¿Cuál es la diferencia entre números ordinales y números cardinales?

¡Buena pregunta!

Un número cardinal representa una clase de conjuntos de equivalencia entre los cuales hay una biyección (correspondencia uno a uno). Es el número de elementos en cualquier miembro de la clase de equivalencia.

Un número ordinal representa una clase de equivalencia de conjuntos bien ordenados entre los cuales hay una biyección que preserva el orden. Es el número de elementos en cualquier miembro de la clase de equivalencia.

La diferencia solo está en si los conjuntos están ordenados. Cada conjunto finito puede estar bien ordenado simplemente contando sus elementos y etiquetando los elementos con el recuento. El recuento proporciona una biyección que preserva el orden entre dos conjuntos finitos de la misma cardinalidad. Por lo tanto, un ordinal finito es esencialmente equivalente a un cardenal finito, aunque a veces distinguimos los dos de la misma manera que el inglés distingue “cinco” de “quinto”, ya que la última palabra implica un orden.

Todo cambia para conjuntos transfinitos más allá del primer límite ordinal, [math] \ omega [/ math], el tipo de orden de [math] \ mathbb N [/ math], el conjunto de números naturales. Por ejemplo, el conjunto ordenado [math] \ mathbb N \ cup \ {\ omega \} \ equiv \ {0,1,2,3, \ dotsc, \ omega \} [/ math] no tiene una biyección para preservar el orden con el conjunto ordenado [math] \ mathbb \ {\ omega \} \ cup \ mathbb N \ equiv \ {\ omega, 0,1,2,3, \ dotsc \} [/ math]. El primero tiene el tipo de orden [math] \ omega + 1 [/ math]. Este último tiene un tipo de orden [matemática] 1+ \ omega = \ omega [/ matemática] como lo demuestra la biyección de preservación de orden:

[matemáticas] \ omega \ leftrightarrow0 [/ matemáticas]
[matemáticas] n \ leftrightarrow n + 1 [/ matemáticas]

Esto demuestra que la suma ordinal transfinita no es conmutativa.

Tenga en cuenta que la cardinalidad de (un conjunto con tipo de orden) [math] \ omega + 1 [/ math] es la misma que la cardinalidad de [math] 1+ \ omega [/ math], es decir, [math] \ aleph_0 [/ math], la cardinalidad de [math] \ mathbb N [/ math].

Obtiene muchos ordinales transfinitos con cardinalidad [math] \ aleph_0 [/ math] antes de llegar a [math] \ omega_1 [/ math] el primer ordinal incontable con cardinality [math] \ aleph_1 [/ math]. Incluyen:

[matemáticas] \ omega + \ omega = 2 \ omega [/ matemáticas]
[matemáticas] \ omega \ times \ omega = \ omega ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ omega ^ {\ omega} [/ matemáticas]
[math] \ epsilon_0 = \ omega ^ {\ omega ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ \ omega}}}} [/ math], entonces [math] (\ epsilon_0 [/ math]) [math ] ^ {\ omega} = \ epsilon_0 [/ math]

Es bastante notable que haya una biyección entre un conjunto ordenado de tipo [math] \ epsilon_0 [/ math] y [math] \ mathbb N [/ math], pero ahí lo tiene.

En resumen, los ordinales y cardenales finitos son apenas distinguibles, pero los ordinales y cardenales transfinitos son apenas similares.

¿Cuál es el significado físico del conjugado de un número complejo?

¿Es posible crear un grupo de números distintos de cuatro dígitos, de modo que la suma de 8 números elegidos al azar de este grupo sea 35712? Si es así, ¿cómo?

¿Qué significa ver números dobles en los relojes?

¿Por qué X es 0 = 0 pero X dividido cero no es 0?

¿Cuál es el escalar finito más grande que se haya representado en forma cerrada?

¿Cómo se puede probar si un número grande es primo?

Hay dos posibles respuestas a esto.

En uso general, ‘cardinal’ se usa para referirse a números naturales, 0, 1, 2, 3, … y ‘ordinal’ para referirse a números de lugar, 1 °, 2 °, 3 °, … esta puede ser la respuesta que estaba buscando .

En matemáticas, y más específicamente en teoría de conjuntos, tienen diferentes significados.

Los cardenales miden el ‘tamaño’ o cardinalidad de los conjuntos, y hay un número cardinal para cada cardinalidad posible. Para conjuntos finitos esto es obvio, la cardinalidad es solo el número de elementos en el conjunto, por lo tanto 0, 1, 2, 3, … son números cardinales, porque puede tener conjuntos con 0, 1, 2, 3, … elementos en ellos. Pero el punto clave sobre los cardenales es cómo funcionan para conjuntos infinitos. Los números cardinales infinitos se llaman [math] \ aleph_0, \ aleph_1, \ aleph_2, … [/ math] y se definen en términos de correspondencia biyectiva. Por ejemplo, [math] \ aleph_0 [/ math] se define como la cardinalidad del conjunto de números naturales [math] \ mathbb {N} [/ math] y, por lo tanto, cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia biyectiva con [math] \ mathbb {N} [/ math], por ejemplo, el conjunto de números racionales [math] \ mathbb {Q} [/ math], tiene la misma cardinalidad [math] \ aleph_0 [/ math]. Pero un conjunto infinito que no se puede poner en correspondencia biyectiva con [math] \ mathbb {N} [/ math], por ejemplo el conjunto de números reales [math] \ mathbb {R} [/ math], tendrá una cardinalidad diferente .

Un ordinal es un conjunto con un buen orden. Entonces, por ejemplo, [math] \ omega [/ math] es el conjunto de tamaño [math] \ aleph_0 [/ math] con el orden habitual en números naturales (es decir, 0 <1 <2 <3 <...).

Lo complicado es que las etiquetas de los elementos no importan, por lo que, por ejemplo, si solo cambio el orden de 0 y 1 en el ejemplo anterior para obtener 1 <0 <2 <3 <..., no obtengo un diferente ordinal, eso sigue siendo [matemáticas] \ omega [/ matemáticas].

Pero, si muevo el elemento etiquetado 0 al final, entonces tenemos 1 <2 <3 <... <0, entonces eso es [math] \ omega + 1 [/ math], un ordinal diferente de la misma cardinalidad.

Cada forma diferente de ordenar bien un conjunto de un tamaño dado es un ordinal diferente. Para conjuntos finitos, solo hay un ordinal para cada tamaño, porque un conjunto finito solo se puede ordenar de una manera, si el etiquetado de los elementos no importa. Pero para conjuntos infinitos hay muchas formas diferentes de ordenarlos.

Hay innumerables ordinales para cada cardinalidad.

Tim Farage

En términos laicos muy simples: