¿Alguna cifra que se espera sea irracional ha resultado ser racional, pero con un denominador muy grande?

Answer 1

Curiosamente, la pregunta (aunque extrañamente redactada) es realmente interesante. Pi no es 22/7; más bien, es un número irracional. Como otros han mencionado, las fracciones tienen expansiones decimales finitas o repetitivas. Tomaré la propiedad de la racionalidad como la definición de un número “aparentemente interminable” que se convierte en “finito”. Por lo tanto, por definición, ninguna “división sorpresa” puede dejar de ser finita. Pero no todos los números son “divisiones”. De hecho, en un sentido matemáticamente preciso, el 0% de todos los números son racionales. Si se encuentra con un número en la calle, es casi seguro que sea irracional, como pi, oe, o sqrt (2). Peor aún, incluso se puede describir el 0% de los números, de la manera precisa en que se puede describir pi o e o sqrt (2). (Por ejemplo, pi es la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, e puede expresarse como la base del crecimiento exponencial de una cuenta bancaria con 100% apr continuamente compuesto, y sqrt (2) satisface una ecuación obvia). Pero incluso cuando puedes describir un número, lo más probable es que sea irracional. Se han definido muchas constantes famosas a lo largo de los años, y a menudo es extremadamente difícil demostrar que son irracionales, incluso si esperamos que lo sean. (Los problemas análogos se refieren a la propiedad de la algebraicidad versus la trascendencia).

Entonces, tomemos la pregunta como “¿hay algún número que los matemáticos hayan definido intrínsecamente y que se sospeche que sea irracional o incluso trascendental, pero que luego se demostró que era racional?” Por ejemplo, probablemente habría sido extremadamente sorprendente para Napier, el fundador del estudio de los logaritmos, escuchar que resultó ser racional. Después de todo, calculó que era 2.71828 … y encontró muchos dígitos (estoy especulando; en realidad no sé la historia) y no hay indicios de un patrón repetitivo. De hecho, sus sospechas habrían sido correctas: una simple prueba de la irracionalidad de e está aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/Pro….

Pero, ¿qué pasa con los miles de otras constantes matemáticas famosas que se han definido? Riemann definió su función zeta a mediados de 1800, y todos desde entonces han pensado que zeta (3) era irracional. Pero esto solo fue probado en 1979 por Apery. (http://en.wikipedia.org/wiki/Ap%…)

La pregunta, entonces, es si tales sospechas alguna vez resultan ser erróneas. Sorprendentemente, esto ha sucedido de vez en cuando. Una lista de ejemplos está aquí: http://mathoverflow.net/question….

La respuesta más popular de ese sitio es un número definido por Legendre: http://en.wikipedia.org/wiki/Leg….

Answer 2

Grandes respuestas, pero me arriesgaré a estropear la mística con la respuesta simple.

Hay una manera muy simple de determinar si alguna fracción se traducirá o no a un decimal finito:

• Una vez que se ha reducido a su forma más simple, mira su denominador.

• Si los factores primos del denominador consisten solo en 2s y 5s, la fracción se traducirá a un decimal finito.
• Si tiene otros factores primos, su traducción decimal será “interminable” (también conocida como decimales infinitos / sin terminación).

Eso es todo al respecto.

Los decimales infinitos / sin terminación no son tan fascinantes una vez que te das cuenta de que es simplemente el resultado de intentar ajustar todos los números en nuestro sistema decimal , es decir. multiplicarlos por potencias de 10 nunca dará como resultado números enteros.

Pi es un decimal infinito porque no encaja perfectamente en el sistema decimal.

Pi también podría considerarse como la traducción entre el sistema euclidiano (3 dimensiones lineales) y el sistema radial, pero esa es otra historia.

PD: Mi respuesta es una simplificación en inglés de la respuesta de Anders Kaseorg (la suya está escrita en términos matemáticos), y la respuesta de Sam Lichtenstein analiza situaciones en las que los números que se consideran irracionales resultaron ser racionales. A juzgar por los comentarios, la respuesta de Sam es lo que Faisal Khan estaba buscando cuando hizo la pregunta, pero las otras respuestas podrían ser útiles para otros.

Answer 3

No, no ha habido números que se esperaran que fueran irracionales, pero que resultaron ser racionales.

Su declaración en los detalles de la pregunta

Por ejemplo, PI es un número interminable, si Mathematics alguna vez descubrió un número aparentemente infinito, solo para descubrir que la división era realmente finita (solo una vez que las personas decidieron romperlo hasta ese límite muy alto).

es confuso. Los antiguos geómetras griegos pensaban que Pi no era construible por regla y brújula, y además, no era construible con la ayuda de secciones cónicas. No tenían una prueba de eso, y siguió siendo una conjetura matemática hasta finales de 1800, cuando finalmente se demostró.

Answer 4

Primero, PI NO es 22/7. 22/7 es un número racional que es una aproximación relativamente cercana a PI. PI es un número irracional que no se repite; 22/7 se repite.

En segundo lugar, cada número racional se puede expresar como una fracción entera / entera. Entonces, hay infinitos números racionales de la forma m / n que comienzan con 10,000 dígitos que aparentemente no se repiten y luego se repiten.