Si tomamos un número primo y ponemos un cero entre dos dígitos, ¿el número resultante también es primo?

Como otros ya han señalado, no siempre es cierto, pero parece ser cierto con bastante frecuencia. Hay 21 números primos de dos dígitos y si inserta un cero entre ellos obtendrá un número primo en 14 casos. Los 7 casos restantes tienen el siguiente factor

203 = 7,29

209 = 11,19

301 = 7.43

401 = 13,31

407 = 11,73

703 = 19,37

803 = 11,73

Entonces, dos tercios o aproximadamente el 66.7% de ellos son primos, lo cual es una tasa de éxito impresionante cuando considera que solo hay 143 primos de tres dígitos, por lo que la fracción esperada de primos de enteros de tres dígitos seleccionados al azar sería 143/900 = 15.8%. En otras palabras, lo hemos hecho mejor de lo esperado por un factor de aproximadamente 4.2

¿Es una casualidad o continúa para números más grandes?

Obviamente, parte de la explicación es que los números primos de dos dígitos son impares y si inserta un cero permanecen impares, lo que duplica la posibilidad de que el resultado sea primo. Lo mismo es cierto para factores de cinco. Un primo mayor que dos solo puede terminar en los dígitos 1,3,7 o 9 y el último dígito no cambia si inserta un cero. Los múltiplos de 5 siempre terminan en 0 o 5, por lo que también se descartan múltiplos de cinco. Esto aumenta las posibilidades de que el resultado sea primo por otro factor de 5/4.

Mirando las factorizaciones anteriores, puede notar que ninguno de ellos son múltiplos de 3 tampoco. Esto siempre será cierto debido a la regla de expulsar nueves. El resto de un número cuando se divide por 9 es el mismo que para la suma de sus dígitos. Si inserta un cero, esto no cambia. Como el número original no es un múltiplo de tres, tampoco lo será después de insertar un cero. Esto aumenta las posibilidades de que el número sea primo por otro factor de 3/2.

Entonces, en general, las posibilidades de que el número sea primo han aumentado sobre la posibilidad aleatoria en un factor de

[matemáticas] 2 \ veces \ frac {3} {2} \ veces \ frac {5} {4} = \ frac {15} {4} = 3.75 [/ matemáticas]

Esto está cerca del factor de 4.2 que encontramos y ahora sabemos que esta relación de éxito mejorada debería continuar para números más grandes.

Pero ese no es el final de la historia. Concentrémonos en el caso donde agregamos el cero en el lugar de las decenas. ¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un múltiplo de 7? El primo original termina en un dígito 1,3,7 o 9. En el caso de que sea un siete, la inserción de un cero no puede producir un múltiplo de siete. Para los otros tres casos, encontramos que la probabilidad de que el número sea múltiplo de siete es 1/6, que es ligeramente mayor que la probabilidad habitual de 1/7 para un entero aleatorio. En general, la probabilidad de que el resultado sea un múltiplo de siete es, por lo tanto, 1/6 veces 3/4, que es 1/8. Esto significa que la probabilidad de que el número no sea un múltiplo de 7 es 7/8 en lugar del 6/7 habitual, por lo que la probabilidad de que sea un primo ha aumentado en otro factor de 49/48 llevándolo a un factor de 3.828.

¿Las posibilidades continúan mejorando a medida que tenemos en cuenta más números primos? Lamentablemente no, de hecho para primos [matemática] p> 7 [/ matemática] encontrará que las posibilidades de que no sea un múltiplo de p se reducen en un factor de [matemática] (1- \ frac {1} {( p-1) ^ 2}) [/ matemáticas]

Si multiplicamos estos factores para todos los números primos de 11 y superiores, el producto converge a un número de alrededor de 0.97, por lo que el factor de mejora general es, por lo tanto, de alrededor de 3.7. No olvide que esto se calculó para el caso de agregar un dígito cero en el lugar de las decenas. . Para otras inserciones, el factor de mejora es ligeramente diferente.