¿Por qué se enseñan números complejos en álgebra de secundaria? Soy estudiante de matemáticas, así que supongo que los volveré a ver en algún momento, pero ¿por qué nos molestamos en enseñar un concepto que el 90% de las personas nunca usarán?

Answer 1

Aquí hay dos preguntas: ¿qué deberíamos incluir en el programa general de estudios secundarios y por qué son útiles los números complejos?

Hablaré sobre por qué son útiles primero. Como nota al margen, recuerdo claramente que me enseñaron sobre números imaginarios en la escuela secundaria (15/16), en el Reino Unido. En primer lugar, mi maestro realmente no sabía por qué eran útiles y tienen el desafortunado nombre de imaginario que los hace sonar particularmente esotéricos y abstractos. Como era de esperar, recuerdo que muchas personas se sienten fuertemente opuestas a que se les enseñe sobre ellas.

Defensa de su valor
En primer lugar, los números imaginarios tienen una realización física: impedancia eléctrica, por lo que, aunque no puede obtenerlos contando con los dedos o midiendo con la regla, no son puramente imaginarios. Es un mal nombre.

En segundo lugar, los números complejos son un campo cerrado algebraicamente. Si está tratando de encontrar la raíz de un polinomio, que es algo esencial de la ingeniería, las matemáticas y la física, y es ciertamente útil en muchas otras disciplinas científicas, se encontrará con ellas, le guste o no. . Tomaste una clase sobre matrices, en realidad es bastante difícil no obtener números complejos cuando tomas la descomposición propia de una matriz general.

En tercer lugar, entran en juego de muchas maneras extrañas y maravillosas. Sé principalmente de áreas dentro de CS y Estadísticas. Raíz de la unidad, se utilizan dentro de uno de los algoritmos más ubicuos y valiosos, la rápida transformación de Fourier. El teorema del límite central, uno de los resultados más importantes en estadística, depende en gran medida de números complejos para su respaldo teórico (es decir, funciones características). En física cuántica, son absolutamente esenciales, ya que necesitamos preservar tanto el impulso como la dirección del impulso de una onda cuántica, [vea Por qué los números complejos son fundamentales en la física].

Discusión del programa de estudios
Definitivamente estoy de acuerdo en que un programa de estudios debe preparar a las personas para el mundo real, debe ser relevante y accesible.

La educación es lo que queda después de que uno ha olvidado todo lo que aprendió en la escuela.

Albert Einstein

Si intenta hacer que el plan de estudios sea demasiado práctico, puede ser poco inspirador, poco atractivo y condescendiente. Mi educación obligatoria de TI = Tecnología de la Información hasta la edad de 16 años, consistía en temas banales como cómo usar MS Word. Cómo usar MS Access. Cómo usar MS powerpoint. Mucha gente usa esas piezas de software, por lo que obviamente se consideró útil. Pero fue poco inspirador y poco atractivo para casi todos.

En mi opinión, el plan de estudios hasta la escuela secundaria debe cubrir todas las pragmáticas de un tema que alguien puede necesitar en la vida cotidiana, para crear ciudadanos redondeados y educados. Luego, debe incluir fragmentos de temas interesantes que pueden (o no) enganchar a las personas, y darse cuenta de que les gustaría estudiar más el tema en un nivel superior, universitario o de otro tipo. En mi opinión, los números complejos son una sabrosa pieza matemática del tamaño de un bocado.

PD. Como epílogo; Supongo que la razón por la que no ha encontrado números complejos en la universidad, particularmente en su clase de matrices, es porque sus profesores han diseñado a propósito el curso para evitarlos. P.ej. ‘Solo consideremos la descomposición propia de matrices simétricas reales’. En todo caso, lo veo como una omisión no natural de contenido, probablemente porque muchos estudiantes se sienten incómodos al manipularlos, y esto refuerza por qué deberían enseñarse.

Answer 2

He estudiado geometría, 3 clases de cálculo, matrices, etc., y no he visto [números imaginarios] desde noveno grado.

Eso es difícil de creer; quien enseña sus clases de cálculo y álgebra lineal no está haciendo un muy buen trabajo. (Es cierto que esto puede ser culpa de quien establece el plan de estudios y no de la persona que realmente enseña la clase).

