¿Cómo demuestras que [math] \ pi [/ math] es un número irracional?

Answer 1

La primera prueba que encontré se llama PRUEBA DE LAMBERT:

En 1761, Lambert demostró que π es irracional al mostrar primero que esta expansión de fracción continua es válida:
Entonces Lambert demostró que si x no es cero y es racional, entonces esta expresión debe ser irracional. Como tan (π / 4) = 1, se deduce que π / 4 es irracional y, por lo tanto, que π es irracional.

La versión simplificada de esta prueba se llama PRUEBA DE HERMITE:

Esta prueba utiliza la caracterización de π como el número positivo más pequeño cuya mitad es un cero de la función coseno y en realidad demuestra que π2 es irracional. [3] [4] Como en muchas pruebas de irracionalidad, el argumento procede por reductio ad absurdum.
Considere las secuencias ( An ) n ≥ 0 y ( Un ) n ≥ 0 de funciones de R a R así definidas:

1. 
2. 
3. 
4. 

Se puede demostrar por inducción que
y eso
y por lo tanto eso
Entonces
que es equivalente a
De esto se deduce, junto con el hecho de que A 0 ( x ) = sin ( x ) y que A 1 ( x ) = – x cos ( x ) + sin ( x ), que An ( x ) se puede escribir como Pn ( x 2) sen ( x ) + x Qn ( x 2) cos ( x ), donde Pn y Qn son funciones polinomiales con coeficientes enteros y donde el grado de Pn es menor o igual a ⌊ n / 2⌋. En particular, An (π / 2) = Pn (π2 / 4).
Hermite también dio una expresión cerrada para la función An , a saber
No justificó esta afirmación, pero se puede probar fácilmente. En primer lugar, esta afirmación es equivalente a
Procediendo por inducción, tome n = 0.
y, para el paso inductivo, considere cualquier n ∈ Z +. Si
luego, usando la integración por partes y la regla de Leibniz, uno obtiene
Si π2 / 4 = p / q , con pyq en N , entonces, dado que los coeficientes de Pn son enteros y su grado es menor o igual a ⌊ n / 2⌋, q ⌊ n / 2⌋ Pn (π2 / 4) es un número entero N. En otras palabras,
Pero este número es claramente mayor que 0; por lo tanto, N ∈ N. Por otra parte,
y entonces, si n es lo suficientemente grande, N <1. De este modo, se alcanza una contradicción.
Hermite no presentó su prueba como un fin en sí mismo sino como una ocurrencia tardía dentro de su búsqueda de una prueba de la trascendencia de π. Discutió las relaciones de recurrencia para motivar y obtener una representación integral conveniente. Una vez que se obtiene esta representación integral, hay varias formas de presentar una prueba sucinta y autónoma a partir de la integral (como en las presentaciones de Cartwright, Bourbaki o Niven), que Hermite pudo ver fácilmente (como lo hizo en su prueba de la trascendencia). de e.
Además, la prueba de Hermite está más cerca de la prueba de Lambert de lo que parece. De hecho, An ( x ) es el “residuo” (o “resto”) de la fracción continua de Lambert para tan ( x )

Answer 2

Sabemos que [matemática] \ pi = \ frac {C} {d} [/ matemática] donde [matemática] C [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática] son ​​la circunferencia y el diámetro de cualquier círculo (respectivamente) .

Es fácil ver que [math] \ pi [/ math] no es un número entero. Una forma de hacer esto es simplemente hacer un círculo, usando una taza, por ejemplo. Mida la circunferencia con una cuerda y luego calcule la longitud de la cuerda con una regla. También mida el diámetro. Pronto debería creer que [math] \ pi [/ math] es más de 3 pero menos de 4. También podría convencerse de que [math] \ pi [/ math] no depende del tamaño del círculo.

También puede tomar una lámina de metal (o un cartón mojado funcionaría) y cortar dos formas: una es un cuadrado con longitud lateral 1. La otra es un círculo con radio 1. Encontrará (si tiene una escala sensible) que el círculo pesa aproximadamente 3.14 veces más que el cuadrado. La relación de los pesos es (idealmente) [matemática] \ pi. [/ Matemática]

Al utilizar el método de agotamiento de Arquímedes (Método de Arquímedes) puede (como hizo Arquímedes) concluir que [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es menor que [matemáticas] 3 \ frac {1} {7} [/ matemáticas] pero más de 3 [matemáticas] \ frac {10} {71} [/ matemáticas].

