¿Qué tan grande es el infinito?

Answer 1

El infinito es tan grande como necesitas que sea.

Por ejemplo, considere una oración muy simple en la que usamos el glifo [math] \ infty [/ math]:

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {x} = 0 [/ matemáticas].

Así es como me gusta leer esta declaración: “cuando x es grande, 1 / x es esencialmente cero”. Aquí hay otra forma de expresarlo: “no importa cuán preciso sea su instrumento de medición, x puede ser lo suficientemente grande como para medir 1 / x como 0″.

El punto es que el símbolo [math] \ infty [/ math], al menos en este contexto, solo representa un número muy grande. ¿Que tan grande? Depende de cuán cuidadosamente midas. Si mueves los postes, siempre puedo elegirlo más grande. Siempre es lo suficientemente grande.

La razón por la cual esta noción es tan crítica en el cálculo es que le permite dejar de lado muchas preocupaciones sobre cuán grande es “lo suficientemente grande” y pasar directamente a la imagen conceptual.

Por supuesto, el infinito se usa de maneras muy diferentes en diferentes campos de las matemáticas. Pero este es un ejemplo simple, y creo que el más común.

Answer 2

Infinito, no importa cómo se defina, es más grande que cualquier número finito. Y si tiene algo, y puede compararlo con todos los números finitos y es más grande que todos ellos, entonces es infinito.

Entonces, si sabes cuáles son los números finitos, entonces eso es suficiente para saber qué es infinito.

Los antiguos filósofos y geómetras griegos intentaron comprender el infinito, pero sus soluciones divergieron. Los filósofos en realidad trataron de entenderlo, desde Zenón hasta Platón y Aristóteles, y tenían mucho que decir al respecto.

Los geómetras intentaron evitarlo cuando fue posible, y a menudo era posible evitarlo. Las líneas rectas para ellos son lo que llamamos segmentos de línea; Tienen fines. El enfoque moderno es considerar una línea infinita en ambas direcciones.

Eudoxo (408–355) logró tratar algunas cosas que parecen ser infinitas por medio de números y magnitudes finitas.

Uno de los éxitos de Eudoxus fue su definición de proporción, es decir, la igualdad de razones, A : B = C : D. Antes de su definición, era difícil lidiar con razones no numéricas, lo que llamamos números irracionales. Ver Elementos de Euclides, Libro V, Definiciones 5 y 6.

Su otro éxito fue una forma de lidiar con el método de agotamiento sin referirse al infinito. Ese método se usó para encontrar áreas de círculos aproximándolos con polígonos con más y más lados dentro y fuera de los círculos. Ver Elementos de Euclides, Libro XII, Proposición 2 para más detalles.

Un lugar en el que los geómetras antiguos no podían eliminar el infinito era el teorema que establece que hay infinitos números primos. Elementos de Euclides, Libro IX, Proposición 20. La prueba de Euclides muestra que dado cualquier número finito de números primos, hay otro. Por lo tanto, hay más números primos que cualquier número finito: infinitos números primos.

Answer 3

Como otros han señalado, hay muchos infinitos, pero ¿sabías que hay un infinito que es increíblemente grande? (Gracias a la respuesta de David Joyce a ¿Hay una cantidad contable de cardinalidades? Para el adjetivo “inestable”).

Es decir, hay un infinito que es tan grande que si tuviera tantos elementos, no podría juntarlos todos en un conjunto. Esto es mucho más grande que:

• Necesitas que sea.
• La cardinalidad de los enteros , [math] \ aleph_0 [/ math]: el infinito contable en el que la gente piensa a menudo y que hace frente fácilmente al Grand Hotel de Hilbert.
• La cardinalidad de los reales , o el poder del Continuo.
• La cardinalidad del conjunto de subconjuntos de cualquier conjunto, su conjunto de potencia : si la cardinalidad del conjunto es [matemática] | S | [/ matemática] entonces la cardinalidad del conjunto de potencia es [matemática] 2 ^ {| S |} [/ math] y es estrictamente más grande que [math] | S | [/ math], por lo tanto, tenemos una secuencia infinita (infinitamente) de infinitos cada vez más grandes.

El infinito que es más grande que todos esos es el de la colección de números ordinales. Hay demasiados de estos para caber en un conjunto: ¡son increíblemente grandes! Si pudieras encajarlos en un conjunto, tendrías la paradoja de Burali-Forti.