Si no ha usado números imaginarios, no puede saber mucho sobre matrices que no sean cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales. Si comienza con una matriz real, los valores propios son, en general, números complejos, lo que significa que aún no conoce los valores propios y los vectores propios, lo que significa que realmente no sabe nada. El álgebra lineal simplemente no funciona muy bien en un campo no cerrado algebraicamente como los reales; si realmente desea trabajar sobre los reales, primero debe trabajar sobre los números complejos y luego regresar y ver qué rompió al no permitir que los polinomios tengan los números correctos de raíces. No es un proceso bonito.

(Y eso es solo en términos de hacer cálculos en una matriz fija. Lo que realmente quieres hacer es probar teoremas generales sobre todas las matrices, lo que sería esencialmente imposible si te obligaras a usar solo números reales).

En el cálculo, los números complejos nos muestran (entre otras cosas) que las funciones exponenciales y trigonométricas son lo mismo, lo que nos permite hacer cosas como las transformadas de Fourier. Sin las transformadas de Fourier, no tiene audio y video digital, no tiene imágenes médicas y no tiene microscopía electrónica. Pero eso es incluso poner el carro delante del caballo; sin la transformación de Fourier no entiendes el flujo de calor, por lo que probablemente pierdas una fracción sustancial de los últimos siglos de ingeniería.

Para el caso, solo piensa en tratar de tomar una integral como

[matemáticas] \ int \ frac {1} {1 + x ^ 2} \, dx [/ matemáticas]

Tendrías que dibujar y hacer trigonometría para resolverlo si querías quedarte por encima de los reales, pero sobre los números complejos puedes hacerlo sin pensar por fracciones parciales:

[matemáticas] \ int \ frac {1} {1 + x ^ 2} \, dx = \ frac {i} {2} \ int \ frac {1} {x + i} – \ frac {1} {x – i} \, dx [/ math]

[matemáticas] = \ frac {i} {2} [\ log (x + i) – \ log (x – i)] + C [/ matemáticas]

La combinación de la teoría básica de las matrices con el hecho de que [matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) [/ matemáticas] da la teoría de ecuaciones diferenciales lineales, que es donde La gran mayoría de las aplicaciones de las matemáticas en el mundo real viven. (Si no fuera por esto, probablemente no nos molestaríamos en enseñar álgebra lineal o trigonometría en la escuela).

Pero, por supuesto, todo esto justifica las cosas mediante aplicaciones del mundo real, que es la forma incorrecta de hacer las cosas. Cuando se descubrieron números complejos, las personas no intentaban idear aplicaciones del mundo real, intentaban comprender las raíces de una ecuación cúbica. La matemática no es un área de ingeniería, y no pretende ser útil; Cualquier conexión con el mundo real que termine apareciendo es solo un efecto secundario molesto. Se necesitan números complejos (y campos algebraicamente cerrados en general) porque aportan una hermosa simetría y unidad a las matemáticas en lugar de una mezcolanza de casos especiales que serían casi imposibles de desarrollar.

Answer 3

Así que personalmente siento que sería un delito robarles a los estudiantes de secundaria algún tipo de encuentro con la belleza de los números complejos. Es cierto que la forma en que la mayoría de los estudiantes de secundaria aprenden acerca de los números complejos probablemente no refleja su verdadera belleza, es decir, la geometría que viene con ellos.

De hecho, estoy enseñando una clase en el programa Spark de MIT ESP este fin de semana para estudiantes de secundaria sobre exactamente este tema: la geometría de números complejos. Me gustaría ampliar esta respuesta para que sea más o menos una transcripción de esa clase, pero lamentablemente, no tengo tiempo en este momento. Entonces tendré que resumir.

Propongo que comencemos por no hablar de números complejos en absoluto, ¡o incluso de números! Quiero hablar sobre flechas y cómo tratarlas si pretendemos que son números.

Más específicamente, digamos que tenemos una flecha con cierta longitud y cierta dirección, así (digamos que es , para flecha en negrita, así sabemos que no es un número):
¿Qué pasa si preguntamos qué es [matemáticas] 5 \ veces a [/ matemáticas]?
Bueno, parece intuitivo tener sentido que [matemática] 5 \ veces una [/ matemática] debería ser solo una flecha en la misma dirección que una pero cinco veces más larga. Si interpretamos la flecha como una instrucción para moverse del punto inicial al punto final, cinco veces la flecha debería ir en la misma dirección pero cinco veces más lejos. Entonces 5 a se parece a esto:
(ignore el grosor adicional, se supone que son direcciones y longitudes).

