¿Por qué es [math] 0.999 \ ldots [/ math] igual a [math] 1 [/ math]?

Answer 1

Ha habido varios comentaristas que, pensando que están siendo pedantes, insisten en que “[matemáticas] 0.9999 \ ldots [/ matemáticas] se acerca a [matemáticas] 1 [/ matemáticas]” en lugar de “[matemáticas] 0.9999 \ ldots = 1 [/ matemáticas]”. Pero tales comentarios se basan en una comprensión errónea de lo que significa la notación decimal infinita.

Hay una secuencia de aproximaciones truncadas a [matemáticas] 0.9999 \ ldots [/ matemáticas]:
[matemáticas] x_0 = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1 = 0.9 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_2 = 0,99 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_3 = 0.999 [/ matemáticas]
[matemáticas] x_4 = 0.9999 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ vdots [/ matemáticas]
y es correcto escribir que esta secuencia [matemáticas] \ {x_n \} [/ matemáticas] se aproxima a [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. En notación matemática, escribimos
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} x_n = 1 [/ matemáticas].
Esta ecuación se justifica por la definición formal de límite: por cada [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática], no importa cuán pequeña sea, podemos elegir [matemática] N = \ bigl \ lfloor \ log_ {10} \ tfrac1 \ epsilon \ bigr \ rfloor [/ math], y para todos [math] n> N [/ math], tenemos [math] \ lvert x_n – 1 \ rvert <\ epsilon [/ math].

De hecho, sería una tontería escribir que la secuencia [matemática] \ {x_n \} [/ matemática] es igual a [matemática] 1 [/ matemática]: una secuencia no puede ser igual a una constante. La secuencia [matemática] \ {x_n \} [/ matemática] ni siquiera alcanza [matemática] 1 [/ matemática]: cada miembro individual de la secuencia es una aproximación truncada que no llega a [matemática] 1 [/ matemática]. Sí, una secuencia puede acercarse a su límite sin llegar al límite.

Pero aquí está lo importante. La notación [matemática] 0.9999 \ ldots [/ matemática] (a veces escrita [matemática] 0. \ overline9 [/ matemática]) no representa la secuencia [matemática] \ {x_n \} [/ matemática]. Tampoco representa ningún número que alcance la secuencia. La notación [math] 0.9999 \ ldots [/ math] representa el límite [math] \ textstyle \ lim_ {n \ to \ infty} x_n [/ math].

[matemática] 0.9999 \ ldots [/ matemática] es un solo número constante. No es una secuencia o proceso; la convergencia a un límite ya ha sucedido, y es el resultado. Escribir que una constante se aproxima a una constante (“[matemáticas] 0.9999 \ ldots [/ matemáticas] se acerca a 1”) tiene el mismo sentido que escribir que una secuencia es igual a una constante.

Mostramos anteriormente que [matemáticas] \ textstyle \ lim_ {n \ to \ infty} x_n = 1 [/ matemáticas], por lo que escribir [matemáticas] 0.9999 \ ldots = 1 [/ matemáticas] está completamente justificado .

(Técnicamente, hemos hecho uso implícito del teorema de que una secuencia no puede tener dos límites diferentes. La prueba es que si hubiera dos límites [matemática] L_1 \ ne L_2 [/ matemática], entonces para [matemática] \ epsilon = \ tfrac {\ lvert L_1 – L_2 \ rvert} {2} [/ math] y suficientemente grande [math] n [/ math], tendríamos [math] \ epsilon + \ epsilon> \ lvert x_n – L_1 \ rvert + \ lvert x_n – L_2 \ rvert \ ge \ lvert L_1 – L_2 \ rvert = 2 \ epsilon [/ math], lo cual es una contradicción).

Answer 2

Creo que la respuesta de Carbon Zhu está en el dinero y la respuesta de Michael Hochster básicamente dice lo que voy a decir de una manera mucho más compacta e inteligente.

Editar: escribí esta respuesta en respuesta a una pregunta ligeramente diferente que fue redirigida. En esta pregunta actual, recomiendo también la respuesta de Sridhar Ramesh.

Es cierto que podemos “probar” .999 … = 1 utilizando trucos algebraicos, pero la mayoría de las personas que dudan de .999 … = 1 no tienen suficientes antecedentes para saber si esos trucos son correctos. Un joven estudiante tiene todo el derecho de cuestionar algo como 10 * 0.999 … = 9.999 … como injustificado basado en las matemáticas que ya entienden.

En su lugar, pregunte: “¿Qué se entiende por infinitas y repetidas nueves?” Seguramente, no significa que se supone que debemos escribir “9” infinitamente muchas veces. Eso es imposible.

La respuesta es sutil; de hecho, a los matemáticos les llevó mucho tiempo encontrar una definición sólida de lo que es algo como .999 … medio.

.999 … es un límite matemático. Hablando libremente, es
[matemáticas] .9 + .09 + .009 +… [/ matemáticas]
Pero esto todavía nos deja preguntándonos qué significan los puntos.

