¿Cuál es la altura total del sistema que consta de cuatro esferas de igual radio dispuestas piramidalmente?

Answer 1

La respuesta es [matemáticas] 2 (\ sqrt {2/3} + 1) r [/ matemáticas].

Esto se puede ver de la siguiente manera:

Los centros de las cuatro esferas se organizan en los vértices de un tetraedro regular, cuya longitud lateral es el doble del radio de las esferas. La respuesta que estamos buscando es el radio de las esferas inferiores más el desplazamiento vertical desde el centro de las esferas inferiores hasta el centro de la esfera superior más el radio de la esfera superior, es decir, el doble del radio de las esferas. esferas más la altura del tetraedro.

Pero, ¿cuál es la altura del tetraedro? Si podemos expresarlo en términos de la longitud lateral del tetraedro, hemos terminado, ya que sabemos que la longitud lateral del tetraedro es dos veces el radio de las esferas.

Bueno, puede buscar o calcular que la altura de un tetraedro regular es [math] \ sqrt {2/3} [/ math] veces su longitud lateral y, por lo tanto, en nuestro caso, [math] 2 \ sqrt { 2/3} [/ math] veces el radio de las esferas. Completando así la respuesta.

[“¿Cómo se calcula la relación entre la altura de un tetraedro regular y su longitud lateral?”, Puede preguntar. Bueno, para un tetraedro regular, según el teorema de Pitágoras, tenemos el lado [matemático] ^ 2 = altura ^ 2 + k ^ 2 [/ matemático], donde [matemático] k [/ matemático] es la distancia desde el centro del cara inferior a los vértices de esa cara inferior. Por lo tanto, [matemáticas] altura = \ sqrt {lado ^ 2 – k ^ 2} [/ matemáticas]. Y en cuanto a [matemáticas] k [/ matemáticas], sabemos que en un triángulo regular, la distancia del centro desde el vértice superior es el promedio de la distancia vertical de los tres vértices desde el vértice superior, que será [matemáticas] 2 / 3 [/ matemáticas] de la altitud. Y, según el teorema de Pitágoras nuevamente, [matemáticas] lado ^ 2 = altitud ^ 2 + (lado / 2) ^ 2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] altitud = \ sqrt {3/4} lado [/ matemáticas], [matemáticas] k = \ sqrt {1/3} lado [/ matemáticas] y, volviendo a nuestro tetraedro original, encontramos [ matemáticas] altura = \ sqrt {2/3} lado [/ matemáticas].

Pero quizás la forma más simple de hacer el cálculo es simplemente mirar el tetraedro regular a cuyos vértices se les dan coordenadas [matemáticas] \ langle 1, 0, 0, 0 \ rangle, \ langle 0, 1, 0, 0 \ rangle, \ langle 0, 0, 1, 0 \ rangle [/ math] y [math] \ langle 0, 0, 0, 1 \ rangle [/ math] …]

Answer 2

La altura total es [matemática] 2r * (1 + \ sqrt {2/3}) [/ matemática].

Como lo explicó el usuario 12198806806727776508, puede ver que los centros de las cuatro esferas A, B, C y D forman un tetraedro regular. El lado de este tetraedro conecta los centros de todos los pares de esferas, y así, todos son iguales a [matemáticas] 2r [/ matemáticas].

Deje que [math] E [/ math] sea el centro de la base [math] \ Delta BCD [/ math] que se encuentra exactamente debajo de la parte superior de la pirámide [math] A [/ math].

Entonces, puedes ver que:

• [matemáticas] \ Delta BEC [/ matemáticas] es isósceles.

  [matemáticas] \ Rightarrow BE = CE = b [/ matemáticas] (decir)

• La perpendicular de [matemática] E [/ matemática] a [matemática] BC [/ matemática] ([matemática] EF [/ matemática]) biseca [matemática] BC [/ matemática].

  [math] \ Rightarrow BF = FC = r [/ math].

• El hecho de que [math] BE [/ math] biseca [math] \ angle CBD [/ math] (= [math] 60 \, ^ {\ circ} [/ math]) te dice la relación entre [math] b [ / math] y [math] r [/ math]:

  [matemática] \ Rightarrow \ angle CBE = 30 \, ^ {\ circ} [/ math]

  [math] \ Rightarrow b * cos (30 \, ^ {\ circ}) = r [/ math]

  [math] \ Rightarrow b = 2r / \ sqrt {3} [/ math].

Usando estos, la altura del tetraedro [matemática] h [/ matemática] puede calcularse así:

[matemática] AE [/ matemática] es perpendicular a la base [matemática] \ Delta BCD [/ matemática]. Entonces, [matemáticas] \ Delta AEB [/ matemáticas] está en ángulo recto con,

[matemáticas] AB ^ 2 = BE ^ 2 + AE ^ 2 [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow h = 2 * \ sqrt {2/3} * r [/ math]

Finalmente, para calcular la altura total, necesita ver que:

• La base del tetraedro en sí está a una altura [matemática] r [/ matemática] del piso, y
• La parte superior de la estructura está a la altura [math] r [/ math] desde el centro de la esfera superior.

Por lo tanto, la altura total H ,

[matemáticas] H = r + h + r [/ matemáticas]

[math] \ Rightarrow 2r * (1 + \ sqrt {2/3}) [/ math].

[¡Gracias a Sridhar Ramesh por señalar el ‘extra’ [math] r [/ math] en la parte superior!]

Answer 3

La clave para responder esto es encontrar la ubicación del centro de la esfera superior con respecto al piso.

Si las 4 esferas están dispuestas en una forma en la que todas son tangentes a cada una de las otras, si conectara cada centro con las demás, tendría un tetraedro. Sabemos que los ángulos en cada vértice de un tetraedro perfecto son 60 grados.

El centro de las esferas inferiores está a una altura de r, el centro de las esferas superiores será r * cos 60 grados más alto que eso. La altura total del sistema es r mayor que eso.

Entonces tenemos 2r + r * cos (60)

Sin embargo, algo sobre esta respuesta no me sienta bien, creo que el ángulo de inclinación de un tetraedro regular puede no ser de 60 grados, 60 grados es el ángulo de inclinación de las caras adyacentes, no del ángulo dado por un borde con respecto al opuesto cara.

Entonces, sería 2r + r * cos θ donde θ es el ángulo dado por el piso del sistema y una línea que conecta los centros de las esferas de diferentes alturas.

Me daría cuenta de qué es look o lo buscaría, pero estoy publicando desde mi teléfono y no tengo papel para los cálculos, y tengo el presentimiento de que necesitaría aprender una gran cantidad de geometría euclidiana básica que he olvidado en el camino . Estoy seguro de que hay un ingeniero o arquitecto que se ha comprometido con la memoria y que podrá obtenerlo antes que yo.