Muy bien, genial, así que sabemos lo que significa multiplicar flechas por números reales. Bueno, los positivos, de todos modos. ¿Cómo debería ser [math] -1 \ times a = – a [/ math]? Bueno, piense de nuevo intuitivamente en términos de instrucciones para caminar de principio a fin. Si vamos “negativo a” es como ir de principio a fin en lugar de comenzar a terminar. Solo muévete a lo largo de la dirección de a por su longitud pero retrocede . Entonces, ahora sabemos lo que significa multiplicar las flechas por números reales.

A continuación, ¿qué significa agregar dos flechas? Bueno, si agregamos un a sí mismo, deberíamos obtener [math] a + a = 2 a [/ math]. Entonces, la idea es que a + a representa las instrucciones para moverse primero a lo largo de ay luego volver a hacerlo. Podemos generalizar esto para trabajar con dos flechas diferentes a y b simplemente interpretando a + b para representar el movimiento a lo largo de a y luego el movimiento a lo largo de b . Simplemente coloque la punta de la primera flecha en la cola de la segunda flecha y muévase desde la cola de la primera hasta la punta de la segunda. (lo siento, no tengo los recursos para hacer una foto de esto en este momento)

¿Cómo se relaciona esto con los números complejos? Bueno, los números complejos se pueden considerar como flechas, específicamente como puntos en el “plano complejo” (el eje x es números reales y el eje es números imaginarios) donde las flechas van desde el origen hasta el punto en cuestión. Sin embargo, las reglas que hemos elaborado hasta ahora se aplican igualmente bien a cualquier objeto que se pueda representar en un plano. Pero los números complejos tienen más carácter que eso. ¡También puedes multiplicarlos juntos! Eso no es algo que tenga tanto sentido intuitivo para las flechas. Resulta que la regla para multiplicar números complejos juntos cuando se piensa de esta manera es multiplicar las longitudes y sumar los ángulos . La aplicación de esta interpretación a las flechas crea unas matemáticas increíblemente ricas y hermosas, que se pueden representar geométricamente.

Para leer más sobre el tema, mire el Capítulo 3 de la página de James Nearing en miami.edu o el maravilloso libro de Tristan Needham, Visual Complex Analysis.

Answer 4

Los números imaginarios son extremadamente utilizados en todo lo relacionado con la ciencia y la ingeniería. Cualquier problema de ingeniería eléctrica no trivial los va a utilizar, por ejemplo. Si estás en la universidad y tienes un maestro de matemáticas que no muestra que quieres números imaginarios, entonces necesitas un mejor maestro.

Aquí está el mundo real …

Si no enseñas números imaginarios en la escuela secundaria, entonces esa persona estará fuera de la carrera para la mayoría de los trabajos que involucran ciencia e ingeniería. Es importante capacitar a las personas en ciencia e ingeniería porque esos campos son esenciales para el crecimiento económico. Si capacita a 10 millones de ingenieros eléctricos o físicos, eventualmente descubrirán cómo usar esa capacitación para generar crecimiento económico. Si solo capacita a 10 millones de abogados, se demandarán entre sí y no obtendrá un crecimiento real.

Aquí hay más mundo real …

Sí, es posible que la mayoría de los estudiantes universitarios no requieran el uso de números imaginarios, pero solo hable con alguien que se haya graduado con una licenciatura en literatura francesa y vea cómo le está yendo para encontrar un trabajo. Ahora pregunte a alguien que tenga una especialización que requiera números imaginarios (por ejemplo, una licenciatura en ingeniería eléctrica) y pregúntele cómo es ese mercado.

Aquí hay aún más mundo real …

Todos los trabajos que no involucran habilidades técnicas han sido o pronto serán enviados a China o India. Los únicos trabajos que tienen alguna posibilidad de permanecer en los EE. UU. Son trabajos de alto valor que involucran habilidades tecnológicas porque a China e India les tomará algunas décadas ponerse al día en las áreas de alta tecnología. Si no aprendes matemáticas, te enfrentarás a una mesa de espera de vida.

Y si eso no es suficiente ……

Es probable que su generación considere que el mercado laboral es el peor que ha enfrentado cualquier generación desde la década de 1940. Mi generación arruinó la economía mundial, y tu generación tendrá que encontrar alguna forma de solucionarlo. Tengo mi trabajo y parece que en unos años obtendré mi pensión. Ustedes están jodidos de verdad.

