¿Cuál es el valor exacto de pi?

Answer 1

Editar: esta pregunta se ha fusionado con otras. Cuando lo respondí, la pregunta era si π se puede expresar simplemente como un número racional o en forma de surd.

Usted pregunta si π puede expresarse simplemente como un número racional o en forma de surd.

Por forma surd, se refiere a una expresión en términos de raíces junto con las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división, comenzando con números enteros. Un ejemplo de una forma surd es

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {10- \ sqrt3} {\ sqrt [3] 7+ \ sqrt {5+ \ sqrt {11}}}. [/ math]

Los números que pueden expresarse así son todos números algebraicos, es decir, raíces de ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros. Los números que no son algebraicos se llaman números trascendentales. Los números racionales se incluyen entre los números algebraicos.

Lindemann (1852-1939) demostró en 1882 que π es un número trascendental. Por lo tanto, π no puede expresarse como una suma.

Este es un resultado importante ya que responde a la antigua pregunta de cuadrar el círculo. Esa pregunta es: dado un círculo, ¿puedes construir un cuadrado con la misma área que ese círculo usando las herramientas euclidianas de regla y brújula? Los antiguos geómetras griegos conjeturaban que no se podía hacer, pero no tenían pruebas. Cualquier construcción mostraría que π podría expresarse en forma surd. El teorema de Lindemann de 1882, por lo tanto, finalmente demostró esta antigua conjetura de que un círculo no puede ser cuadrado utilizando herramientas euclidianas.

Ferdinand von Lindemann

Answer 2

Esta no es mi respuesta, pero la de Walter Rudin. Aquí va:

Deje que [math] x_0 [/ math] sea el número positivo más pequeño tal que [math] C (x_0) = 0 [/ math], donde [math] C (x) = \ frac {1} {2} (E ( ix) + E (-ix)) [/ math] y [math] E (z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {z ^ n} {n!} [/ math]. Esto existe, ya que el conjunto de ceros de una función continua está cerrado, y [math] C (0) \ ne 0 [/ math]. Definimos el número [math] \ pi [/ math] por [math] \ pi = 2x_0 [/ math].

(Adaptado de Principios del análisis matemático, tercera edición, página 183.)

Para traducir la cita anterior en algo un poco más familiar para la mayoría de ustedes, Rudin define [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] como el doble del número positivo más pequeño [matemáticas] x_0 [/ matemáticas] que satisface [matemáticas] \ cos x_0 = 0 [/ matemáticas].

Answer 3

El valor exacto de [math] \ pi [/ math] es [math] \ pi [/ math]. Hay muchas formas de escribirlo para que, en principio, pueda calcularlo exactamente (generalmente como sumas o integrales; para algunos ejemplos, vea Pi y Cómo calcular Pi) si tuviera tiempo y almacenamiento infinitos, pero, como se ha observado en muchos respuestas, es un número trascendental, por lo que no tiene una representación exacta en términos de operaciones algebraicas en números naturales.

Answer 4

Para ser lo más específico posible, [math] \ pi [/ math], es el número tal que

[matemáticas] x <\ pi \ leftrightarrow
\ exist_ {i \ in \ mathbb {N}}
\izquierda(
x <\ displaystyle
\ sum_ {j = 0} ^ i \ frac {8} {16 j ^ 2 + 16 j + 3}
\derecho)
[/matemáticas]

Lo que hemos hecho es construir un corte Dedekind para [math] \ pi [/ math] que es (de una manera) cómo se definen los números reales. Hablado en lenguaje de corte Dedekind, esto es

[matemáticas] A_ \ pi = \ displaystyle \ bigcup_ {i = 0} ^ \ infty A_ {a_i} [/ matemáticas]

[matemáticas] B_ \ pi = \ displaystyle \ bigcap_ {i = 0} ^ \ infty B_ {a_i} [/ matemáticas] (aunque las B son redundantes)

Donde [math] a_i [/ ​​math] es la serie como antes [math] a_i = \ sum_ {j = 0} ^ i \ frac {8} {16 j ^ 2 + 16 j + 3} [/ math]

Answer 5

(Editado el 22/11/2014): No hay un valor decimal exacto simplificado o relación para Pi. Las aproximaciones a Pi encontradas en calculadoras manuales u hojas de cálculo de computadora son lo suficientemente precisas para la gran mayoría de los cálculos domésticos, e incluso el tipo de cálculos de ingeniería empleados en el diseño de centrales nucleares, por ejemplo.

La razón de la ausencia de un valor decimal exacto simplificado o razón para Pi es que Pi no es un tipo de número común como los números que aparecen en las calculadoras que normalmente empleamos para calcular el valor de algo. Johann Lambert demostró en 1768 que pi es, de hecho, un número irracional.