La conclusión: el infinito y la intuición no se mezclan. Lo que creías que querías decir con “infinito” probablemente no era correcto 🙁

Answer 4

Al recordar el famoso ejemplo de un hotel con habitaciones infinitas, de una conferencia sobre algoritmos del profesor Kannan Srinathan en IIIT Hyderabad,
“El infinito no es un número, y no puedes realizar operaciones aritméticas ordinarias con él. La mejor manera de pensarlo es que el infinito es una propiedad que poseen algunos conjuntos, similar a otra propiedad llamada contabilidad”.

Para una mejor comprensión, http: //scidiv.bellevuecollege.ed …

Answer 5

Tomaré una inclinación ligeramente diferente al caracterizar el infinito. Nos referimos al número infinito más pequeño como [math] \ omega [/ math]. Es el primer número después de todos los números finitos. Cualquier cosa de tamaño igual a [math] \ omega [/ math] se llama infinitamente contable .

Ahora, hay números reales que tienen representaciones decimales infinitas que no se repiten (como [math] \ pi [/ math] o [math] e [/ math]). De hecho, esto es cierto para casi todos los números reales. Un número real es normal si la probabilidad de una cadena de dígitos arbitraria [matemática] m [/ matemática] en la expansión de la base [matemática] n [/ matemática] del número es [matemática] n ^ {- m} [/ matemática]. Resulta que casi todos los números reales son normales.

Observe que la expansión decimal de un número real tiene un número infinito de dígitos. Ahora, si pensamos en cualquier tipo de contenido o datos en forma digital: libros, música, fotos, video, o hasta el extremo: las secuencias de ADN de cada criatura que ha vivido en el planeta tierra o las posiciones de cada partícula en el universo a cada segundo desde el Big Bang, todos esos son cadenas finitas de dígitos. Entonces, cada uno ocurre en algún punto de la expansión decimal de un número normal (en realidad, cada uno ocurre un número infinito de veces en la expansión).

Eso significa que todo eso ocurre en la expansión decimal de un número normal. TODOS ELLOS. Cada libro que se haya escrito o se escribirá (se traducirá al idioma que desee), cada canción, cada secuencia genética, cada configuración completa del universo entero empaquetado en la expansión decimal infinitamente contable de un solo número.

Así de grande es [math] \ omega [/ math] y es solo el infinito más pequeño.

Answer 6

Infinity viene en muchos tamaños diferentes. De hecho, siempre puedes encontrar un infinito más grande para jugar.

Deje que [math] S [/ math] sea un conjunto; por ejemplo, permítame tomar [math] S = \ {1, 2 \} [/ math].

Defina el conjunto de potencia para que sea el conjunto de todos los subconjuntos de [math] S [/ math]. En nuestro ejemplo, esto es [matemáticas] P (S) = \ left \ {\ {\}, \ {1 \}, \ {2 \}, \ {1, 2 \} \ right \} [/ math] . Notará que hay más elementos en [matemáticas] P (S) [/ matemáticas] que en [matemáticas] S [/ matemáticas]. De hecho, esto siempre es cierto, e incluso puede generalizarse para conjuntos infinitos.

La clave es esta: si dos conjuntos son del mismo tamaño (o para ser matemáticamente más precisos: de la misma cardinalidad ), entonces podemos encontrar un mapa que combine todos los elementos de un conjunto con elementos del otro conjunto en una manera de uno a uno (esto se conoce como biyección ).

Ahora, si observa el conjunto de potencia, debe quedar intuitivamente claro que [math] P (S) [/ math] debe tener al menos el mismo tamaño que [math] S [/ math]. Mostraremos que nunca hay una biyección entre los dos, lo que demuestra que [matemáticas] P (S) [/ matemáticas] es estrictamente mayor que [matemáticas] S [/ matemáticas].

Supongamos que existe algún mapa de este tipo desde [matemática] S [/ matemática] a [matemática] P (S) [/ matemática]: llamemos a esta función [matemática] f [/ matemática]. Además, definamos el siguiente conjunto:

[matemáticas] T = \ left \ {s \ en S \ | \ s \ notin f (s) \ right \} [/ math]

Para poner esto en palabras: este es el subconjunto de [matemáticas] S [/ matemáticas] que consiste en elementos que no son elementos de sus imágenes en [matemáticas] P (S) [/ matemáticas].

