¿Por qué los números racionales son densos y de medida cero al mismo tiempo?

Answer 1

Su intuición dice “los racionales son densos” significa “los racionales son grandes”, mientras que “los racionales son medida cero” significa “los racionales son pequeños”, y esto parece contradecir su intuición. La respuesta proactiva a las matemáticas en conflicto con su intuición es actualizar su intuición .

En este caso, la actualización más simple es probablemente actualizar su intuición sobre lo que significa “denso”. No significa que los racionales sean grandes. Significa que son difíciles de evitar . Como brillo. No hay una gran cantidad de brillo en el mundo, pero el brillo puede ser sorprendentemente difícil de evitar.

Si desea trabajar en un nivel un poco más formal, “denso” es una propiedad topológica (http://en.wikipedia.org/wiki/Gen…) mientras que “medir cero” es una propiedad de medida teórica (http: / /en.wikipedia.org/wiki/Mea…). Si coloca una topología arbitraria y luego una medida arbitraria (junto con una estructura espacial medible) en un conjunto, entonces “denso” y “medida cero” realmente no tienen que tener mucho que ver entre sí. Pueden hacerse un poco más relacionados mediante el uso de una medida de Borel, pero incluso entonces la interacción entre la noción topológica de “denso” y la noción teórica de la medida de “medida cero” no es muy fuerte, y ejemplos como los racionales dentro del los reales son una buena ilustración de esto.

Answer 2

Aquí hay una forma muy flexible e intuitiva de pensar en la diferencia. Imagine que lanza un dardo en la recta numérica real (un dardo con un punto infinitamente afilado).

“Medida 0” significa que el dardo no habrá aterrizado * exactamente * en un número racional.

“Denso” significa que habrá números racionales muy cerca del punto; de hecho, puede encontrar un número racional tan cerca del punto como desee.

Imagine la expansión decimal del punto en el que cae el dardo. Digamos que comienza con 3.14159 … y sigue adelante (No será exactamente pi, ya que es tan difícil golpear pi con un dardo como golpear un número racional particular con un dardo).

Para ser racional, la expansión decimal tendrá que comenzar a repetir una porción de números y repetir esa misma porción * para siempre *.

Un ejemplo de tal número es 3.141590000000…. con los ceros repitiéndose para siempre. Es un número racional (314159/1000000). Para golpear un número que tiene una porción repetida como esta, debes ser infinitamente preciso o infinitamente afortunado. Como dijimos que el dardo se lanzó al azar, tiene que ser suerte, lo que significa que, después de algún punto de la expansión, estás teniendo suerte con cada dígito siguiente (ya que se ajusta a la repetición propuesta), y tienes suerte. * infinito * número de veces después de eso.

De hecho (hablando muy libremente) se puede decir que la probabilidad de acertar un número racional con un dardo como este es literalmente cero. Esto es más o menos lo que significa decir que los racionales tienen una medida cero en los reales.

Con respecto a la densidad, si me das dígitos sucesivos del punto de número real que golpeó el dardo, puedo producir números racionales tan cerca de ese punto como quieras (solo llevo todos los dígitos hasta cierto punto y agrego “00000 … .” al final).

Entonces, si se siente cómodo con el argumento de que no puede acertar los racionales con un dardo, pero puede acercarse arbitrariamente, entonces medir cero más denso no debería parecer una contradicción.

Answer 3

Los números racionales son densos porque puede aproximar cualquier número con la precisión que desee por un número racional. De hecho, es suficiente mantener un número finito de dígitos, por ejemplo, 3.14 aproxima [math] \ pi [/ math] y es racional, y una mejor aproximación es 3.14159.

Los números racionales son de Lebesgue, la medida cero está muy relacionada con el siguiente fenómeno. Si sigue lanzando una moneda, es extremadamente improbable (probabilidad cero) que observe una secuencia eventualmente periódica. Por ejemplo, nunca observará algo como FPPFPFPPFPFFFPFFFPFFFPFFFPFF … donde el bloque FFFP sigue repitiéndose.

Answer 4

cualquier número irracional puede ser aproximado por un racional con una precisión arbitrariamente alta, lo que significa implícitamente que el conjunto es denso, pero una aproximación absolutamente precisa debe tomar un número infinito de dígitos en el número decimal. En otras palabras, la medida del conjunto de números racionales es la relación del orden absoluto de infinito a infinito de orden finito, específicamente el poder. El límite de esta relación es cero. El hecho de que cualquier número irracional puede ser aproximado mediante una prueba racional de su densidad

Answer 5

Los números racionales son un conjunto denso -contable-. La medida de un punto es cero y el conjunto de números racionales es una unión contable de conjuntos de puntos de medida cero, por lo que todo tiene una medida cero.

Answer 6

Los números miden nuestra ignorancia-infinito nuestro potencial