¿Cuál debería ser r, de modo que la proporción del área no sombreada con respecto al sombreado sea phi?

Answer 1

La respuesta es aproximadamente r = 0.9864036802 R.

Para resolver esto, para cualquier valor fijo de r y R, describiremos una forma de calcular la relación del área de la parte sin sombrear al área de la parte sombreada.

Primero, considere el triángulo isósceles cuyos vértices están dados por (A) el centro del círculo izquierdo, (B) el centro del círculo derecho y (C) el punto superior de intersección de los dos círculos. Este triángulo tiene dos lados de longitud R (AB y BC) y un lado de longitud r (AC). El ángulo en el vértice B viene dado por [math] \ alpha_B = 2 \ sin ^ {- 1} \ left (\ frac {r} {2R} \ right) [/ math]; Esto sigue bisecando el triángulo en dos triángulos rectángulos (desde el vértice B hasta el punto medio del borde AC) y usando algo de trigonometría simple. Luego se deduce que los ángulos en los vértices A y C son ambos [\ math] \ alpha_A = \ frac {\ pi – \ alpha_B} {2} [/ math]. Entonces, ahora tenemos una fórmula para los dos ángulos en términos de r y R.

Luego, dibuje una línea desde el punto de intersección superior (C) de los dos círculos hasta (D) el punto de intersección inferior de los dos círculos. El área de la región sombreada es la suma de dos segmentos circulares (http://en.wikipedia.org/wiki/Cir…), cuyas áreas correspondientes son [matemáticas] A_1 = \ frac {{r} ^ 2} {2 } (2 \ alpha_A- \ sin (2 \ alpha_A)) [/ math] y [math] A_2 = \ frac {{R} ^ 2} {2} (2 \ alpha_B- \ sin (2 \ alpha_B)) [ /matemáticas]. La relación del área sin sombrear al área sombreada es la relación [matemática] (r, R) = \ frac {\ pi R ^ 2-A_1-A_2} {A_1 + A_2} [/ matemática]. Por lo tanto, ahora tenemos una manera de calcular la razón de áreas en términos de r y R.

Finalmente, solo necesitamos probar muchos valores diferentes de r y R para obtener una relación que coincida con [math] \ varphi [/ math]. (Sin embargo, debe quedar bastante claro que escalar r y R por el mismo factor constante no cambia la proporción de áreas, por lo que es suficiente suponer simplemente R = 1.) La forma más sencilla de hacerlo es a través de un hallazgo de raíz método (por ejemplo, http://en.wikipedia.org/wiki/Bre…) aplicado a la relación [matemática] (r, R) – \ varphi [/ matemática]. A continuación, he mostrado un breve programa de Python que se puede usar para calcular la respuesta:

import numpy import scipy.optimize R = 1. phi = (1. + numpy.sqrt(5.)) / 2. def f(r): alphaB = 2 * numpy.arcsin((r/2) / R) alphaA = (numpy.pi - alphaB) / 2 areaA = (r**2/2) * (2*alphaA - numpy.sin(2*alphaA)) areaB = (R**2/2) * (2*alphaB - numpy.sin(2*alphaB)) return phi - (numpy.pi * R**2 - areaA - areaB) / (areaA + areaB) print scipy.optimize.brentq(f, 0.001, 1.999) 

Answer 2

A menos que haya una manera de encontrar una expresión analítica para el ángulo en términos de las longitudes de arco, no hay forma de obtener una expresión analítica exacta para esto. Seguí las sugerencias de Chuong (estableciendo d = 1 y reduciendo la relación a través del álgebra) que me dio

[matemáticas] r ^ {2} \ cos ^ {- 1} (r / 2) + \ cos ^ {- 1} (1-r ^ {2} / 2) [/ matemáticas] [matemáticas] – \ frac { 1} {2} r \ sqrt {4-r ^ {2}} = \ frac {\ pi} {1+ \ phi} \ cdots [/ math].

Mathematica no puede resolver esto para r . Puede haber algunas simplificaciones o aproximaciones que podemos hacer para los ángulos (arcoscosinas) pero aún no he descubierto qué es eso.

============= Versiones anteriores de respuesta ===========================
Eso es realmente un cálculo bastante complicado. La forma de calcular el área de la región de intersección se describe aquí: http://mathworld.wolfram.com/Cir … (la ecuación completa es demasiado larga para escribirla aquí). Luego puede usar una identidad para [math] \ pi [/ math] (también dada en ese enlace) de modo que pueda escribir el área del círculo más grande como

[matemáticas] A_ {0} = \ pi R ^ {2} = 4R ^ {2} \ cos ^ {- 1} \ left (\ frac {1} {2} d \ right) -d \ sqrt {4- d ^ {2}} [/ matemáticas]

donde d es la distancia entre los centros de los dos círculos. Entonces, por supuesto, tendrías que establecer la proporción de [matemática] A_ {i} / A_ {0} [/ matemática] a la proporción áurea y resolver r . Por supuesto, la parte más complicada puede ser que d depende de r . Personalmente, probablemente usaría Mathematica o algo similar para resolver esto. Es posible que haya un método más simple que no conozco.

ACTUALIZACIÓN: Teniendo en cuenta los comentarios de Pablo, he logrado reducir la proporción a este
Creo que aún necesitará algo como Mathematica para resolver r (después de establecer la proporción igual a [math] \ phi [/ math]). No tiene que ser numérica, necesariamente. Es posible que pueda obtener una solución analítica.

ACTUALIZACIÓN II: Chuong es correcto. Editaré esta respuesta por la mañana para reflejar la expresión correcta.

NOTA: (Estoy realmente perplejo por cómo funciona esta función de edición en Quora … disculpe la torpeza aquí.) Una cosa para simplificar puede ser señalar que si (A_0-A_1) / A_1 = phi, entonces con algo de álgebra, puede mostrar que A_1 = A_0 / (phi + 1). En segundo lugar, podría considerar simplificar un poco el problema simplemente suponiendo que d = 1 (sin pérdida de generalidad). Por lo tanto, todo se reduce a establecer la versión fija del numerador en 1 / (phi + 1).

Todavía no veo cómo obtener un formulario analítico para esto, pero al menos esas sugerencias podrían ayudar a simplificar un poco.