados para obtener tamaños uniformes de triángulos, para facilitar la construcción estructural.

De Wikipedia: domo geodésico

Típicamente, un diseño de domo geodésico comienza con un icosaedro inscrito en una esfera hipotética, alicatando cada cara triangular con triángulos más pequeños, luego proyectando los vértices de cada mosaico a la esfera. Los puntos finales de los enlaces de la esfera completa son los puntos finales proyectados en la superficie de la esfera. Si esto se hace exactamente, las longitudes de los bordes del sub-triángulo toman muchos valores diferentes, lo que requiere enlaces de muchos tamaños. Para minimizar esto, se hacen simplificaciones. El resultado es un compromiso de triángulos con sus vértices que se encuentran aproximadamente en la esfera.

E dit: Parece que no teníamos toda la razón. Por favor, vea la maravillosa respuesta de Anders Kaseorg en los comentarios.

Descargo de responsabilidad: no soy matemático, esto es puramente mi interpretación. Agradecería cualquier sugerencia y corrección.

Answer 4

Como dijiste, el círculo puede verse como el límite de una secuencia de polígonos regulares inscritos, ya que el número de lados tiende al infinito.

Si existe una secuencia de poliedros inscritos que tiende a la esfera en el límite depende de las restricciones adicionales que tenga en mente.

Si necesita que los poliedros sean regulares, la respuesta es no , porque solo hay 5 de estos (los sólidos platónicos, la rotación del módulo), por lo que si una secuencia de ellos tiene un límite, ese debe ser uno de ellos.

Si solo requiere que las caras tengan el mismo área, mi intuición dice que es posible, pero aún no podría encontrar una construcción. Editaré esta respuesta si encuentro una.

Si solo requiere que las caras sean triángulos, la respuesta es sí , y la construcción es la siguiente. Comience con un tetraedro. En cada paso, cree un nuevo vértice para cada punto medio del borde proyectado en la esfera, luego divida cada triángulo en 4 triángulos más pequeños usando los 3 nuevos vértices del borde medio a su alrededor (no muy diferente de la construcción de Sierpinski).

Actualizar:
Es bastante razonable requerir que la variación del área de las caras del poliedro sea cero en el límite. Una secuencia de esferas geodésicas es un ejemplo de que esto es posible, como dijo Amar Prabhu.

Answer 5

Para una esfera hueca, los triángulos se pueden alinear de tal manera que formen una esfera:

Este principio se usa en Arquitectura para construir cúpulas resistentes que pueden soportar mucha carga al explotar la propiedad de los triángulos y se llaman cúpulas geodésicas.

Con el número de triángulos tendiendo al infinito, esto puede ser una estimación cercana a una esfera hueca perfecta.
Hay otra buena respuesta La respuesta de Máté Kovács a la Geometría: si podemos ver un círculo como un polígono con lados infinitos de los mismos tamaños, ¿hay algo equivalente para una esfera perfecta?

Answer 6

La respuesta a su pregunta es un “sí” calificado, pero es complicado. No es tan sencillo generalizar desde el caso del círculo al caso de la esfera. Pero en realidad no es una buena idea “ver un círculo como un polígono con lados infinitos” en primer lugar. De hecho, cuanto más lo pienso, menos me gusta: si ve un círculo como “lados infinitos de los mismos tamaños”, no puede definir correctamente la longitud del arco, ya que la longitud de la curva que describe es en realidad mayor que la del círculo, es la longitud de un cuadrado circunscrito alrededor del círculo!

No, es mejor seguir con la definición de Euclides de un círculo como un conjunto de puntos equidistantes del centro del círculo. Luego, construya CUIDADOSAMENTE una secuencia de polígonos circunscritos de tal manera que la diferencia entre la longitud de la circunferencia del círculo y la del polígono sea estrictamente menor para aumentar el índice en la secuencia; entonces el límite de la longitud en esta secuencia es la longitud de la circunferencia.

Ahora el problema es que es aún más difícil tener el cuidado suficiente para hacer esto con la esfera, como puede ver si lee las proposiciones de Euclides a las que David Joyce se refirió en su respuesta. Incluso Euclides no pudo hacer esto lo suficientemente bien como para obtener la longitud de la circunferencia, solo pudo demostrar una proporción sobre las áreas. Fue Arquímedes quien finalmente entendió bien.

O podría tomar la idea de la geometría diferencial de que definir elementos de volumen es fácil, definir elementos de área de superficie no lo es. En una variedad unidimensional (como un círculo), el elemento de longitud de arco ES el elemento de volumen, por lo que obtener la circunferencia es fácil. Pero el elemento de área de superficie en la esfera NO es un elemento de volumen, por lo que, como cualquier otro elemento de área de superficie, debe tener mucho cuidado al definirlo para que realmente converja al área y no a otra cosa; si ‘enlosa’ la superficie de la manera incorrecta, podría obtener un área divergente, o una expresión que converge para algunas superficies pero diverge para otras.

Spivak incluso da un ejemplo de una secuencia de triángulos inscritos en un cilindro de manera que el área de la superficie de los triángulos diverge. (“Cálculo en manifiestos” 5.6)

Answer 7

Un círculo a menudo se ve como un polígono formado por segmentos de línea infinitos de igual longitud. Esta longitud tiende a 0.

Se puede imaginar que una esfera está formada por infinitos círculos que se cruzan en los mismos dos puntos.

Tenga en cuenta que el radio de todos los círculos infinitos debe ser igual al de la esfera bajo análisis.

Answer 8

Me pregunto si nadie mencionó girar el círculo en el espacio alrededor de su centro. Con mucho, el método más fácil.