Observando que podemos escribir lo anterior como
[matemáticas] .9 + \ frac {.9} {10} + \ frac {.9} {10 ^ 2} +… [/ matemáticas]
podemos escribir .999 … rigurosamente como
[matemáticas] .999… = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ n \ frac {.9} {10 ^ k} [/ matemáticas]

El límite tiene un significado matemático definido.
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} f (n) = L [/ matemáticas]
se lee como “el límite de [matemática] f [/ matemática] como [matemática] n [/ matemática] va al infinito es [matemática] L [/ matemática]”. No significa que [matemáticas] n [/ matemáticas] es infinito, o se convierte en infinito, ya que el infinito no es un número. Tampoco significa que [math] f (n) [/ math] sea siempre igual a [math] L [/ math]. (Eso puede o no ser cierto). Lo que significa es que al elegir un valor mínimo para [math] n [/ math] que sea lo suficientemente grande, podemos obtener [math] f (n) [/ math] lo más cerca posible como queremos [matemáticas] L [/ matemáticas].

Por ejemplo,
[matemáticas] 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +… = 2 [/ matemáticas]
como puedes convencerte a ti mismo. Matemáticamente, escribimos esto como
[matemáticas] \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ n \ left (\ frac {1} {2} \ right) ^ n = 2 [/ math]
Supongamos que alguien viene y dice: “eso no está bien. El límite no es en realidad 2. Es algo un poco menos”. Luego dices, “está bien, ¿cuánto menos?”

Ellos replican: “bueno, no estoy seguro, pero el límite real es menos de dos por al menos uno por mil millones, por lo que esa suma eventualmente se desvía permanentemente a más de .000000001 de dos” Puede demostrar que están equivocados diciendo: “No, eso no está bien. Si mi suma contiene al menos 30 términos, su distancia de dos definitivamente será menor a la milmillonésima parte”. (Siempre que lo demuestres, lo que puedes hacer).

Entonces tal vez lo intenten una billonésima parte, pero siempre y cuando llegues a 40 términos, también estás bien para eso. No importa cuán pequeña sea la ventana que le dan alrededor de 2, siempre puede encontrar un cierto número de términos para que la suma se ajuste en esa ventana de ahí en adelante.

Esto es lo que se entiende por límite; para cualquier ventana pequeña (pero que no sea cero) alrededor del límite, puede encontrar un cierto número de términos de la serie de modo que después de ese punto, permanezca dentro de la ventana. Esta serie en particular nunca llega a ser igual al límite, no importa cuántos términos agregue, nunca llega a 2 exactamente, pero eso simplemente no es requerido por la definición de un límite.

Esto puede sonar como una definición dudosa, y casi con seguridad es confusa si no la ha escuchado antes. Sin embargo, resulta ser una buena definición. Todo el campo de análisis se construye a su alrededor (quizás con cierta exageración). Puede consultar el artículo de Wikipedia sobre esta definición de límite aquí: http://en.wikipedia.org/wiki/(%C …

Entonces volvemos a la declaración
[matemáticas] .999… = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ n \ frac {.9} {10 ^ k} [/ matemáticas]
Ahora sabemos lo que significa. Conjeturamos que es igual a 1.
[matemáticas] .999… = \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ n \ frac {.9} {10 ^ k} = 1 [/ matemáticas]
Para demostrarlo, primero evaluamos la suma explícitamente en términos de [math] n [/ math]. Esto viene a [matemáticas] 1 – 10 ^ {- (n + 1)} [/ matemáticas], que puedes probar usando inducción.
Para probar que el límite es 1, debemos suponer que hay una ventana alrededor de 1 con un tamaño arbitrario [math] \ epsilon [/ math]. Si llevamos a cabo suficientes términos que [matemáticas] 10 ^ {- (n + 1)} <\ epsilon [/ matemáticas], estaremos dentro de nuestra ventana. Esto siempre es posible, por lo que el límite es de hecho 1. Además, el límite no es ningún otro número, porque un teorema general nos dice que los límites son únicos.

Eso es lo que queremos decir cuando decimos
[matemáticas] .999 \ ldots = 1 [/ matemáticas]

Answer 3

Convencer a las personas de que 0.999 … y 1 son idénticos es un ejercicio interesante de pedagogía: muchas de las pruebas sugeridas aquí, aunque lógicamente son correctas, producen frustración cuando el oyente no logra conciliar la prueba con sus preconcepciones sobre decimales e infinitesimales. En mi opinión, las mejores explicaciones describen tanto la esencia de la paradoja ( que hay una diferencia entre la notación y la cosa que se está notando ) como sus detalles ( lo que realmente significa la notación decimal ). El primero es más fácil de explicar que el segundo.

Para obtener un resumen interesante de algunas de las investigaciones sobre la enseñanza de esta paradoja, consulte ¿0.999 … realmente igual a 1? del educador de matemáticas.