Ahora sabemos que [math] \ pi [/ math] no es un número entero. Puede ser un decimal repetido (un número racional) o un decimal no repetido. De hecho, es un decimal no repetitivo. Llamamos a estos números irracionales. No puedo encontrar una prueba realmente elemental de que [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es irracional, pero esta es al menos muy corta y solo usa cálculo: una prueba simple de que $ \ pi $ es irracional.

Esto podría responder tu pregunta.

Pero tal vez quiere decir “¿hay alguna descripción algebraica natural de [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] que utilice finitos números enteros?”. La forma más natural de formalizar esto es suponer que [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] podría ser La solución de un polinomio con coeficientes racionales. El número [math] \ sqrt {2} [/ math], por ejemplo, es irracional, pero tiene una breve descripción usando enteros. Es una solución a la ecuación.

[matemáticas] x ^ 2-2 = 0. [/ matemáticas]

Entonces, aunque [math] \ sqrt {2} [/ math] es irracional, podría codificarse sucintamente como [math] (1,0, -2) [/ math], los coeficientes de [math] x ^ 2 + 0x-2 [/ matemáticas].

Los números que se pueden nombrar de esta manera usando enteros se llaman “algebraicos” (número algebraico – Wikipedia).

Resulta que [math] \ pi [/ math] ni siquiera es algebraico; es un número trascendental (número trascendental – Wikipedia).

El argumento de que [math] \ pi [/ math] es trascendental es fácil si acepta el teorema de Lindemann-Weierstrass – Wikipedia. Este teorema implica que siempre que [math] \ alpha [/ math] sea un número algebraico, el número [math] e ^ \ alpha [/ math] es trascendental. Si [math] \ pi [/ math] fuera algebraico, entonces [math] \ pi i [/ math] también lo sería (¿Cómo demostrar que la suma y el producto de dos números algebraicos es algebraico?). Pero por la identidad de Euler, [matemáticas] e ^ {\ pi i} = -1. [/ Matemáticas] Tenga en cuenta que -1 no es trascendental. Por lo tanto, [math] \ pi [/ math] no es algebraico.

Answer 3

Ivan Niven en 1947, cuando un joven matemático de la Universidad de Oregón dio probablemente la prueba más simple de por qué [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] es irracional. Solo supone un conocimiento de cálculo básico. Lo hace explorando propiedades simples de polinomios y funciones trigonométricas. Aquí está la prueba.

Answer 4

El hecho de que [math] \ pi [/ math] sea irracional en realidad no es trivial, ¡ni siquiera se demostró hasta 1761! El método más simple es probablemente la prueba de Laczkovich: la prueba de que π es irracional

Answer 5

Pi es una constante fundamental arbitraria independiente de todo.

Si desea elegir un número arbitrario del conjunto de todos los números reales, lo haría seleccionando un número del conjunto (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) para cada dígito. Y este proceso nunca se detendrá ya que no hay forma de terminar la secuencia. No habrá un patrón de tamaño finito para el flujo de dígitos en un número real tan aleatorio.

Entonces; obtener un número irracional es infinitamente más probable que obtener un número racional al elegir del conjunto de todos los números reales a pesar de que hay números racionales infinitos

De hecho, ninguna constante adimensional fundamental es un número racional.

Answer 6

Supongo que quiere decir “¿podemos demostrar que la expansión decimal de pi no termina y no se repite?” Si podemos.
No sé a qué te refieres con “bullying de palabras”, de verdad.
Hay varias pruebas relativamente elementales de que pi es irracional. Particularmente me gusta la prueba de Niven (Wikipedia lo tiene bajo “Prueba de que pi es irracional”).
Si la pregunta realmente significa “¿podemos convencerte?”, No tengo idea. Algunas personas se niegan a ser convencidas. Otros insisten en una prueba “que puedan seguir”, y se niegan a aprender algo nuevo para seguir la prueba. Otros simplemente tienen a mano frases útiles como “bullying de palabras”, para evitar la posibilidad de ser persuadidos.

Answer 7

[matemática] e ^ a [/ matemática] es un número trascendental para cualquier número algebraico [matemática] a [/ matemática] (según el teorema de Lindemann-Weierstrass). Ahora, deje que [math] a = i \ pi [/ math] obtenga [math] e ^ {i \ pi} = -1 [/ math] (según la fórmula de Euler), pero [math] -1 [/ math] claramente no es un número trascendental, lo que significa que [matemáticas] i \ pi [/ matemáticas] no es un número algebraico, también dado que [matemáticas] i [/ matemáticas] es un número algebraico, lo que significa que [matemáticas] \ pi [/ math] es el culpable aquí, es decir, [math] \ pi [/ math] no es un número algebraico, lo que significa que [math] \ pi [/ math] es un número trascendental, lo que implica que [math] \ pi [ / math] es un número irracional también. QED

Answer 8

Me pregunto por qué nadie ha pensado en presentar una prueba. Oh, espera, hay muchas pruebas.

