En trigonometría, ¿qué es una explicación intuitiva de la ley de cosenos?

Answer 1

Aquí hay una prueba sin palabras usando nada más que triángulos similares .
[matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 – 2ab \ cos \ gamma [/ matemáticas]

(Podría haber inventado esto, ¿alguien lo ha visto antes?

Editar: desde entonces descubrí que Dijkstra dibujó parte de esta figura para derivar una generalización cualitativa del teorema de Pitágoras, pero no llegó a calcular sus longitudes interiores para derivar la ley de los cosenos. Cut The Knot tiene una versión interactiva de esta figura en la que puedes mover los puntos y ver cómo cambian las longitudes interiores).

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La ley de los cosenos es equivalente a la definición del producto de punto , por lo que si encuentra el producto de punto intuitivo, quizás esto ayude:
[matemáticas] | \ vec a – \ vec b | ^ 2 = (\ vec a – \ vec b) \ cdot (\ vec a – \ vec b) [/ math]
[matemáticas] = \ vec a \ cdot \ vec a + \ vec b \ cdot \ vec b – 2 \ vec a \ cdot \ vec b [/ math]
[matemáticas] = | \ vec a | ^ 2 + | \ vec b | ^ 2 – 2 | \ vec a || \ vec b | \ cos \ theta [/ math].

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La desigualdad del triángulo dice que [matemáticas] | a – b | \ le c \ le a + b [/ math], o [math] a ^ 2 + b ^ 2 – 2ab \ le c ^ 2 \ le a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab [/ math]. La ley de los cosenos cuantifica exactamente dónde [matemáticas] c ^ 2 [/ matemáticas] se encuentra dentro de este rango: en la parte inferior para un ángulo de 0 °, en la parte superior para un ángulo de 180 °, y justo en el medio para un 90 ° ángulo.

Answer 2

Como señala Anders Kaseorg, la ley de los cosenos equivale a la observación de que el producto escalar es bilineal (es decir, se distribuye sobre la suma del vector en ambos lados, al igual que la multiplicación más familiar).

¿Por qué el producto escalar es bilineal? Bueno, imaginando que un argumento se mantiene fijo, el producto punto, en función del otro argumento, equivale a (algún múltiplo de) una función de extracción de coordenadas; [math] u \ cdot v [/ math] es solo la coordenada de [math] v [/ math] en la dirección de [math] u [/ math] (si [math] u [/ math] es un vector de unidad. Más generalmente, es [math] | u | [/ math] veces esta coordenada). Y, por supuesto, la extracción de coordenadas es lineal.

Answer 3

Tenemos un triángulo y queremos saber la longitud del lado [matemática] c [/ matemática] en términos de [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] \ theta [/ matemática ]

Proyectamos una hormiga que se arrastra a lo largo del lado [matemáticas] a [/ matemáticas], luego se arrastra a lo largo del lado [matemáticas] b [/ matemáticas]. ¿A qué distancia está del punto de partida?

Primero examinamos casos especiales. Si dos lados apuntan en la misma dirección, tenemos
Y la longitud es solo [matemática] c = a + b [/ matemática]. Este es el mayor valor posible.

Del mismo modo, si apuntan en direcciones opuestas, tenemos

y [matemáticas] c = ab [/ matemáticas]. Este es el valor más pequeño posible.

Si son perpendiculares, tenemos
y por el teorema de Pitágoras, [matemáticas] c = \ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} [/ matemáticas].

Para deshacernos de la raíz cuadrada y comparar todas estas fórmulas en un terreno parejo, de menor a mayor tenemos

[matemáticas] c_ {mínimo} ^ 2 = a ^ 2 – 2 ab + b ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] c_ {ángulo recto} ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] c_ {máximo} ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 [/ matemáticas]

Parece que el patrón general es

[matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2 + f (\ theta) 2 ab + b ^ 2 [/ matemáticas]

donde [math] f (\ theta) [/ math] representa alguna función que va de negativa a positiva, y es igual a cero a noventa grados. ¡Eso es exactamente lo que hace el coseno!

Para probarlo, tome un ángulo arbitrario entre [matemática] a [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] y dibuje esta imagen
Simplemente hemos dividido [matemáticas] b [/ matemáticas] en dos partes: una parte paralela a [matemáticas] a [/ matemáticas] y una parte perpendicular. Estos son los casos que manejamos individualmente antes. Los manejaremos simultáneamente ahora.

Notamos que hay un triángulo rectángulo con una base [matemática] a + b_x [/ matemática] y una altura [matemática] b_y [/ matemática]. Podemos usar el teorema de Pitágoras

[matemáticas] c ^ 2 = (a + b_x) ^ 2 + b_y ^ 2 = a ^ 2 + 2ab_x + b_x ^ 2 + b_y ^ 2 [/ matemáticas]

Lo cual, usando [matemáticas] b_x ^ 2 + b_y ^ 2 = b ^ 2 [/ matemáticas] da

[matemática] c ^ 2 = a ^ 2 + 2 a b_x + b ^ 2 [/ matemática].

Como [math] b_x = b \ cos \ theta [/ math], esto demuestra la ley de los cosenos.