¿Por qué la circunferencia de un círculo es la derivada del área?

Answer 1

Considere un rectángulo de 1 por 2. Si tira de todos los lados hacia afuera (perpendicularmente a sí mismos) por una distancia de 1, terminará con un rectángulo de 3 por 5. Si tira de todos los lados hacia afuera por una distancia de 2, terminará con un rectángulo de 5 por 7. Si empuja todos los lados hacia adentro una distancia de 1/2, terminará con una delgada línea de dimensiones de 0 por 1.

¿Y qué? Bueno, lo que estamos viendo aquí es la familia de [matemática] 2r + 1 [/ matemática] por [matemática] 2r + 2 [/ matemática] rectángulos, donde [matemática] r [/ matemática] mide la cantidad que tiene cada lado sido sacado perpendicularmente a sí mismo.

¡Y he aquí! El área de tal rectángulo es [matemática] (2r + 1) (2r + 2) = 4r ^ 2 + 6r + 3 [/ matemática], y su perímetro es [matemática] 2 * ((2r + 1) + ( 2r + 2)) = 8r + 6 [/ matemáticas]. El perímetro es la derivada del área, en función de [math] r [/ math].

Esto se debe a que cada vez que saca un lado (perpendicularmente), ese lado barre un área igual a su longitud multiplicada por la distancia extraída. En consecuencia, la tasa de cambio del área con respecto a la distancia extraída es la longitud.

Tenemos exactamente el mismo fenómeno para cualquier forma, en cualquier número de dimensiones, ya que sacamos sus lados perpendicularmente a una velocidad uniforme: la derivada de la medida interior, en función de la distancia extraída, es la medida de la superficie.

Y un círculo / esfera es solo un ejemplo particularmente agradable de tal forma, donde al tirar de todos los “lados” (infinitamente infinitos, rectos infinitesimales) uniformemente se forma un círculo / esfera más grande, con el radio rastreando qué tan lejos se han tirado fuera. Por lo tanto, tenemos la relación observada entre las medidas interiores y superficiales de círculos / esferas / hiperesferas, en función del radio.

[Para lo que vale, hay muchos otros objetos que son como círculos / esferas / hiperesferas en el sentido de que todos los lados son equidistantes de algún punto en particular. Por ejemplo, un triángulo, un polígono regular, un tetraedro, un poliedro regular … Y encontrarás que, por ejemplo, el área de un pentágono regular, expresada en función de la distancia de los lados desde el centro, tiene derivada igual al perímetro. Y el volumen de un cubo (o un dodecaedro o …), expresado en función de la distancia de los lados desde el centro, tiene una derivada igual al área de superficie. Y de manera similar para todo tipo de monstruos de dimensiones superiores …]

Answer 2

Para aclarar, creo que quiere decir que la circunferencia de un círculo es la derivada del área con respecto al radio . es decir, C = dA / dr.

Aquí se explica cómo conceptualizarlo: la derivada del área con respecto al radio es la cantidad de área adicional por unidad de radio adicional (tomada como límite ya que esta “unidad de radio adicional” tiende a 0). Piensa en lo que le sucede al área de un círculo si aumentas un poco el radio. Obtiene un “anillo” delgado adicional de área alrededor del círculo original. ¿Cuál es el área de este anillo?

Es aproximadamente igual a la circunferencia multiplicada por el “ancho” de este anillo, que es el pequeño radio adicional (cualquier sección pequeña del anillo es aproximadamente rectangular, con el “ancho” del anillo como el ancho y la longitud de la sección como la longitud). Cuando dividimos esto por el radio adicional, solo obtenemos la circunferencia. Digo “aproximadamente” porque en un anillo real la circunferencia en los bordes interno y externo del anillo es ligeramente diferente, y el área de un anillo real es, por lo tanto, algo complicada. Pero recuerde que la derivada es un límite de cuando el “radio adicional”, es decir, el ancho del anillo, tiende a 0. A medida que el ancho del anillo se hace más pequeño, la diferencia de las dos circunferencias se hace más pequeña y el área real del anillo. el anillo se acerca a la aproximación.

Cuando tomamos el límite a medida que este “radio adicional” va a cero, las partes impuras de la aproximación desaparecen, y la derivada es igual a la circunferencia (la circunferencia “instantánea” en ese radio; ya no tenemos que pensar en el interior y circunferencias externas). El mismo razonamiento se aplica al volumen y al área de superficie de una esfera. Si esto parece alucinante al principio, no se preocupe, se acostumbrará a pensar de esta manera con el tiempo, a medida que encuentre más cálculos.

Answer 3

Aquí he tratado de resolverlo visualmente.

La idea aquí es que:

Como el círculo siempre se expande, la circunferencia no es constante. Entonces, para denotar el área en términos de circunferencia final, debemos usar el radio promedio (r) para nuestros cálculos.

Del mismo modo para un rectángulo. Crece en 2 direcciones, es decir, a lo largo de la altura y el radio, por lo que debemos expresarlo en términos de circunferencia (también llamada perímetro) a lo largo de una de las direcciones. He tomado radio (r) en mi caso.

Ahora lo sumamos 2 veces una vez a lo largo del radio, ya que C permanecerá constante para cada parte, por lo tanto, Cstrip = 4r a lo largo de la longitud del rectángulo.

Y dado que la circunferencia del rectángulo aumenta con la altura, usamos el valor promedio de altura (h)

PD: En este método simplemente he usado mi intuición y me encantaría leer sobre cuáles son los posibles defectos. También siéntase libre de sugerirme formas de desarrollar el método y mejorar mi intuición.

Answer 4

Mire el problema al revés: una derivada es el reverso de una integral y una integral se define como el área bajo una función. En otras palabras, una integral toma una función que describe una curva y le da el área debajo de ella. Entonces, si la circunferencia de un círculo está definida por una ecuación, integrarla debería darte el área. Si tienes el área entonces, derivarla te da la circunferencia. La misma idea básica se aplica a la superficie / volumen también.

No es solo suerte que funcionen de esta manera, la definición de una derivada y una integral se diseñaron para este tipo de relación.

Answer 5

[math] \ mathrm {d} A [/ math] es el área de la banda delgada y ligera. Si lo desenrolla desde alrededor del borde del círculo y lo coloca plano, tiene una tira con grosor [math] \ mathrm {d} r [/ math] y longitud [math] C [/ math] así que

[math] \ mathrm {d} A = C \ mathrm {d} r [/ math]

o

[math] \ frac {\ mathrm {d} A} {\ mathrm {d} r} = C [/ math]

Answer 6

Vea el Teorema de Green y el Teorema de Stoke. El interior de una superficie cerrada está completamente determinado por el límite. La derivada del área de un círculo no solo es la circunferencia, sino que la derivada del volumen de una esfera es el área de superficie.

Answer 7

También funciona en 3D para ciertos objetos bajo ciertas condiciones.

Por ejemplo, la esfera y el cubo. Si la esfera y el cubo están centrados en el origen (lo que permite que las cantidades relevantes se expresen de forma simétrica radialmente) tenemos:

Para una esfera centrada en el origen:

[matemáticas] V = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] S = \ frac {dV} {dr} = {4} \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]

Del mismo modo, para un cubo centrado en el origen (x representa la mitad de la longitud de un lado porque está centrado en el origen):

[matemáticas] V = 8 x ^ 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] S = \ frac {dV} {dx} = 24 x ^ 2 [/ matemáticas]

Esta es el área de la superficie del cubo porque el área de un lado es [matemática] 4x ^ 2 [/ matemática]