Esta es una pregunta fascinante, con múltiples respuestas posibles. Podemos hablar sobre el “número de elementos” en un conjunto infinito de diferentes maneras, todas las cuales tienen diferentes limitaciones o comportamientos poco intuitivos. El problema es que nuestra intuición de fragmentos de tamaño cuando hablamos de conjuntos infinitos . Podemos extender nuestra noción de tamaño a conjuntos infinitos de diferentes maneras, dependiendo exactamente de lo que nos interese.
Con conjuntos finitos, hablar de tamaño es fácil: solo contamos los elementos. Desafortunadamente, esto no funciona para conjuntos infinitos, ¡llevaría una eternidad! Por lo tanto, necesitamos alguna forma de extender nuestra noción de “tamaño” más allá del conteo. Cómo hacemos esto? Podemos elegir ciertas propiedades de los tamaños de conjuntos finitos y definir alguna operación en conjuntos infinitos que conserve esta propiedad.
Una de esas propiedades, quizás la más general, es la idea de que dos conjuntos tienen el mismo “tamaño” si podemos hacer coincidir cada elemento del primer conjunto con exactamente un elemento único del segundo y viceversa. Hacemos esto construyendo una función entre los dos conjuntos con esta propiedad llamada biyección o correspondencia uno a uno . Esta noción de tamaño se llama cardinalidad y es la definición predeterminada para el tamaño de un conjunto sin contexto adicional. 
Una correspondencia uno a uno hace coincidir cada elemento en ambos conjuntos con un elemento único del otro conjunto. (Imagen de Wikimedia).
Sin embargo, como mencioné anteriormente, esta definición se comporta de manera poco intuitiva. Lo más notable, con conjuntos finitos, si un conjunto [matemática] A [/ matemática] contiene todos los elementos de [matemática] B [/ matemática] y algo más, siempre tiene un tamaño mayor. Pero con la cardinalidad de los conjuntos infinitos, esta garantía se desmorona: ¡un conjunto puede ser un subconjunto adecuado de otro conjunto pero aún tener la misma cardinalidad!
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Claramente, esto es confuso. Pero es tanto una consecuencia de cómo generalizamos nuestra noción de tamaño a conjuntos infinitos como una consecuencia del hecho de que, bueno, los conjuntos infinitos son simplemente extraños . Nada nos impide hablar sobre el tamaño del set de una manera diferente.
Un enfoque parcial sería hablar sobre el tamaño de los conjuntos en términos de subconjuntos: [matemática] A [/ matemática] es menor que [matemática] B [/ matemática] si y solo si [matemática] A \ subconjunto B [/ matemática ] Esto conserva la primera propiedad que nos importa, pero tiene el inconveniente de ser un orden parcial : no podemos comparar todos los pares de conjuntos posibles. Sin embargo, cuando podemos comparar dos conjuntos, coincide con nuestra definición normal de conjuntos para conjuntos finitos y aún puede ser útil.
La razón por la cual la cardinalidad es la generalización predeterminada del tamaño es que se aplica a cualquier tipo de conjunto y nos permite comparar dos conjuntos. Sin embargo, no estamos hablando de ningún conjunto aquí: estamos hablando de conjuntos de números . Y los números tienen mucha estructura adicional que podemos explotar.
Un enfoque interesante en esta dirección es la densidad natural . En términos generales, la idea es definir el tamaño de un subconjunto de [math] \ mathbb {N} [/ math] en función de lo cerca que están sus valores a medida que se hacen más y más grandes. Wikipedia define la densidad natural [matemática] \ alpha [/ matemática] de algún conjunto [matemática] A [/ matemática] como
… La proporción de elementos de A entre todos los números naturales 1..n es asintótica a [matemática] \ alfa [/ matemática] ya que n tiende al infinito.
Hay algunos detalles un poco más técnicos que se abordan cuando se define esto, pero esto hace que la idea central se transmita maravillosamente.
Este enfoque nos da resultados útiles, pero solo se aplica a subconjuntos de números naturales, ¡y ni siquiera a todos los subconjuntos! No podemos calcular la densidad de todos los subconjuntos posibles de esta manera. Y siempre es 0 para subconjuntos finitos.
Podemos empapelar esa última parte diciendo que un conjunto finito siempre es más pequeño que un conjunto infinito, y comparando conjuntos finitos contando sus elementos.
También hay otras métricas para diferentes tipos de conjuntos. Una interesante para leer es comparar conjuntos por tipo de orden que solo requiere que los conjuntos estén bien ordenados .
El punto es que las definiciones de “tamaño” para conjuntos infinitos pueden variar según exactamente lo que le importa y cómo lo generalice. Los números pares tienen el mismo tamaño que todos los números naturales en uno de estos, que resulta ser el más general, pero no en otros.
mientras que los números pares se ven así: 
Ahora, si puede encontrar una manera de hacer coincidir estas dos colecciones, entonces deberían ser efectivamente “lo mismo” y, por lo tanto, deberían tener la misma cardinalidad.