Geometría: ¿Cuál es la intuición detrás de la fórmula para el área de superficie de una esfera?

Answer 1

Tome su globo favorito, oriéntelo con el polo norte directamente sobre el polo sur, y considere un cilindro que lo encierra, tocando justo en el ecuador y extendiéndose a la misma altura y profundidad que los polos norte y sur. Luego proyecte la superficie del globo horizontalmente hacia afuera para crear un mapa en el costado del cilindro.

En la latitud [matemática] \ theta [/ matemática] desde el ecuador, la proyección estira las distancias latitudinales en horizontal por un factor de [matemática] \ seg (\ theta) [/ matemática], mientras que también, la superficie está orientada en una inclinación de [math] \ theta [/ math] desde la vertical y, por lo tanto, la proyección comprime las distancias longitudinales en vertical por el mismo factor de [math] \ sec (\ theta) [/ math]. Por lo tanto, la proyección conserva el área (el estiramiento y la compresión se anulan entre sí), y encontramos que el área de la superficie del globo es la misma que el área del lado del cilindro.

Esta área es claramente la circunferencia del cilindro multiplicada por la altura del cilindro, es decir, la circunferencia del globo multiplicada por el diámetro del globo. Por lo tanto, tenemos nuestra fórmula: [matemáticas] S = 2 \ pi r \ veces 2r = 4 \ pi r ^ 2 [/ matemáticas].

(Por lo que vale, este mismo argumento muestra de manera más general que el tamaño de la superficie de una bola dimensional [matemática] n [/ matemática] es su circunferencia multiplicada por el tamaño interior de una [matemática] (n – 2) [/ matemática] tridimensional del mismo radio. Ver también Geometría: ¿Cuál es la intuición detrás de la fórmula para el volumen de una esfera?)