En el Libro IX de Los Elementos, Euclides dio un método para construir números perfectos, aunque este método se aplica solo a números perfectos pares. En una carta de 1638 a Mersenne, Descartes propuso que cada número par perfecto es de la forma de Euclides, y declaró que no veía ninguna razón por la que no pudiera existir un número perfecto impar. Descartes fue, por lo tanto, uno de los primeros en considerar la existencia de números perfectos impares; Antes de Descartes, muchos autores habían asumido implícitamente (sin pruebas) que los números perfectos generados por la construcción de Euclides comprendían todos los números perfectos posibles. En 1657, Frenicle repitió la creencia de Descartes de que cada número perfecto par es de la forma de Euclides y que no había razón para que no pudiera existir un número perfecto impar. Al igual que Frenicle, Euler también consideró números impares perfectos.
Hasta el día de hoy, no se sabe si existen números perfectos impares, aunque los números de hasta 10 ^ 300 se han verificado sin éxito, lo que hace que la existencia de números perfectos impares parezca poco probable (Brent et al. 1991; Guy 1994, p. 44 ) La siguiente tabla resume el desarrollo de límites cada vez más altos para el número perfecto impar más pequeño posible. Hay un proyecto en marcha en http://www.oddperfect.org/ que busca extender el límite más allá de 10 ^ 300.
autor | ligado
Kanold | 10 ^ 20
Tuckerman | 10 ^ 36
Hagis | 10 ^ 50
Brent y Cohen | 10 ^ 160
Brent y col. El | 10 ^ 300
Euler mostró que un número perfecto impar, si existe, debe tener la forma
N = p ^ (4lambda + 1) Q ^ 2,
donde p es primo de la forma 4n + 1 (teorema Fermats 4n + 1; Burton 1989), un resultado similar al derivado por Frenicle en 1657. En otras palabras, un número perfecto impar debe ser de la forma
N = p ^ alfa q_1 ^ (2beta_1) … q_r ^ (2beta_r)
para primos impares distintos p, q_1, …, q_r con pcongruentalphacongruent1 (mod 4). Posteriormente, Steuerwald demostró que beta_is no puede ser todo 1.
Touchard demostró que un número perfecto impar, si existe, debe tener la forma 12k + 1 o 36k + 9.
En 1896, Stuyvaert declaró que un número perfecto impar debe ser una suma de dos cuadrados. En 1887, Sylvester conjeturó y en 1925, Gradshtein demostró que cualquier número perfecto impar debe tener al menos seis factores primos distintos. Hagis demostró que los números perfectos impares deben tener al menos ocho factores primos distintos, en cuyo caso, el número es divisible por 15.
En 1888, el catalán demostró que si un número perfecto impar no es divisible por 3, 5 o 7, tiene al menos 26 factores primos distintos, y Norton lo extendió a 27. Norton demostró que los números perfectos impares que no son divisibles por 3 o 5, deben tener al menos 15 factores primos distintos. Neilsen, mejorando el límite de Hagis, demostró que si un número perfecto impar no es divisible por 3, debe tener al menos 12 factores primos distintos. Nielsen también mostró que un número perfecto impar general, si existe, debe tener al menos 9 factores primos distintos.
Más recientemente, Hare ha demostrado que cualquier número perfecto impar debe tener 75 o más factores primos. Mejorar este límite requiere la factorización de varios números grandes (Liebre), y actualmente se están realizando intentos para realizar estas factorizaciones utilizando el método de factorización de curva elíptica en mersenneforum.org y OddPerfect.org.
Para el factor primo más grande de un número perfecto impar, Iannucci (1999, 2000) y Jenkins han trabajado para encontrar límites más bajos. Los tres factores más grandes deben ser al menos 100000007, 10007 y 101. Goto y Ohno verificaron que el factor más grande debe ser al menos 100000007 usando una extensión de los métodos de Jenkins.
Para el factor primo más pequeño de un número perfecto impar con todas las potencias pares inferiores a seis, Yamada determinó un límite superior de exp (4.97401 × 10 ^ 10)
Para cualquier número perfecto impar con r factores primos y 1 <= i <= 5, Kishore ha establecido límites superiores para pequeños factores de números perfectos impares al mostrar que
p_i <2 ^ (2 ^ (ti)) (i).
fuente: wolfram alpha