Las teorías físicas ya son (casi) puramente geométricas.
Tanto la relatividad general (GR) como el modelo estándar de física de partículas (SM) son teorías geométricas. GR es la teoría de la métrica de una variedad pseudo-Riemanniana, mientras que la SM es la teoría de varios campos en dicha variedad con paquetes G (paquetes de fibras) sobre la variedad con grupos [matemáticos] SU (3) \ veces SU (2) \ times U (1) [/ math], y la teoría de las conexiones de esos G-bundles. En cambio, puede pensar en el paquete de fibras como una variedad de dimensiones superiores, pero la mayoría de las personas prefieren pensar en términos de un paquete de fibras.
La única parte de esto que no es “solo geometría” son los campos (leptones, quarks y Higgs).
El principio de la acción estacionaria, sin embargo, no proviene de la geometría del espacio. Más bien, el principio (junto con principios tales como que la acción es geométrica, difeomorfismo invariante, etc.) es uno que, junto con la elección de la acción, especifica la teoría. El principio de acción está algo “por encima” del nivel de la teoría, ya que todas las teorías modernas provienen del principio de acción. Sin embargo, el principio de acción parece estar bien motivado. Para una buena motivación, recomiendo leer el comienzo de Estructura e interpretación de la mecánica clásica ( http://mitpress.mit.edu/SICM/boo …
Supongamos que para cada sistema físico hay una función de distinción de ruta que es estacionaria en rutas realizables. Intentaremos deducir algunas de sus propiedades.
Nuestra experiencia ordinaria sugiere que el movimiento físico puede describirse mediante rutas de configuración que son continuas y suaves. No vemos que el pin de malabarismo salte de un lugar a otro. Tampoco vemos que el pin de malabarismo cambie repentinamente la forma en que se mueve.
Nuestra experiencia ordinaria sugiere que el movimiento de los sistemas físicos no depende de toda la historia del sistema. Si entramos en la habitación después de que el pin de malabarismo haya sido lanzado al aire, no podemos decir cuándo dejó la mano del malabarista. El malabarista podría haber lanzado el alfiler desde una variedad de lugares en una variedad de momentos con el mismo resultado aparente mientras entramos por la puerta. Por lo tanto, el movimiento del pin no depende de los detalles de la historia.
Nuestra experiencia ordinaria sugiere que el movimiento de los sistemas físicos es determinista. De hecho, un pequeño número de parámetros resume los aspectos importantes de la historia del sistema y determina su evolución futura. Por ejemplo, en cualquier momento, la posición, la velocidad, la orientación y la velocidad de cambio de la orientación del pin de malabarismo son suficientes para determinar por completo el movimiento futuro del pin.
A partir de nuestra experiencia de movimiento, desarrollamos ciertas expectativas sobre las rutas de configuración realizables. Si una ruta es realizable, entonces cualquier segmento de la ruta es un segmento de ruta realizable. Por el contrario, una ruta es realizable si cada segmento de la ruta es un segmento de ruta realizable. La realizabilidad de un segmento de ruta depende de todos los puntos de la ruta en el segmento. La realizabilidad de un segmento de ruta depende de cada punto del segmento de ruta de la misma manera; ninguna parte del camino es especial. La realizabilidad de un segmento de ruta depende solo de los puntos de la ruta dentro del segmento; La realización de un segmento de ruta es una propiedad local.
Por lo tanto, la función de distinción de ruta agrega alguna propiedad local del sistema medida en cada momento a lo largo del segmento de ruta. Cada momento a lo largo del camino debe ser tratado de la misma manera. Las contribuciones de cada momento a lo largo del segmento de ruta deben combinarse de manera que se mantenga la independencia de las contribuciones de los subsegmentos disjuntos. Un método de combinación que satisface estos requisitos es sumar las contribuciones, haciendo que la función de distinción de ruta sea una parte integral sobre el segmento de ruta de alguna propiedad local de la ruta.
Finalmente: la conservación de la energía no es algo que proviene de la geometría del espacio. Más bien, proviene de la invariancia de la traducción física de la teoría del tiempo. Más técnicamente, la energía en realidad no se conserva globalmente, solo localmente; El tensor de energía-momento total es localmente libre de divergencia covariablemente.