Ahora, dado que [math] f [/ math] combina elementos de [math] S [/ math] con elementos de [math] P (S) [/ math], debe haber algún elemento [math] s_T \ en S [/ math] tal que [math] f (s_T) = T [/ math]. ¿Pero es eso posible?

Bueno, si [math] s_T \ in f (s_T) [/ math], entonces [math] s_T \ notin T [/ math], por definición. Pero [math] f (s_T) = T [/ math], por lo que podemos concluir que [math] s_T \ notin f (s_T) [/ math].

Pero, si [math] s_T \ notin f (s_T) [/ math], entonces [math] s_T \ en T [/ math], nuevamente por definición. Y, dado que [math] f (s_T) = T [/ math], tenemos que [math] s_T \ in f (s_T) [/ math], en contradicción con lo que ya habíamos decidido que tenía que ser cierto.

Para resumir: hemos encontrado un elemento que pertenece a un subconjunto si no pertenece a ese subconjunto, y no pertenece al subconjunto si pertenece al subconjunto. Esto es una basura completa y total: hemos llegado a una contradicción y, por lo tanto, nuestra premisa inicial debe haber sido falsa. No hay biyección entre [matemáticas] S [/ matemáticas] y [matemáticas] P (S) [/ matemáticas].

Answer 7

El infinito no es “solo realmente muy grande”.

Las únicas buenas respuestas a “¿qué tan grande es infinito?” son de las matemáticas de los números transfinitos que inició Georg Cantor. Resulta que la mayoría de los infinitos que normalmente pensamos son todos del mismo tamaño (por ejemplo, el número de enteros, el número de números primos, el número de números pares, el número de fracciones son todos del mismo tamaño: [matemáticas] \ aleph_0 [/ math]). Pero hay, sin embargo, un número infinito de infinitos más grandes. Por ejemplo, el número de números reales es mayor que el número de enteros.

Answer 8

“Infinito” es algo mayor que todos los números finitos.

Resulta que una vez que intentas definir eso matemáticamente, llegas a la inevitable conclusión de que algunos infinitos son mayores que otros. Por ejemplo, hay más números reales que enteros … o para decirlo de otra manera, hay más conjuntos de enteros que enteros.

http://en.wikipedia.org/wiki/Tra …
http://en.wikipedia.org/wiki/Ale …

Answer 9

Resulta que el infinito es muy, muy grande y mucho más grande de lo que esperabas.
Vea también esta pregunta de Quora y siga los enlaces a la brillante conferencia animada TED: –
@ Si crees que sabes lo que es el infinito, ¿estás en lo correcto?
¡Increíblemente, los editores de Quora piensan que esta pregunta es “poco sincera” y la han marcado para que solo las personas que quieran ver respuestas poco sinceras puedan verla! En mi opinión, aquí es donde Wikipedia también se equivocó, dando un peso indebido a los llamados “editores” que viven en un mundo irreal.

Answer 10

Esta pregunta no es sensorial hasta que me des un contexto. Por ejemplo, en la compactación de dos puntos de la línea real, encontramos los “números reales extendidos”, en los que el símbolo “[math] \ infty [/ math] ” se interpreta como” mayor que cualquier número real ”, y siendo el único número real extendido con esa propiedad. Sin embargo, en el análisis real no estándar, uno no compacta la línea real y, en cambio, agrega suficientes números nuevos a la línea real para recuperar la noción original de Leibniz y Newton de “infinitesimal” o “fluxión”, al tiempo que requiere que el nuevo El sistema de números que uno usa en este contexto forma un campo (en el sentido algebraico, no en el sentido cuántico, o el sentido de fem, o el sentido de cálculo de múltiples variables, o el sencse de “campo de fuerza” de Star Trek). Si [math] \ varepsilon [/ math] es un infinitesimal positivo en la extensión no estándar elegida del sistema de números reales, entonces es más pequeño que cualquier número real positivo, por lo que su inverso multiplicativo es un número real no estándar infinito. De esta manera, uno obtiene lo más concreto posible una visualización de “cálculo infinitesmial” y “cálculos en el infinito”, pero “infinito” en ese contexto, no es un número.

Ver Análisis no estándar, en wikipedia.
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Answer 11

Depende de si te refieres a “contar” o “ordenar”, pero sigamos contando, ya que pediste “qué tan grande”.

