¿Por qué se considera a Pi un número tan importante en matemáticas?

Answer 1

Es bastante difícil clasificar la “importancia” cuando se trata de personas o decisiones en la vida. Puede ser relevante hacerlo allí, pero cuando se trata de números simplemente no tiene sentido intentar clasificar su “importancia”.

Ciertos números irracionales y trascendentales como [matemática] \ sqrt5 [/ matemática] o [matemática] e [/ matemática] aparecen en diversas situaciones en Matemáticas. [math] \ pi [/ math] es uno de esos números que aparece cuando los círculos están involucrados directa o indirectamente y en otras circunstancias. Pero nada lo hace más importante que cualquier otro número.

Los enteros positivos pequeños aparecen con más frecuencia. Me atrevo a decir que [math] \ sqrt2 [/ math] también aparece con más frecuencia, pero [math] \ pi [/ math] tiene un control único sobre la imaginación del público. [math] \ pi [/ math] es el número de “celebridad”, y es casi tan importante como una celebridad de Hollywood: es bueno para el marketing y la publicidad, pero toma sus “ideas profundas” con una pizca de escepticismo.

Algunas personas atribuyen todo tipo de propiedades místicas a [math] \ pi [/ math], a menudo relacionadas con los dígitos en su representación decimal. Propiedades que generalmente se aplican a casi todos los números reales pero que [math] \ pi [/ math], al ser una celebridad, acaparan a sí mismas.

No me malinterpreten, [math] \ pi [/ math], es una constante muy útil. Es por eso que tiene su propia letra griega. Lo mismo ocurre con [math] \ varphi [/ math] (pero no me hagas empezar con el misticismo con Golden Ratio) y [math] \ omega [/ math] (el ordinal transfinito más pequeño y, en mi humilde opinión, mucho más concepto interesante)

Pero la importancia simplemente no tiene sentido.

Traído a usted por la Campaña para desmitificar [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] : no hay nada místico sobre [matemáticas] \ pi [/ matemáticas].

Answer 2

Hay dos unidades naturales para medir ángulos: una forma natural de medir ángulos es por el número de revoluciones completas (por ejemplo, un ángulo recto es 1/4 de muchas revoluciones), y el otro es por el número de radianes, es decir, por la relación de longitud de arco a radio correspondiente (entonces, por ejemplo, un ángulo recto es un poco más de 1.57 radianes).

Estas dos unidades para medir ángulos son tan ubicuamente útiles que el factor de conversión entre ellas también es ubicuamente útil. El número de radianes en una revolución completa se llama [math] \ tau [/ math] (“tau”), y es un poco más de 6.28. Es de fundamental importancia en matemáticas simplemente porque hay tantos contextos en los que uno quiere convertir entre estos dos sistemas naturales de medición de ángulos.

[math] \ pi [/ math] (“pi”) es la mitad de [math] \ tau [/ math]; su mayor prominencia cultural se debe principalmente a razones históricas, en lugar de matemáticas (a menudo, [math] \ pi [/ math] se define como la relación longitud de arco / diámetro de una revolución completa, pero ahora se entiende que los diámetros son mucho sistema de medición de ángulos menos natural que los radianes).

(Una forma más “algebraica” / “analítica”, en lugar de “geométrica”, de establecer la propiedad definitoria de [math] \ tau [/ math] y explicar su ubicuidad es la siguiente: hay muchos procesos a través de las matemáticas y la física que experimentan una aceleración proporcional a su negación. Resulta que todos estos procesos son periódicos; específicamente, la solución genérica a la ecuación diferencial [matemática] f ” = -f [/ matemática] es periódica, y nombramos su período [matemática] \ tau [/ math] (con [math] \ pi [/ math], por lo tanto, denotando el medio período). Esta es en realidad otra forma de discutir la rotación y los ángulos, como lo hicimos antes, pero quizás requiere algo de matemática sofisticación para apreciar esta equivalencia.)

Answer 3

Cada vez que aparece [math] \ pi [/ math], es una señal clara de que los círculos están involucrados de alguna manera. Un caso especial importante es la periodicidad que puede cuantificarse utilizando ángulos de fase. A veces toma un poco de tiempo encontrar la relación con los círculos, pero todavía tengo que encontrar un caso que eventualmente no se relacione con algún tipo de periodicidad o circularidad.