¿Cuáles son los argumentos clave para cada lado del debate entre si los números naturales deberían comenzar en 0 o 1?

Answer 1

EW Dijkstra, de la fama del algoritmo de Dijkstra, dio este argumento (1982) de que 0 debería considerarse como el número natural más pequeño:

¿Por qué la numeración debe comenzar en cero?

Para denotar la subsecuencia de números naturales [matemática] 2, 3, \ ldots, 12 [/ matemática] sin los tres puntos perniciosos, cuatro convenciones están abiertas para nosotros:

a) [matemáticas] 2 \ le i <13 [/ matemáticas]

b) [matemáticas] 1 <i \ le 12 [/ matemáticas]

c) [matemáticas] 2 \ le i \ le 12 [/ matemáticas]

d) [matemáticas] 1 <i <13 [/ matemáticas]

¿Hay razones para preferir una convención a la otra? Sí hay. La observación de que las convenciones a) yb) tienen la ventaja de que la diferencia entre los límites mencionados es igual a la longitud de la subsecuencia es válida. Así es la observación de que, como consecuencia, en cualquier convención dos subsecuencias son adyacentes significa que el límite superior de uno es igual al límite inferior de la otra. Válidas como son estas observaciones, no nos permiten elegir entre a) yb); así que comencemos de nuevo.

Hay un número natural más pequeño. La exclusión del límite inferior, como en b) yd), obliga a una subsecuencia que comienza en el número natural más pequeño, el límite inferior como se menciona en el reino de los números no naturales. Eso es feo, por lo que para el límite inferior preferimos [math] \ le [/ math] como en a) yc). Considere ahora las subsecuencias que comienzan en el número natural más pequeño: la inclusión del límite superior obligaría a este último a ser antinatural para cuando la secuencia se haya reducido al vacío. Eso es feo, así que para el límite superior preferimos [matemáticas] <[/ matemáticas] como en a) yd). Concluimos que la convención a) es preferible.

Comenzar en 0 también es más útil en los casos en que es importante (consulte mi respuesta a ¿Deben comenzar los índices de matriz en 0 o 1?).

Creo que el argumento principal para comenzar los números naturales en 1 es solo una convención histórica. La mayoría de los lenguajes humanos refuerzan una asociación entre “primero” y “uno”, y la idea de “cero” es una invención relativamente reciente. Pero esto está cambiando, especialmente dentro de la teoría de conjuntos, la lógica y la informática.

Answer 2

Un tema clave en el debate se refiere al conteo versus la cantidad. La idea de que los números naturales deberían comenzar con uno deriva de la opinión de que contar es más importante. “La naturaleza y el significado de los números” de Richard Dedekind (vea la página en gutenberg.org) basó su teoría de números en el conteo y, por lo tanto, comenzó en uno o primero. Más tarde, la teoría de conjuntos estuvo influenciada por Gottlob Frege, que se centró en la cantidad (cuántos miembros en un El conjunto vacío, la falta de cantidad (o cualquier otra cosa) condujo a la creación de números a partir de la nada, por ejemplo, {}, {{}}, {{{}}}, … Esta vista ha legitimado cero, el recién llegado al mundo de los números, como “Natural” para muchos.

Answer 3

Depende de cómo construyas los números naturales.

Si usa los axiomas de peano, entonces comienza en 1. La razón de esto es que necesita un punto de partida y una forma de sumar 1.

Si usa la teoría de conjuntos, entonces comienza en 0. La razón de esto es que 0 es el conjunto vacío. Usted define una función sucesora como succ (x) = x \ union {x}. Así,
0 = {}
1 = {{}} = {0}
2 = {{}, {{}}} = {0,1}
…
10 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}