Como mi profesor de cálculo siempre decía cuando enseñaba teoremas, “La prueba es trivial. Se deja al alumno.

No soy matemático, al menos no desde la clase de cálculo, así que estoy oxidado y es posible que no responda tu pregunta específica. ¿Pero por qué pensarías que después de más de dos milenios nadie ha presentado una prueba?

Y hasta ahora no hay repeticiones de hasta un millón de dígitos o más.

¿Cuál es el milmillonésimo dígito de Pi?

Cómo descubrir Pi por ti mismo usando círculos

Probar que Pi es irracional: una guía paso a paso para una “prueba simple” que solo requiere cálculo de escuela secundaria

Answer 9

Esta página Wiki tiene 6 pruebas diferentes: Prueba de que π es irracional

Answer 10

Aquí hay una lista de 5 razones por las cuales:

Prueba de que π es irracional

Answer 11

Las pruebas conocidas no son triviales. Esta página de Wikipedia esboza algunas de ellas.

Answer 12

No es una respuesta completa, pero podría ayudar.

El número de enteros es “infinitamente contable”. El número de números reales es “incontablemente infinito”. La mayoría de los números reales son irracionales.

Entonces te preguntas por qué la relación de un círculo con su diámetro es irracional. Sería sorprendente si no fuera así.

Answer 13

Mi corazón se cautivó después de ver tu exuberancia para saber sobre el “Pi”. Compartiré mi “saber cómo” sobre PI.
“Pi” es un número irracional, lo que significa que no se puede escribir en forma de “p / q” (donde q! = 0). Por supuesto, puede decir que Pi es 22/7, pero esta fracción puede representar un valor de pi bueno hasta dos puntos decimales, 3.14.
pero el valor real de pi es: 3.14159265358979323846264338327950 …………………….
este es el valor real, lo obtendrá una vez que divida cualquier circunferencia circular con su diámetro con precisión. Entonces, pensemos, ¿podemos poner fin a esta serie interminable reprimiéndola en forma de fracción? No. Muchos científicos habían intentado decadas para encontrar su final, luego dijeron firmemente que Pi es Irracional. No podemos representar su valor total. en fracciones
lo mejor es (103993/33102) representar el valor correcto hasta 9 puntos decimales,

Answer 14

En primer lugar, es “pi”. Es un número irracional porque no puede expresarse en la razón de dos números. ¡Colgarlo! 22/7 es solo un valor aproximado de pi. Los decimales no repetidos de pi aún no existen por un entero sobre otro entero.

Answer 15

Pi es un número irracional simplemente porque no tiene un equivalente decimal exacto. Solo puede derivarse al infinito.

Answer 16

En realidad, pi es una relación de circunferencia de un círculo a su diámetro. Esta relación es constante para cada círculo que se llama pi .
22/7 = 3.14 es solo su aproximación. Su valor es 3.1415 ….. No termina ni es recurrente, por lo que es irracional . No se puede representar en forma p / q.
Aquí hay un enlace para la prueba
Prueba de que pi es irracional.
Quora edición quiere que esta respuesta sea más útil. Estoy agregando cosas sin sentido. Por favor ignora.
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Answer 17

22/7 es solo una aproximación para Pi y también lo es 3.14. Estas aproximaciones son racionales.
El valor real de π comienza 3.14159265358979323846 … Es irracional.

Para obtener más dígitos, consulte Wolfram alpha. Aquí está el enlace: Pi – Wolfram | Alpha
Sigue presionando más dígitos …

Y hay una página de wikipedia con varias pruebas. Otro enlace: prueba de que π es irracional

Answer 18

el pastel es irracional porque su valor real es inferior a un racional definido (p / q), o no repetitivo o no recurrente, por lo que es irracional

cuando se mantiene π / 4 u otro, de acuerdo con res se obtiene

Answer 19

Encontrarás tu respuesta aquí. Para más dudas puedes preguntarme.

Probar que Pi es irracional: una guía paso a paso para una “prueba simple” que solo requiere cálculo de escuela secundaria

Answer 20

http://en.wikipedia.org/wiki/Pro …