Un número irracional es un número que no puede escribirse en forma de una relación ordenada a / b donde a y b son enteros yb no son iguales a 0 (cero). La implicación de esto es que los números irracionales, incluido pi, no se pueden expresar exactamente por medio de una fracción decimal finita o por una fracción decimal repetitiva (estos tipos de fracciones decimales siempre se pueden volver a convertir en la forma a / b.) Lo que queda son fracciones decimales no finitas, no repetitivas. No importa cuántos dígitos decimales use, siempre necesitará más dígitos para aumentar la precisión del número.

Dado que pi no se puede expresar exactamente en forma de un número decimal, el recurso restante cuando se necesita calcular un valor en una hoja de cálculo o calculadora, por ejemplo, es calcular valores aproximados de pi con el grado deseado de precisión. Estos números decimales finitos o infinitamente repetitivos siempre se pueden convertir en una relación a / b con b no igual a 0. Se clasifican como números racionales y estos son el tipo de números que manejan las computadoras. Para calcular estas aproximaciones de números racionales a pi, se necesitan fórmulas.

¡Pero espera hay mas! En 1882, Ferdinand von Lindemann demostró que pi es aún más especial, ya que no solo es un número irracional, sino que también resulta ser un número trascendental. La implicación de este descubrimiento es que pi no puede calcularse mediante una ecuación polinómica finita con coeficientes enteros. Lo que queda para calcular pi con funciones no polinomiales. Estas son, por ejemplo, funciones que contienen series convergentes (infinitas) o funciones trigonométricas que, a su vez, se calculan mediante series convergentes.

Se han ideado numerosas series convergentes de este tipo. Algunos de ellos convergen extremadamente lentamente, lo que significa que se requieren muchos términos en la serie para calcular el valor de pi con el grado deseado de precisión.

Aquí hay dos de ellos:
Euler ideó una serie que converge a pi que se puede usar para calcular un valor aproximado de pi con la precisión deseada:

James Gregory ya conocía la siguiente serie en 1671, pero converge muy lentamente y, por lo tanto, no es muy práctica:

Añadido 21/11/2014:

Cuando una porción de una serie infinita se usa para calcular un valor aproximado de pi en forma de una fracción decimal finita, se puede obtener una buena idea acerca de la precisión de la aproximación empleando el proceso de límite.

Tenga en cuenta que pi puede calcularse como el límite L de la suma de una serie alterna, por ejemplo, el segundo anterior. Se puede demostrar que si los términos de la serie, a0, a1, a2, … es una secuencia decreciente de números positivos que tiende a 0, entonces la suma

donde L es el límite de la suma. Este número L se encuentra entre todas las sumas parciales consecutivas, sn, sn + 1, … A partir de esta observación, se puede demostrar que la suma parcial sn se aproxima al límite L dentro de un + 1, en otras palabras:

Para evaluar el valor numérico del número pi mediante este método, seleccione cualquier Serie Alternante aplicable, como la segunda de arriba (hay series mucho más eficientes disponibles, pero esta se elige solo para ilustrar la idea). Entonces L se reemplaza por pi y el tamaño del área de incertidumbre de dónde se encuentra el valor exacto de pi, luego se convierte en

Answer 6

Pi es un número irracional (tiene una parte decimal sin terminación y sin repetición )

pi = 3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816402286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648 …… y así sucesivamente.

Es mejor que use 3.14 en uso práctico.

Para hasta más decimales: 100,000 dígitos de Pi

Answer 7

[math] \ pi [/ math] se conoce más comúnmente como la relación entre la circunferencia y el diámetro, pero como lo ilustra este enlace Math Forum – Ask Dr. Math, aparece en un montón de lugares.

En las señales, la frecuencia angular está relacionada con la frecuencia por [math] \ omega = 2 \ pi f [/ math]

En probabilidad y estadística, la distribución normal
[matemáticas] f (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {2 \ sigma ^ 2}} [/ matemáticas]
tiene [math] \ pi [/ math] en su constante de normalización.

Answer 8

¿Cuál es el valor exacto de [matemáticas] 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 5 [/ matemáticas], [matemáticas] \ sqrt2 [/ matemáticas]? Estás confundido porque [math] \ pi [/ math] es irracional y no tiene una representación decimal finita, pero está ahí, se encuentra en la recta numérica real y tiene un valor único, y eso es [math] \ pi [/ matemáticas].

Answer 9

El valor de π a menudo se aproxima a 3.14159.

Es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro.

Hecho de la diversión

π es un número irracional, por lo tanto, no se puede expresar como la razón de dos enteros.

Así que aquí hay una expresión al resolver que nos da una prueba de que 22/7> π.