Considere un montón de donas. Digamos … 5. Eso es finito. Ahora, en lugar de 5, puede tener tantas donas como desee. Pero una vez que los tomas todos, ya no quedan. Eso es finito pero ilimitado.

Por último, digamos que puede tomar tantas donas como desee y aún quedan donas. Entonces debemos haber tenido un número infinito de donas.

Básicamente, el infinito es tan grande que no importa cuánto le quites, queda más.

Answer 12

“Infinito” (como sustantivo) no tiene un solo significado, y los significados que tiene son muy fáciles de entender mal.

A menos que esté muy seguro de que sabe exactamente lo que quiere decir, le recomiendo no usar el sustantivo “infinito” en absoluto. Puedes decir casi cualquier cosa que quieras decir usando el adjetivo “infinito” y tener mucha menos tentación de confundirte. Esto se debe a que el adjetivo “infinito” solo significa una cosa: una cantidad [matemática] a [/ matemática] es finita si hay un número natural [matemático] n [/ matemático] tal que [matemático] -n infinita precisamente si no existe tal número natural.

Answer 13

¿Qué tan grande es el infinito?

El infinito no es un número real y, por lo tanto, no tiene un tamaño definido y medible. Los números reales son los números utilizados para contar y medir todos los días en el mundo físico; sin embargo, ¡infinito se usa para describir una condición ilimitada, ilimitada e infinita que nunca se puede alcanzar u obtener!   El infinito es una idea, ¡una idea de algo sin fin!

¡No confunda un número real extremadamente grande con infinito! Un número extremadamente grande, que es finito, es decir, se puede medir o dar un valor, por ejemplo, 10 ^ 100, es diferente de la condición ilimitada, ilimitada del infinito; ¡Los dos no son lo mismo!

“…, Señalamos que muchas personas confunden números finitos muy grandes con números infinitos a pesar de que los dos son fundamentalmente distintos. Se puede alcanzar un número finito si contamos el tiempo suficiente o si agregamos suficientes ceros, pero nunca se puede alcanzar un número infinito por tales métodos porque se ha definido como ilimitado o sin límite. No podemos simplemente escribir el número uno y luego colocar miles de millones de ceros detrás de él y esperar alcanzar un número infinito si perseveramos durante el tiempo suficiente. Infinity es una cualidad que no se puede abordar utilizando nuestro sistema de números tradicional. … “¹

“NOTA Los símbolos ∞ y ̶ ∞ se refieren al infinito positivo y negativo. Estos símbolos no denotan números reales. (énfasis, mío) Simplemente le permiten describir condiciones ilimitadas de manera más concisa. Por ejemplo, el intervalo [a, ∞) no está acotado a la derecha porque incluye todos los números reales que son mayores o iguales a ‘a’. ”²

Entonces, al infinito no se le puede asignar un tamaño exacto ya que se usa en Matemáticas para describir una condición ilimitada, ilimitada e interminable, por ejemplo, la recta numérica real que no tiene principio ni fin.

¹ Lloyd Motz y Jefferson Hane Weaver, Conquering Mathematics: From Arithmetic to Calculus , “The Number System”, Plenum Publishing Corporation, Nueva York, Nueva York, 1991, p. 17)

² Roland E. Larson, Robert P. Hostetler y Bruce H. Edwards, Cálculo con geometría analítica, sexta edición , “APÉNDICE A – Revisión del cálculo previo”, Houghton Mifflin Company, Boston, Nueva York, 1998, p. A3.

Answer 14

Como ya hay algunas excelentes respuestas a esta pregunta. Una cosa es definitivamente clara
” Infinity es realmente muy grande, que ni siquiera podemos imaginarlo”.

---

Pero aquí la pregunta es ” ¿Qué tan grande es el infinito?”

Entonces, intentemos mostrar esto en términos de números.

En matemáticas asumimos
1/0 = infinito

Numerador / denominador = Infinito (en caso de que el denominador sea cero)
Ahora,

5/1 = 5

100 / .001 = 100,000

900857654 / .0000124 = 72649810806451.61290

9864554455545552 / .0000000000000986 = 100046191232713509127789046653.14

Ahora usa tu poder de imaginación tanto como puedas, solo disminuye el denominador.
Hasta que tiende a cero (o se convierte en cero), todo el valor se vuelve realmente muy grande, después de eso encontrarás el valor exacto de infinito.

Answer 15

Imagina que eliges un número. Tan grande como quieras. ¿El número de Graham al poder del número de Graham? Genial: el infinito es aún más grande.