Prueba de magia negra

Probablemente la prueba más común proporcionada es la manipulación algebraica simple:

0.333… = 1/3
0.999… = 3 × 1/3 = 1

A pesar de su simplicidad, esto es insatisfactorio para muchas personas: parece una de esas pruebas de truco de que 1 = 0. Los oyentes más inteligentes pueden cuestionar explícitamente si la manipulación algebraica anterior es válida o si es un ‘truco’; alternativamente, pueden cuestionar si 0.333 … es realmente igual a 1/3. Sin una mejor explicación de los decimales, tienen que tomar la respuesta en confianza; y porque la prueba no proporciona una intuición de por qué 0.999 … y 1 son idénticos, eso no es muy satisfactorio.

El punto clave

Explicar la esencia de la paradoja implica resaltar la diferencia entre la notación y la cosa que se anota. Esto se puede hacer con analogías con otros escenarios más familiares donde hay más de una forma de escribir el mismo número. Por ejemplo:

1. Enteros La mayoría de los enteros se pueden escribir de una sola manera: por ejemplo, 4 representa ‘cuatro’, -1 representa ‘uno negativo’. Sin embargo, los enteros 0 y -0 son dos representaciones del mismo número, ‘cero’. Cualquier sentimiento débil de que -0 es “un poco más pequeño” que 0 suele anularse por la intuición más fuerte de que “no te debo nada” es exactamente lo mismo que “no me debes nada”.
2. Racionales Todos los números racionales se pueden escribir de varias maneras: por ejemplo, las fracciones 1/2 y 2/4 son dos representaciones de la misma proporción, ‘mitad’. De nuevo, puede haber una sensación débil de que 1/2 y 2/4 representan diferentes ‘situaciones’, pero es fácil persuadir a los oyentes de que 1/2 y 2/4 son lo mismo: “medio pastel” es la misma cantidad de pastel como “dos cuartos de un pastel” o “un cuarto de dos pasteles”. Esto es particularmente convincente con pastel real.

La esencia de por qué 0.999 … y 1 se comportan igual cuando los divide por 3, por ejemplo, es que, al igual que -0 y 0, son solo dos formas diferentes de escribir el mismo número, ‘uno’. Una de estas formas es más clara (al igual que cero generalmente se escribe 0, no -0, y la mitad generalmente se escribe 1/2, no 2/4) pero ninguna es más precisa (así como 2/4 es tanto ‘mitad’ como 1/2).

Comprender por qué hay dos formas de representar el número ‘uno’ requiere comprender infinitos decimales.

Decimales infinitos

A las personas se les enseña a usar decimales infinitos en la escuela, pero rara vez entienden lo que significan. Por lo tanto, es natural pensar en ellos simplemente como una secuencia de dígitos, o el resultado de un cálculo mecánico, en lugar de una representación de un número real. Ese último punto de vista es esencial, ya que cualquiera de los otros dos hace ‘obvio’ que 0.999 … y 1 son diferentes.

Un buen punto de partida es considerar la fracción 1/3. Es fácil entender por qué 1/3 no puede ser representado por una fracción decimal precisa, y muestra que 0.3, 0.33, 0.333, etc. son estimaciones cada vez más buenas para ello (por ejemplo, usando la división larga). Sin embargo, introducir 0.333 … como abreviatura para estas estimaciones no es suficiente. ¿Qué significa decir que 0.333 … es 1/3? Después de todo, ninguna de las estimaciones es precisamente 1/3; de hecho, todos son estrictamente menos que eso. El punto es que las estimaciones no solo se acercan cada vez más a 1/3, sino que se acercan arbitrariamente . Decir que 0.333 … es 1/3 es simplemente decir eso.

Tenga en cuenta que con esta definición 0.333 … no puede referirse a ningún número que no sea ​​1/3 ya que también tendría que acercarse arbitrariamente a eso. Si hubo alguna brecha entre ese número y 1/3, entonces esto es claramente imposible. Si no hay espacio, ¿qué significa decir que el número y 1/3 son diferentes?

Otro buen ejemplo es la paradoja de la dicotomía de Zenón: para cubrir cualquier distancia, primero debe cubrir la mitad de la distancia. Por lo tanto, para cubrir una distancia de 1, primero debe cubrir uno de 1/2, luego con el mismo razonamiento de 1/4, luego 1/8, y así sucesivamente. La secuencia de distancias cubiertas es 1/2, 3/4, 7/8, etc. Nuevamente, todas estas distancias son estrictamente menores que 1, pero la secuencia se acerca de manera arbitraria. Debido a la presentación física de la paradoja, las personas a veces son más receptivas a la idea de que “al final” se cubre toda la distancia.

La misma lógica es válida para 0.999 … y 1. La secuencia 0.9, 0.99, 0.999, etc. se acerca arbitrariamente a 1. De manera trivial, la secuencia 1.0, 1.00, 1.000, etc. El hecho de que una de las secuencias siempre es menor que una mientras que el otro siempre es igual, en realidad no importa. Tampoco el hecho de que 0.999 … tenga muchos 9s. Es simplemente el resultado accidental del significado de la notación decimal infinita: dos caminos diferentes que llegan al mismo destino.