Una raíz cuadrada de un número x es un número y tal que [matemática] y ^ 2 = x [/ matemática]. Período. La única pregunta que queda es: ¿qué es un número?
Bueno, para empezar, presumiblemente la gente pensó en cosas como 1, 2, 3, … como números. Al trabajar con los números naturales , siempre puedes sumar y multiplicar, y a veces también puedes restar y dividir. La gente finalmente se dio cuenta de que sería bueno si siempre pudieras restar y dividir. Por ejemplo, si le debe dinero a alguien, puede representarlo con un número negativo. Si desea medir algo que no se divide uniformemente en pies, puede medirlo con una fracción. Resultó que no tiene sentido dividir por cero, pero puedes hacer que casi todo lo demás funcione, así que llegamos al campo de los números racionales . (Un campo es una configuración en la que siempre puedes sumar, restar, multiplicar y dividir, excepto dividir por cero, que no funciona).
Si trabaja sobre el campo de los números racionales, entonces el número 2 no tiene una raíz cuadrada. (Para la prueba de este hecho, vea la respuesta de Daniel McLaury a ¿Cómo podemos probar que la raíz cuadrada de 2 es irracional?). Esto no es un problema si solo está usando números para contar cosas, pero si quiere usa números para medir cosas, entonces estás en problemas, porque el teorema de Pitágoras nos dice que la razón de la diagonal de un cuadrado a su lado es igual a la raíz cuadrada de dos. Por lo tanto, tiene tres opciones: (a) renunciar a representar distancias con números, (b) desechar la geometría euclidiana e inventar un análogo discreto, o (c) retroceder y construir un campo más grande que contenga los números racionales. La humanidad decidió ir con la opción (c), y finalmente llegamos al campo de los números reales . (No hay nada “real” sobre los números reales, y por lo que sabemos, la opción (b) podría ser más realista. Es solo un nombre que se le ocurrió a la gente en algún momento de la historia).
En algún momento del camino también inventamos álgebra y aprendimos que era bueno poder resolver ecuaciones. Las ecuaciones más básicas (no triviales) en una variable son ecuaciones polinómicas : cosas como
- ¿Por qué no se les han agregado los números once y doce?
- ¿Por qué se considera a Pi un número tan importante en matemáticas?
- ¿Por qué “40” se escribe “cuarenta” y no “cuarenta”?
- ¿Por qué algunos números tienen más de un punto decimal?
- ¿Cuál es la mejor manera de visualizar un googol?
[matemáticas] 6x ^ 3 + 5x – 7 = 0 [/ matemáticas]
Se dice que la ecuación polinómica anterior es de tercer grado, porque la potencia más alta de x involucrada es 3. Sabemos desde la antigüedad que los números enteros se convierten en productos de primos, y una vez que comenzamos a estudiar polinomios aprendimos que ellos también, factor único. De esto pudimos concluir que, por ejemplo, una ecuación polinómica de tercer grado puede tener como máximo tres soluciones diferentes, y así sucesivamente.
Las ecuaciones polinómicas más simples son las de grado dos, también conocidas como cuadráticas. Dado que las ecuaciones cuadráticas son de segundo grado, tienen como máximo dos soluciones diferentes, e incluso pudimos encontrar una fórmula, la fórmula cuadrática , que nos decía cuáles eran ambas soluciones (suponiendo que existieran). Si solo tuviera una solución, la fórmula le daría “dos copias”, y si no tuviera ninguna solución, la fórmula le diría esto dándole dos soluciones que involucran raíces cuadradas de un número negativo. Este fue el primer indicio de que había algo más allá de los números reales, pero en su mayor parte las personas lo ignoraron y continuaron con sus vidas durante varios siglos. Obtuviste tus soluciones o no, y en el último caso dijeron que las soluciones que salían de la fórmula cuadrática eran “imaginarias” o algo por el estilo.
Ahora la fórmula cuadrática es bastante fácil: mi maestra de álgebra de octavo grado mostró a toda una clase de estudiantes cómo idearla en unos quince minutos, e históricamente a la gente se le ocurrió la fórmula básicamente tan pronto como se dieron cuenta de que algo así como eso sería bueno tener. La fórmula cúbica , que resuelve ecuaciones como las anteriores, es mucho más difícil y requirió siglos de trabajo por parte de muchas personas muy inteligentes. (Vea la respuesta de Daniel McLaury a ¿Cómo factorizamos un polinomio cúbico? Para los detalles.) Lo que pasa con la fórmula cúbica es que, incluso cuando el cúbico realmente tenía tres soluciones, a veces esta fórmula implicaría raíces cuadradas de números negativos, pero si simplemente lo seguiste y seguiste haciendo el álgebra de la manera obvia y luego terminarías con las soluciones correctas.
Por supuesto, la primera respuesta fue tratar de encontrar una mejor forma de fórmula cúbica que no tuviera este problema. Gradualmente, esto se hizo imposible, en ese momento se hizo necesario extender el campo de los números reales para incluir estas raíces cuadradas de los números negativos. El campo resultante se conocía como los números complejos , porque resulta que cada número es la suma de un número real y la raíz cuadrada de algún número no positivo: una “parte real” y una “parte imaginaria” [1 ] la palabra “imaginario” que proviene del uso histórico descrito anteriormente. (Es decir, la palabra “complejo” aquí no significa “complicado”, significa “que consta de más de una parte”, al igual que un “complejo de apartamentos” es varios edificios de apartamentos. En particular, esto significa que en el contexto de números complejos es incorrecto pronunciar “complejo” con el acento en la segunda sílaba).
Ahora, podría objetar si tiene sentido llamar a los elementos del campo complejo “números”, al igual que las personas en la antigüedad griega podrían objetar si tiene sentido llamar a los elementos del campo real “números” cuando son faltan algunas propiedades importantes de los números racionales. Eso está bien, es solo una cuestión de terminología. Lo que es cierto es que hay una copia del campo real dentro del campo complejo, y que la copia de -1 dentro del campo complejo tiene una raíz cuadrada (en realidad, dos raíces cuadradas, al igual que -2 y 2 son ambas raíces cuadradas de 4).
[1] En particular, esto significa que los números complejos forman una de las tres posibles estructuras de álgebra bidimensional sobre los números reales. Resulta que esta estructura es la que se describe en la respuesta de Sridhar Ramesh. A diferencia de Sridhar, considero esto como una coincidencia totalmente sin sentido (aunque bastante útil).