¿Cuál es el significado físico del conjugado de un número complejo?

Answer 1

Un número complejo y su conjugado no se pueden distinguir desde el punto de vista de los números reales. La acción de conjugación es importante porque formaliza precisamente el hecho de que podría reemplazar i por -i en todas partes y cada ecuación seguirá siendo cierta.

Informalmente, el problema es que (-1) debe tener dos raíces cuadradas, pero no hay forma de saber a cuál se refiere. Has decidido nombrar uno y llamarlo i, pero no hay forma de decir “cuál” elegiste; en particular, puede cambiar su elección a -i en cualquier momento.

La razón por la que esto es importante es que le da muchas ecuaciones “gratis”, al conjugar ecuaciones conocidas, y a menudo esta es una técnica útil.

Estoy siendo un poco vago sobre lo que quiero decir con “indistinguible”, pero aquí hay una declaración precisa (se pueden formular declaraciones mucho más generales, por supuesto): si p (x) es un polinomio con coeficientes reales, entonces p ( x + iy) = 0 si y solo si p (x-iy) = 0. Por lo tanto, no existe una ecuación polinómica que use números reales que puedan distinguir un número complejo de su conjugado.

Answer 2

Representa una reflexión sobre el eje real. Elija un punto [matemática] z = x + iy [/ matemática] en el plano complejo. Camine 2 pasos y termine en [matemáticas] z ^ * = x – iy. [/ Matemáticas] Es más significativo que una reflexión sobre el eje imaginario porque estamos más interesados ​​en los números reales que en los números imaginarios puros.

Suponga que tiene que mirar un “conjugado semi-complejo” que se definió en términos de reflexiones sobre el eje imaginario. Específicamente, asóciese con un número complejo [matemático] z = x + iy [/ matemático] es un conjugado semi-complejo [matemático] z ^ \ # = -x + iy. [/ Matemático] Luego, análogo a la norma discutida por Quora Usuario, definiríamos

[matemáticas] | z | ^ 2 = zz ^ \ # = (-x + iy) (x + iy) = -x ^ 2 – y ^ 2. [/matemáticas]

Esto parece ser exactamente lo contrario de lo que queremos para la longitud al cuadrado de un número complejo … suponiendo que los números reales son los que nos interesan . Sin embargo, si invertimos los roles de los números reales e imaginarios, vemos al sacar la raíz cuadrada de la ecuación anterior que obtenemos exactamente lo que queremos:

[matemáticas] | z | = \ sqrt {-x ^ 2-y ^ 2} = i \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}. [/matemáticas]

Este es solo el número en el eje imaginario que tiene la misma longitud que el número complejo original. Esto es exactamente análogo a lo que estamos acostumbrados con la norma regular para números complejos. Simplemente asigna un número complejo z al número complejo de la misma longitud que se encuentra en la línea real. Entonces, la razón por la cual el reflejo sobre el eje real es más importante que la reflexión sobre el eje imaginario es que los números complejos generalmente se consideran una generalización de los números reales , no imaginarios.

Answer 3

Un número complejo puede considerarse como una combinación de operaciones de escala y rotación (en algún espacio 2d). El conjugado de un número complejo es solo la operación que escala por el mismo factor y gira por el mismo ángulo, en la dirección opuesta . [Por ejemplo, “Hazte cinco veces más grande y gira 13 grados en sentido horario” tiene conjugado “Haz cinco veces más grande y gira 13 grados en sentido antihorario”]

Por lo tanto, la relación entre los números complejos conjugados es que, cuando se aplica a cualquier vector en particular, sus resultados son imágenes especulares, tal como se refleja en ese vector.