¿Por qué solo hay ‘dos’ partes de un número complejo?

Answer 1

Una respuesta matemática es esta: una vez que tiene esas dos partes (números reales y la raíz cuadrada de menos uno), lo que obtiene es lo suficientemente grande como para resolver ecuaciones polinómicas. Una ecuación polinómica es solo una ecuación como [matemática] x ^ 5 + 3x – 7 = x ^ 2 [/ matemática]; es una ecuación que involucra una cantidad desconocida que se construye usando solo sumas y multiplicaciones.

Este hecho es un milagro. Después de todo, definimos los números complejos resolviendo una ecuación muy especial que no podía resolverse con números reales, a saber, [matemáticas] x ^ 2 = -1 [/ matemáticas]. Entonces, como señala, es muy sorprendente que no necesite agregar nada más. Este teorema es lo suficientemente importante como para llamarse el teorema fundamental del álgebra .

Ahora, esto realmente no responde a su pregunta filosófica, porque no le he dado una explicación significativa de por qué el teorema debería ser verdadero. Puede obtener una idea al leer una de las muchas pruebas del teorema (el artículo de Wikipedia tiene una buena exposición para varios).

También debo comentar que en realidad no tienes que detenerte en los números complejos. Hay otro sistema de aritmética llamado los cuaterniones que hace exactamente lo que usted describe: agrega más “dimensiones” a los números complejos. Sin embargo, los cuaterniones surgen de una manera bastante diferente: no se introducen porque resuelven ecuaciones que antes no podíamos resolver. En cambio, se introducen para modelar el movimiento físico en más de dos dimensiones.

Answer 2

Sí, el número dos es algo especial. Pero, hay sistemas numéricos con más “componentes”, específicamente con cuatro y ocho de ellos. Esos y solo esos cuatro números de tipo (real, complejo, quaterions y octonions) le permiten definir operaciones de suma, multiplicación y división (matemáticamente forman álgebras de división normalizadas). Sin embargo, la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa ([matemática] ab \ neq ba [/ matemática]), y la multiplicación de octoniones también es no asociativa ([matemática] (ab) c \ neq a (bc) [/ matemática]) , por lo tanto, no son completamente como números reales y complejos.

Answer 3

1. Comience con 1.
2. El cierre aditivo te da los números naturales ℕ.
3. El cierre sustractivo de ℕ introduce 0 y negativos, dando los enteros ℤ.
4. ℤ ya está cerrado bajo multiplicación (= suma repetida).
5. El cierre de ℤ bajo división da los racionales ℚ.
6. El cierre de ℚ bajo límites da números reales numbers.
7. El cierre algebraico de ℝ da los números complejos ℂ.

Resumen: para hacer álgebra y cálculo necesitas números complejos.

Los cuaterniones ℍ (para Hamilton) y los octoniones O también son generalizaciones adicionales, pero aún no son cierres más grandes con más operaciones. Son interesantes por su propio bien o porque son útiles para modelar cosas, no obligados por los requisitos de álgebra y cálculo.

Muchos fenómenos matemáticos dan lugar a grupos conmutativos discretos, y los grupos conmutativos discretos son descomponibles como sumas directas de los irreducibles, ℤ, ℤ₂ y otros grupos finitos de primer grado. Si factoriza números enteros arbitrarios, obtiene la mayoría de los factores de 2, menos factores de 3, etc., y lo mismo es cierto para la factorización de grupos conmutativos.

Answer 4

Tomemos un número de 3 + 4i
3 ——> es en realidad el componente horizontal de la fuerza.
4 ——-> es en realidad el componente vertical de la fuerza.

Los números complejos se colocan siempre que una fuerza se divide en dos o más componentes debido a la inclinación o cualquier otra razón.

Hay más de una forma en que un objeto puede inclinarse y, por lo tanto, más de una forma en que estas fuerzas se dividen en dos. Los planos i, j y k son el resultado de esto.

BINNOY
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Answer 5

Por definición, los números complejos tienen dos partes. Puede definir Cuaterniones que son una extensión de números complejos, por lo que en lugar de solo i² = -1, tiene i² = j² = k² = -1, e ij = k, kj = i, ki = j, ji = -k, kj = -i, ik = -j. Estos representan vectores 3D bastante bien.

Podrías demostrar que no podrías tener un sistema sensible de números complejos usando solo dos números imaginarios, porque no se cerraría con la multiplicación.

Answer 6

En pocas palabras, todas las transformaciones se pueden dividir en rotación y expansión. Estos corresponden a la parte imaginaria y la parte real respectivamente.