¿Cómo se explica el número imaginario [matemáticas] i [/ matemáticas] a un laico?

Answer 1

Creo que Steven Strogatz hizo un excelente trabajo explicando números imaginarios en su columna NYT Finding your roots : http: //opinionator.blogs.nytimes…

Comienza diciendo : “Durante más de 2.500 años, los matemáticos han estado obsesionados con la resolución de x. La historia de su lucha por encontrar las” raíces “, las soluciones, de ecuaciones cada vez más complicadas es una de las grandes epopeyas de la historia de pensamiento humano. Y, sin embargo, a pesar de todo, ha habido una cosa irritante y molesta que no desaparecerá: las soluciones a menudo involucran raíces cuadradas de números negativos … Hasta la década de 1700, los matemáticos creían que las raíces cuadradas de números negativos simplemente no podía existir … Así como restar números más grandes de los más pequeños dio lugar a fracciones y decimales engendrados negativos y de división, el uso de rueda libre de las raíces cuadradas eventualmente obligó al universo de números a expandirse … nuevamente “.

Luego continúa definiendo i : “La raíz cuadrada de –1 todavía se conoce con el nombre de i , esta letra escarlata sirve como un recordatorio constante de su estado” imaginario “… Es cierto que no puedo encontrarme en ningún lugar del número En ese sentido, es mucho más extraño que cero, números negativos, fracciones o incluso números irracionales, todo lo cual, por extraño que sea, todavía tiene su lugar en la fila. Pero con suficiente imaginación, nuestras mentes también pueden hacer espacio para mí. Vive de la recta numérica, en ángulo recto, en su propio eje imaginario. Y cuando fusionas ese eje imaginario con la recta numérica “real” ordinaria, creas un espacio 2D, un plano, donde un nuevo Especies de números vivos.
Estos son los “números complejos”. Aquí complejo no significa complicado; significa que dos tipos de números, reales e imaginarios, se han unido para formar un complejo, un número híbrido como 2 + 3 i “.

También tiene una hermosa conclusión : “Los números complejos son magníficos, el pináculo de los sistemas numéricos … son el final de la búsqueda, el Santo Grial. Son la culminación del viaje que comenzó con 1 … Algunos amigos imaginarios que nunca superas “.

Answer 2

Hay una larga historia de personas que consideran que los números son imaginarios. Los griegos y los romanos no consideraban que cero fuera un número. La lógica parecía correcta en ese momento: claramente no puede existir nada.

En mi clase de séptimo grado, mi maestra le dijo a la clase que los números negativos no existen. Ella nos dijo que aprendiéramos a manipularlos como si lo hicieran, aunque no lo hicieron. Estoy convencido de que en ese momento, al menos la mitad de la clase decidió que las matemáticas eran demasiado abstractas, demasiado difíciles, y su educación en matemáticas se detuvo.

Los primeros griegos también pensaban que todos los números podían expresarse como razones de enteros. Luego demostraron que había más números que números enteros, como √2. Los llamaron “irracionales” ya que, para las matemáticas anteriores, no tenían sentido.

Más tarde, los matemáticos descubrieron que había números que eran aún más sorprendentes, como π. Fueron llamados trascendentales, como en la meditación trascendental.

Entonces, la historia de las matemáticas contiene la creciente comprensión de que los números que se creían que no existían, realmente existen. Por supuesto, todos los números existen solo en nuestras mentes; Son abstracciones. Una manzana existe en el mundo real; pero el número uno es solo una abstracción.

¿Qué pasa con √-1? Al igual que 0, números negativos, √2, π, es un número válido que no se puede expresar en términos de los números anteriores. Es tan “real” como cualquiera de ellos. Los estudiantes están molestos por el hecho de que a estos números se les dio el nombre de “imaginario”. No son más imaginarios que el número 0. No son más imaginarios que la afirmación de que √2 es “irracional”. Los matemáticos (debido a su falta de imaginación) roban palabras comunes (como irracionales e imaginarias) y luego las usan para sus propios fines. √-1 puede ser “imaginario” pero no en el sentido de fantasía o ficción. Es la misma palabra que se usa de manera diferente.

Answer 3

Puedes terminar yendo en círculos si intentas explicar qué es un objeto matemático. A menudo es más fácil explicar lo que hace . Los números pueden contar cosas, pero eso no es todo lo que pueden hacer. En particular, los números imaginarios hacen algo diferente.

Una forma de entender lo que hacen los números (además de contar cosas) es que aumentan las cosas. Esta no es la única forma de entender lo que hacen, pero es una buena forma de entender los números imaginarios. Esto es lo que hace el número 2.

Si aplica “2” a una imagen, amplía en un factor de 2. El número 1/2 hace lo contrario: reduce la imagen en un factor de dos.

También puedes entender las raíces cuadradas de esta manera. Esto es lo que hace el número [math] \ sqrt {2} [/ math]. Lo he mostrado dos veces seguidas.

Lo que la convierte en la raíz cuadrada de dos es que si lo haces dos veces, el resultado es el mismo que hacer “2” una vez.

¿Qué pasa con los números negativos? ¿Qué hace -1? Bueno, debería mover el punto (x, y) en la imagen al punto (-x, -y). Entonces voltea toda la imagen. Esto es lo que hace -1.

Ahora intentemos juntar todo esto. ¿Qué debe hacer [math] \ sqrt {-1} [/ math]? Haga lo que haga, será mejor que sea cierto que si lo hago dos veces, es lo mismo que hacer -1. Si piensa un poco, encontrará una posible solución.

Eso es lo que hace [math] i [/ math]. Gira las imágenes un cuarto de vuelta (por convención, gira en sentido contrario a las agujas del reloj, y [math] -i [/ math] gira en el sentido de las agujas del reloj, pero podría haberse definido con la misma facilidad en sentido contrario).

Los números imaginarios (y una generalización de ellos, los cuaterniones) son objetos esenciales en los gráficos, porque pueden usarse para codificar rotaciones de una imagen. Si los considera “formas de alterar una imagen”, no se sienten tan abstractos como si tratara de considerarlos como “números” en el sentido habitual.

Si el lego en cuestión sabe un poco acerca de las matrices, señalaría que puede hacer todo esto matemáticamente preciso definiendo un número complejo como una matriz de 2 por 2 (con entradas de números reales) de la forma [matemáticas] \ left (\ begin {array} {cc} a & -b \\ b & a \ end {array} \ right) [/ math], que corresponde a la notación habitual [math] a + bi [/ math]. La multiplicación de números complejos es la multiplicación de matrices. Entonces, las transformaciones que se muestran arriba son solo las transformaciones lineales del plano definido por estas matrices.