Infinity tiene dos propósitos: el primero es una abstracción de “arbitrariamente grande” para matemáticos, generalmente incluida como una forma de generalizar un enunciado (como sigue), si tiene el enunciado [math] \ frac {1} {x} [/ matemática], y x crece tanto como desee, el valor de [matemática] \ frac {1} {x} [/ matemática] se acerca tanto a cero que puede llamarse efectivamente cero. Entonces escribimos
[matemática] \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \ frac {1} {x} = 0 [/ matemática], para decir que “a medida que x continúa creciendo, [matemática] \ frac {1} {x} [ / math] se acerca a 0. ”

El segundo propósito es como una forma de mostrar realmente cuán interminables son los números. Imagina el mayor número que te gustaría. Ahora eleva ese número a la potencia de ese número. Podrías hacer el mismo proceso un millón de veces, y aún tendrás un número. Esto muestra que no hay un valor llamado infinito : es una “idea” abstracta que entra en juego cuando no quieres dar un valor finito a un número arbitrariamente grande.

Answer 16

Los humanos vivimos en un entorno acotado … Tendemos a considerar una cantidad como cero o infinito una vez que está fuera de los límites de la comprensión humana. Permítanme apoyar mi declaración con un ejemplo. . En este caso, cuando x crece mucho (más allá de nuestro rango de instrumentos de medición o comprensión) 1 / x se vuelve igualmente pequeño (nuevamente más allá de nuestro rango), decimos que el valor del límite es CERO ya que x tiende a INFINITO.
Sobre una base más física, a menudo nos referimos a nuestro universo como infinitamente grande ya que no somos capaces de medir las dimensiones exactas que cubre nuestro universo …

Por lo tanto, INFINITY es algo que no se puede cuantificar y solo es válido teóricamente …

Answer 17

Veo que ha etiquetado temas únicamente relacionados con las matemáticas, pero aquí hay una definición en términos de física que podría aclararlo un poco.

El infinito es grande (¿no lo dices?). pero no es tu “grande” normal, es relativamente grande .

Infinito es lo opuesto a insignificante. Para un cable largo y delgado, el grosor es insignificante en comparación con la longitud. por lo tanto, al considerar los cálculos con el grosor, la longitud se considera infinitamente larga. Esto ayuda en cálculos tales como el cálculo del campo magnético en un cable que transporta corriente, ya que el valor del efecto, integrado hasta el infinito, es prácticamente el mismo que el valor ‘relativamente’ grande de la longitud, cuando se integra con respecto al grosor.

Answer 18

Aquí está mi opinión sobre el infinito. La siguiente es una definición “no alfabetizada matemáticamente” de lo que significa algo infinito:

Un conjunto es infinito si uno de sus subconjuntos adecuados contiene la misma cantidad de elementos que el conjunto original.

¿Qué tan grande necesitas ser para tener esta propiedad? Bastante grande!

Answer 19

No hay talla
Respuesta simple y directa, es más grande de lo que piensas;
Lejos de tu alcance.
Si estás corriendo para atrapar el infinito, siempre seguirá corriendo, lejos de tu vista, a una distancia infinita.
Si no está ejecutando nada, puede estar a solo unas cuadras de distancia, pero nunca lo sabrá.

Estimado amigo, una respuesta más corta y más simple es: “Si hubiera una respuesta finita y bien definida a su pregunta, la pregunta nunca podría ser sobre el infinito.

Answer 20

Cual infinito? El primer infinito que encontrarás es la cardinalidad (tamaño, en cierto sentido) de los números naturales (los números que obtienes si comienzas con 0 y sigues sumando 1). Luego está la cardinalidad del conjunto de números irracionales, que de alguna manera es más grande *. Luego hay una infinidad de infinitos aún más grandes.

Como matemático, he dejado de intentar imaginar el infinito en comparación con cualquier cosa finita. Es solo … más grande . Tenemos formas de entenderlo y manipularlo (bueno, ellos) de manera sensata, pero siempre debemos caminar con precaución.

* Porque si afirmas que es posible escribir una lista de todos ellos, y porque es una lista puedes numerarlos por los enteros, podré construir un número que no esté en tu lista, siempre. Incluso si agrega cada número nuevo a la lista, siempre puedo encontrar otro, por lo que claramente no puede enumerarlos todos: hay “demasiados” para contar; Son incontables.