Potencias enteras positivas
Elevar un número a una potencia, o exponenciación, a menudo se considera como “multiplicación repetida”. Esto funciona cuando eleva los números a potencias enteras positivas n = 1, 2, 3, etc.
[matemáticas] a ^ n = a _ {(1)} \ veces a _ {(2)} \ veces \ cdots \ veces a _ {(n)} [/ matemáticas]
Esto es realmente una conveniencia de notación, pero tiene las propiedades que
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0) [matemáticas] a ^ 1 = a [/ matemáticas]
1) [matemáticas] a ^ na ^ m = a ^ {n + m} [/ matemáticas]
2) [matemáticas] (a ^ n) ^ m = (a ^ m) ^ n = a ^ {nm} [/ matemáticas]
como puedes comprobar fácilmente. En matemáticas, nos gustan las propiedades como 0), 1) y 2). En un nivel, nos permiten hacer cálculos fácilmente usando simplificaciones algebraicas. Por otro lado, los matemáticos se han dado cuenta de que este tipo de propiedades abstractas es lo que realmente define las entidades matemáticas y lo que revela los patrones comunes entre ideas aparentemente distintas. Entonces, si queremos descubrir cómo elevar a números negativos, o fracciones, o números irracionales, queremos crear operaciones [matemáticas] a ^ p [/ matemáticas] para cualquier número entero (positivo, negativo o cero), [ math] a ^ {p / q} [/ math] para una fracción p / q, y [math] a ^ {x} [/ math] para un número real x que no rompe las propiedades 0), 1) y 2) Además, queremos que sean extensiones de nuestra definición “semilla” que solo impliquen enteros positivos. Dado que el número entero positivo n también es un número entero n (claramente), una fracción n / 1 y un número real n, queremos que la definición de “potencia positiva” coincida con “cualquier potencia entera”, la “potencia fraccional” y las definiciones de “potencia de número real”.
Subiendo al poder 0
¿Qué es un elevado a la potencia cero? “Multiplicar a por sí mismo 0 veces” no da una respuesta clara, y no queremos basar las matemáticas en el idioma inglés. En lugar de eso, averigüemos simplemente insistiendo en que 1) y 2) deben ser verdaderos incluso si nom es cero:
[matemáticas] a ^ na ^ 0 = a ^ {n + 0} = a ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] (a ^ n) ^ 0 = (a ^ 0) ^ n = a ^ {0n} = a ^ 0 [/ matemáticas]
Esto implica que debemos establecer [matemáticas] a ^ 0 = 1 [/ matemáticas].
Potencias enteras negativas
“Multiplicar a por sí mismo 5” tiene sentido como un significado para [matemáticas] a ^ 5 [/ matemáticas], pero ¿cómo podría “multiplicar a por sí mismo -5 veces?” No significa nada en sí mismo, y nuevamente no queremos definir operaciones matemáticas basadas en cómo interpretamos las oraciones en inglés. En cambio, solo intentamos extender la operación para que las propiedades 1) y 2) continúen retenidas. Con este objetivo, definimos
[matemáticas] a ^ {- n} = \ frac {1} {a ^ n} = \ left (\ frac {1} {a} \ right) ^ n [/ math]
La segunda igualdad se deriva directamente de la definición de “multiplicarse por sí mismo n veces”. Puede verificar que las propiedades 1) y 2) continúen siendo válidas para n, m positivo o negativo si usa esta definición. Esto se debe a que la división deshace la multiplicación de la misma manera que la resta deshace la suma: un número negativo -n en el exponente “cancelará” un número positivo n cuando los sumes y un 1 / a cancelará un a cuando los multipliques. .
Poderes fraccionales (es decir, racionales)
A riesgo de ser repetitivo, ¿qué significa “multiplicar a por sí mismo 1/2 veces”? Absolutamente nada.
Puede extender la definición de exponenciación a elevar números a potencias fraccionarias (es decir, racionales) p / q Primero, aceptemos que si la fracción es negativa, el numerador p (en lugar del denominador q) lleva el signo negativo. Deje que ba numere (vea abajo) tal que [math] b ^ q = a [/ math]. Luego defina
[matemáticas] a ^ {p / q} \ equiv b ^ p [/ matemáticas]
Esta definición conserva las propiedades 1) y 2). Para probar lo primero, deje que [math] b ^ q = a [/ math], [math] c ^ s = a [/ math] y [math] d ^ {qs} = a [/ math]. Entonces se sigue que por definición
[matemáticas] a ^ {p / q + r / s} = a ^ {(ps + qr) / (qs)} = d ^ {ps + qr} [/ matemáticas]
Dado que p, q, s, r, ps y qr son enteros, y las propiedades 1) y 2) ya son verdaderas para los exponentes enteros, podemos usarlas sin ser circulares siempre que tengamos cuidado. En particular,
[matemáticas] d ^ {ps + qr} = d ^ {ps} d ^ {qr} = (d ^ s) ^ p (d ^ q) ^ r [/ matemáticas]. Pero como [matemática] d ^ {qs} = (d ^ s) ^ q = a [/ matemática], [matemática] d ^ s = b [/ matemática], y de manera similar [matemática] d ^ {qs} = ( d ^ q) ^ s = a [/ math] entonces [math] d ^ q = c [/ math]. Así [matemáticas] d ^ {ps + qr} = b ^ pc ^ r [/ matemáticas], y por lo tanto
[matemáticas] a ^ {p / q + r / s} = b ^ pc ^ r = a ^ {p / q} a ^ {r / s} [/ matemáticas]
Para divertirse, puede seguir adelante y demostrar que la segunda propiedad también se mantendrá. También puede comprobar que esta definición se superpone con la más sencilla (es decir, da la respuesta correcta para las fracciones de la forma p / 1).