Fuente

Google: https://www.google.com/search?q=…

Wikipedia: Prueba de que 22/7 supera π – Wikipedia

Answer 10

Antes de responder a esa pregunta muy interesante y profunda, uno debe responder muchas más preguntas básicas como: ¿Cuál es el valor exacto de cualquier número? ¿Cuál es el valor exacto de 1? de 5, de -13, de 4/7, de sqrt (2), de e, de i y de 2 + 11i? ¿Se definen estos números antes de determinar sus valores exactos, o se definen por medio de sus valores? ¿Cuál es el significado matemático de un valor de algún número? ¿Cada número de algún tipo tiene un valor exacto? ¿Es suficiente decir que el valor exacto de pi está determinado por su definición geométrica como la relación entre el perímetro de cualquier círculo y su diámetro, o por su definición analítica como 4 veces arctan (1), o uno necesita todo su infinitamente ¿Cuántos dígitos decimales para poder afirmar que él conoce su valor exacto? Estoy tentado a decir que el valor exacto de cada número es el número mismo, y esta es definitivamente nuestra única forma de tratar con los valores exactos de los números irracionales en general y con los números trascendentales como e y pi en particular.

Answer 11

Lo último que escuché fue que Pi era exactamente , y muy simple , igual a la relación entre la circunferencia y el diámetro de cualquier círculo en el plano euclidiano.

Como tantas veces aquí, la pregunta es básicamente ‘incorrecta’.

Answer 12

¿En qué términos quieres que te den el valor exacto de pi? Si te di la expansión [matemáticas] \ pi = 4 \ cdot \ arctan 1 = 4 \ cdot \ sum_ {i = 0} ^ {\ infty} (-1) ^ i \ frac {1} {2i + 1} [/ math], eso calificaría como un valor exacto para mí.

Answer 13

Lo sé pero no tengo suficiente espacio para escribirlo.
😛
Bueno, eso fue claramente una broma.
La respuesta real es que es un número irracional, por lo que no puede tener un valor exacto.
Así es como me gusta pensar al respecto:
¿Qué pasaría si pi tuviera un valor exacto?
Digamos 3.14. Como la circunferencia de un círculo es pi multiplicado por el diámetro (por definición), un círculo con 100 unidades de diámetro tendría 314 unidades de circunferencia. Lo que significa que se puede formar un círculo arreglando 314 palos de longitud unitaria para formar un 314 gon regular. Pero, ¿qué pasa si alguien más usa una escala donde la longitud de su unidad es la mitad de la longitud de mi unidad? Esto es similar al acercamiento. Según él, el diámetro del mismo círculo es de 200 unidades y, por lo tanto, se puede formar haciendo un gon de 628 regular. Pero un 314-gon normal no se puede transformar en un 628-gon normal simplemente acercándose o alejándose. Por lo tanto, en este mundo, toda la geometría depende de la escala que elija. Eso es absurdo! Por lo tanto, pi no puede tener una representación decimal.

Answer 14

Si eres estudiante, entonces recuerda 3.14.

pero, si eres investigador, entonces sigue 100.000 dígitos de Pi

Answer 15

Tiene infinitos decimales. Las supercomputadoras han calculado hasta un billón de dígitos, sin embargo, no tiene fin. 1000 dígitos de PI son:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 ​​5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 59825349 04 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Conceptos básicos de PI

Answer 16

Hay muchas formas de encontrar el valor del pastel.

1)

O

2)

O

3)

O

4)

O

5. El conocido 22/7 (que en realidad es el menos preciso entre todos los anteriores).

Espero que ayude 🙂

Answer 17

El uso de la frase “el valor exacto de pi” indica que tal vez usted cree que esa es una entidad distinta del propio pi. Este no es el caso. Si uno definiera una función de “valor exacto” del conjunto de números reales para sí misma, la única definición razonable sería definirla como la función de identidad, y por lo tanto este concepto es extraño.

El valor exacto de pi es pi, y en general para cualquier número real x, el valor exacto de x es x.

Answer 18

Pi es una constante que aparece en una amplia variedad de problemas matemáticos. En el sentido de que aparece el mismo número en estas aplicaciones variadas, y tenemos un símbolo para ello, el valor de Pi está bien definido.

Aquí hay una gran cantidad de lugares donde aparece Pi:
http://mathworld.wolfram.com/PiF …

Ahora, para llegar al punto sobre el valor exacto, sabemos el valor exacto. Es el que hace que todas las fórmulas en esa página sean correctas.

Answer 19

pi es la razón de circunferencia de un círculo a su diámetro.

22/7 es una aproximación de trabajo.

Hay varias expresiones para calcular pi.

El enfoque de Arquímedes para calcularlo con mayor precisión captura su esencia.

fuente: Pi – Wikipedia

Una interesante expresión

fuente: Pi – Wikipedia

Answer 20

Todos sabemos que el valor de pi es 22/7 . Si lo expresamos en términos decimales, sería 3.1415926.

Si desea recordar fácilmente el valor decimal de pi, intente esto:

Cuente las letras en cada palabra de la oración “¿ Puedo tener un gran recipiente de café “. Si recuerda la oración, puede distinguir fácilmente el valor decimal de pi, es decir, 3.1415926

Este truco fue enseñado por mi señor de matemáticas en la clase 10.

Espero que esto ayude. 🙂