Recuerde que (crédito Wikipedia) un plano proyectivo consiste en un conjunto de líneas , un conjunto de puntos y una relación entre puntos y líneas llamada incidencia , que tiene las siguientes propiedades:
- Dados dos puntos distintos, hay exactamente un incidente de línea con ambos.
- Dadas dos líneas distintas, hay exactamente un punto de incidente con ambas.
- Hay cuatro puntos tales que ninguna línea incide con más de dos.
Dado cualquier campo finito [math] \ mathbb {F} _q [/ math], existe el plano proyectivo correspondiente [math] \ mathbb {P} ^ 2 (\ mathbb {F} _q) [/ math] cuyos puntos son vectores en [math] \ mathbb {F} _q ^ 3 [/ math] multiplicación escalar módulo, y cuyas líneas son subespacios bidimensionales de este espacio vectorial. Muchos planos proyectivos son de esta forma, sin embargo, no todos los planos proyectivos (en el sentido de los axiomas) son de esta forma. El plano de Fano es, de hecho, solo [math] \ mathbb {P} ^ 2 (\ mathbb {F} _2) [/ math].
Para probar el resultado que solicita, debemos trabajar directamente desde los axiomas. Deje que [math] X [/ math] sea el conjunto de puntos en un plano proyectivo finito.
Reclamación 1: Dos líneas [matemática] L_1, L_2 [/ matemática] en [matemática] X [/ matemática] tienen el mismo número [matemático] N + 1 [/ matemático] de puntos para algún número [matemático] N [/ matemáticas]. Además, hay líneas [matemáticas] N + 1 [/ matemáticas] que pasan por cualquier punto [matemáticas] p \ en X [/ matemáticas].
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Prueba: por el Axioma 1, [matemática] L_1 [/ matemática] y [matemática] L_2 [/ matemática] se cruzan en un punto [matemática] x \ en X [/ matemática].
Podemos usar Axiom 3 para encontrar un punto [matemática] p \ en X [/ matemática] que no se encuentra en [matemática] L_1 [/ matemática] ni [matemática] L_2. [/ Matemática] De hecho, elija cuatro puntos [matemática] a, b, c, d [/ math] de tal manera que ninguna línea incide con más de dos de ellas; suponga que ninguno de estos puntos es el punto [matemáticas] x [/ matemáticas]; en este caso, uno de los cuatro puntos claramente no se encuentra en [matemáticas] L_1 \ cup L_2 [/ matemáticas]. Si los cuatro puntos se encuentran en [matemáticas] L_1 \ cup L_2 [/ matemáticas], entonces, sin pérdida de generalidad, podemos suponer [matemáticas] L_1 = \ overline {ab} [/ matemáticas] y [matemáticas] L_2 = \ overline {cd }[/matemáticas]. Entonces las líneas [matemáticas] \ overline {ac} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ overline {bd} [/ matemáticas] se encuentran en algún punto [matemáticas] p [/ matemáticas], y este punto no se encuentra en [matemáticas ] L_1 \ cup L_2 [/ math].
Denote con [math] Y_p [/ math] el conjunto de líneas que pasan por [math] p [/ math]. Luego obtenemos un mapa
[matemáticas] Y_p \ a L_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] L \ mapas a L_1 \ cap L [/ matemáticas]
y de forma similar, un mapa [matemático] Y_p \ a L_2. [/ matemático] Los axiomas 1 y 2 aseguran que ambos mapas son biyecciones, por lo que [matemático] L_1, L_2 [/ matemático] tienen el mismo número de puntos y este número de puntos es igual al número de líneas que pasan por [math] p [/ math]. La declaración “dual” de que el tamaño de [math] Y_p [/ math] no depende de [math] p [/ math] sigue exactamente el mismo argumento cuando uno invierte el papel de los puntos y las líneas. [matemáticas] \ Box [/ matemáticas]
Llamamos al número [math] N [/ math] el orden del plano proyectivo. De hecho, el número de puntos en el plano proyectivo depende solo del orden del plano.
Reclamación 2: Si [math] X [/ math] es un plano proyectivo de orden [math] N [/ math], entonces [math] X [/ math] tiene [math] N ^ 2 + N + 1 [/ math ] puntos.
Prueba: fije un punto [matemático] x \ en X [/ matemático] y denote con [matemático] Y_x [/ matemático] el conjunto de líneas que pasan por [matemático] x [/ matemático]. Entonces cada punto de [matemáticas] X [/ matemáticas] que no sea [matemáticas] x [/ matemáticas] se encuentra en una línea única en [matemáticas] Y_x [/ matemáticas], y cada línea en [matemáticas] Y_x [/ matemáticas] tiene exactamente [matemática] N [/ matemática] apunta en ella que no sea [matemática] x [/ matemática], entonces
[matemáticas] | X \ setminus \ {x \} | = | Y_x | \ cdot N = (N + 1) N [/ matemáticas]
y por lo tanto
[matemáticas] | X | = N ^ 2 + N + 1. \, \ Box [/ math]
Así, el número de puntos en un plano proyectivo finito es siempre un número de la forma [matemática] N ^ 2 + N + 1, [/ matemática] donde [matemática] N [/ matemática] es un entero positivo. Además, debemos tener [math] | X | \ geq 4 [/ math] por Axiom 3. Pero [math] N = 1 [/ math] produce [math] N ^ 2 + N + 1 = 3 [/ math] , entonces la posibilidad más pequeña es [matemática] N = 2 [/ matemática], produciendo [matemática] | X | = 7 [/ matemática], la cardinalidad del plano Fano.