Puede haber más de uno …
Para simplificar, omití algo anterior: generalmente hay más de una solución b a la ecuación [matemáticas] b ^ q = a [/ matemáticas]. De hecho, para q> 0 hay exactamente q soluciones a menos que a = 0. En el caso más simple, [math] b ^ 2 = a [/ math] tiene dos soluciones, una positiva y otra negativa (al menos cuando a es real y positivo). A menudo se denotan [math] \ pm \ sqrt {a} [/ math]. Cuando q> 2, las soluciones “adicionales” suelen ser complejas. Los matemáticos dicen que la exponenciación por un número racional es multivalor. Elegir cuál quieres se llama “definir un corte de rama” por razones que me llevarían lejos.
Esto no cambia los elementos esenciales de la prueba anterior. Una prueba más cuidadosa podría decir “una solución” o “el conjunto de soluciones”, pero no quería ser tan cuidadoso.
Poderes reales (incluso irracionales)
Ahora, ¿cómo podemos extender la exponenciación a números irracionales? Lo extendí a números negativos y fracciones porque es fácil relacionarlos con enteros positivos. ¡No es así para los números irracionales!
Sin embargo, el cálculo introduce la función “exp” exp (x), la solución de la ecuación diferencial
[matemáticas] \ frac {d \ exp (x)} {dx} = \ exp (x), \ exp (0) = 1 [/ matemáticas]
Esta función tiene una propiedad interesante, que se puede probar usando cálculo:
[matemáticas] \ exp (x + y) = \ exp (x) \ exp (y) [/ matemáticas]
¡Mira cuán similar es esto a la propiedad 1)! Parece que esta función, que toma un número real y escupe otro, está relacionada con el proceso de exponenciación del que hemos estado hablando (no te sorprenderá que exp signifique “exponencial). Veamos si podemos piense en exp (x) como algún tipo de propiedad 0, 1 y 2. que obedece a la exponenciación. En este momento solo me refiero a los poderes racionales: una vez que hayamos comprobado esto, utilizaremos la función para extender la exponenciación a los poderes irracionales. math] e = e ^ 1 = \ exp (1) [/ math]. Entonces puede demostrar a partir de sus propiedades que
[matemáticas] e ^ {p / q} = \ exp \ left (\ frac {p} {q} \ right) [/ math]
que dejaré al lector. Entonces, esta función nos permite calcular exponenciales con un número base e. ¿Qué pasa si queremos otra base a? Sea f una solución para [math] \ exp (f) = a [/ math]. Entonces también puedes mostrar fácilmente que
[matemáticas] a ^ {p / q} = \ exp \ left (f \ times \ frac {p} {q} \ right) [/ math]
Entonces, la función exp nos da otra forma de calcular exponenciaciones, sin todo este desordenado negocio de encontrar raíces de soluciones (exp viene con una buena fórmula para el cálculo: su serie de potencias). Mejor aún, la función exp se define para todos los números reales, racionales e irracionales. Entonces, podemos definir elevar un número a un valor real (posiblemente irracional) como
[matemáticas] a ^ {x} = \ exp (fx) [/ matemáticas]
¡Esto se superpone con todas nuestras definiciones anteriores cuando x es un entero o una fracción! También notaré que resolver [math] \ exp (f) = a [/ math] da un número infinito de soluciones para f. Después de tomar exp (fx), para una x = p / q racional, esto conduce a un número finito de valores posibles que coinciden exactamente con los múltiples valores posibles discutidos anteriormente. Sin embargo, cuando x es irracional, esto conduce a un número infinito de posibles exponenciaciones.
Tu pregunta
Entonces, ¿cómo elevamos un número a un poder irracional? Deje a = -y ser un número negativo. Entonces necesitamos resolver exp (f) = -y. Hay un número infinito de soluciones, como acabamos de comentar. Explícitamente,
[matemáticas] f = \ ln y + i \ pi + 2 \ pi en [/ matemáticas]
donde n es cualquier número entero y donde i es la raíz cuadrada compleja de -1 (saqué esta solución de un sombrero; proviene del análisis). Entonces, el valor de la exponenciación es
[matemáticas] (-y) ^ x = \ exp \ left ((\ ln y + i \ pi + 2 \ pi in) x \ right) [/ math]
[math] = \ exp (x \ ln y) \ exp (i \ pi x) \ exp (2 \ pi inx) [/ math]
Cada valor del número entero n conduce a una posibilidad diferente.