Originalmente solicitó el volumen de un cono con una base elíptica: dejando que [matemática] P [/ matemática] sea el centro del cono, utilizando triángulos rectángulos [matemática] APO [/ matemática] y [matemática] CPO [/ matemática] , podemos calcular el semieje mayor [matemáticas] AP = OP \ tan \ angle AOP = \ tan \ tfrac {\ angle AOB} {2} [/ math] y el eje semiminor [math] CP = \ tan \ tfrac {\ ángulo COD} {2} [/ math]. Entonces el área de la base elíptica es [math] \ pi \ cdot AP \ cdot CP [/ math], y el volumen del cono es [math] \ tfrac13 \ cdot \ textit {base} \ cdot \ textit {height} = \ tfrac \ pi3 AP \ cdot CP [/ math].
Sin embargo, dado su comentario acerca de que un eje diagonal es más largo que los ejes mayor o menor, la forma que tiene realmente no puede ser una elipse. El eje mayor es siempre el eje más largo de una elipse. Las figuras que da sugieren un rectángulo (para el cual el teorema de Pitágoras daría [matemática] \ tan ^ 2 \ tfrac {\ angle AOB} {2} + \ tan ^ 2 \ tfrac {\ angle COD} {2} = \ tan ^ 2 \ tfrac {\ angle EOF} {2} [/ math]).
Además, en los comentarios que mencionó, su motivación es comparar las lentes dSLR por la cantidad de luz que pueden capturar. Sin embargo, debe tener en cuenta que el volumen del cono de luz no es realmente una buena medida de la cantidad de luz que puede capturar una lente. Cuenta dramáticamente sobre la luz recibida de los bordes exteriores de la lente. Por ejemplo, una lente gran angular puede aceptar teóricamente la luz de un cono de luz de 180 °, aunque el volumen de ese cono es infinito.
En realidad, la cantidad de luz capturada de un elemento de área en el plano de visualización disminuye según una ley de “coseno hacia adelante” : es proporcional a [matemáticas] \ cos ^ 4 \ theta [/ matemáticas], donde la luz entra a un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático] desde el eje de la lente.
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Teniendo esto en cuenta, la entrada de luz de la cámara es realmente proporcional a
[matemáticas] \ Phi = 2 \ frac {AP} {\ sqrt {1 + AP ^ 2}} \ tan ^ {- 1} \ frac {CP} {\ sqrt {1 + AP ^ 2}} + {} [ /matemáticas]
[matemática] 2 \ frac {CP} {\ sqrt {1 + CP ^ 2}} \ tan ^ {- 1} \ frac {AP} {\ sqrt {1 + CP ^ 2}} [/ math]
veces el área de la lente. [math] \ Phi [/ math] está en el rango [math] 0 <\ Phi <\ pi [/ math]. Por ejemplo, usando los ángulos de los detalles de la pregunta, obtengo [matemática] AP = 0.71253 [/ matemática], [matemática] CP = 0.58562 [/ matemática], [matemática] \ Phi = 1.07365 [/ matemática].
(Lo calculé proyectando el rectángulo en un hemisferio centrado en [matemáticas] O [/ matemáticas], luego proyectando el hemisferio en un círculo ortográficamente, y tomando el área de la forma resultante limitada por cuatro elipses. Esta combinación de proyecciones obedece a la misma ley de caída [matemática] \ cos ^ 4 [/ matemática] que una cámara.)