Tal vez en la antigua economía, el 90% de las personas no tenían que usar números imaginarios, pero esa economía explotó y vamos a tener que decidir qué hacer a continuación. Ahora, soy parte de la generación que destruyó el mundo, pero si quieres mi opinión, no obtendrás ningún tipo de crecimiento económico a menos que tengas una población experta en tecnología.

Sí, enfrentémonos al mundo real …

Answer 5

Bien, intentaré esto.
(1) La invención de números complejos evolucionó del deseo de resolver ecuaciones polinómicas. Le permiten establecer un hermoso teorema que dice que cada ecuación polinómica de coeficiente real de grado n tiene n raíces complejas. Sin el uso de la palabra “complejo”, lo mejor que se puede afirmar es que “cada ecuación polinomial de degreen no tiene más de n raíces y en el caso de que haya menos de n, realmente no hay una manera uniforme de predecir cuántas hay estarán.”
(2) la multiplicación por sqrt (-1) es una manera simple de representar una dirección en el sentido de las agujas del reloj de 90 grados. Por lo tanto, los números complejos proporcionan un caso “ajustado” donde la geometría se puede hacer explícitamente mediante el uso de números.
(3) El reconocimiento de que existen otros sistemas numéricos mejores que el sistema numérico real representa un gran paso adelante en el pensamiento (históricamente) similar al reconocimiento de que la geometría euclidiana no es la ÚNICA geometría imaginable.

Answer 6

En mi opinión, (sin la carga de la experiencia reciente), la razón por la que se enseñan los números imaginarios en la escuela secundaria es que requieren que expandas tu forma de pensar sobre el mundo, sin embargo, son lo suficientemente fáciles de manejar desde el punto de vista lógico y computacional para un estudiante típico de secundaria . Todo lo que tienen que hacer es multiplicar -1 y tal vez entender un gráfico simple. Por lo tanto, refuerza los conceptos que ya conocen, y les da una pequeña muestra de un tema que surge en ingeniería y matemáticas universitarias. Resolver la ecuación cuadrática es importante en la escuela secundaria, por lo que esto también refuerza ese concepto.

Answer 7

Debido a que el álgebra se enseña en la escuela y se necesitan números imaginarios para “completar” el álgebra; sin ellas, algunas ecuaciones no tienen soluciones, lo cual, no sé, es desordenado .

Sobre esta actitud de “por qué tenemos que aprender algo que nunca vamos a usar” … la gente siempre dice esto, especialmente con respecto al álgebra, pero esta actitud supone que ningún estudiante crecerá para ser científico o ingeniero.

Todos los ingenieros usan álgebra con frecuencia y muchos ingenieros usan números complejos de manera rutinaria. Los números complejos aparecen en lugares que no esperaría, en EE y en termodinámica, etc.

Answer 8

El sistema de escuela secundaria estadounidense sigue el modelo del sistema universitario de artes liberales. Las artes liberales significan literalmente artes para personas libres, como en cosas que las personas deben saber para estar en condiciones de desempeñar un papel en su propio gobierno. Estas artes se consideran con mayor frecuencia literatura, idiomas, filosofía, historia, matemáticas, psicología y ciencias.

El punto es que, en lugar de pedirles a las personas que se especialicen en el nivel secundario, el sistema estadounidense requiere que los estudiantes tomen una educación amplia con la filosofía de que una educación amplia en las áreas mencionadas preparará mejor a estos estudiantes para ser buenos ciudadanos.

Answer 9

Si se suponía que la escuela secundaria te prepararía para la vida como adulto, entonces te enseñaría a pagar tus impuestos y cambiar una rueda de tu automóvil.

No necesito saber la mayor parte de lo que aprendí en la escuela secundaria. No necesito conocer el soliloquio de Hamlet, la diferencia entre la música barroca y clásica, quién ganó la Guerra de las Rosas o cómo funciona la mitosis. No necesito saber cómo se forman los icebergs, por qué los planetas se mueven en órbitas elípticas o cómo decirte dónde está la estación de tren en alemán. No necesito conocer los cinco pilares del Islam, la fórmula química del metano o quién era Immanuel Kant.

No necesito saber sobre números imaginarios.

Pero mi vida es infinitamente más rica porque me enseñaron todo eso en la escuela y no solo cómo cambiar una rueda y hacer impuestos.

Deja de preocuparte por lo que vas a usar nuevamente, hay mucho más en la vida que eso.

Answer 10

Me saltearé todos los argumentos sobre la utilidad y belleza de los números imaginarios y cortaré lo que veo como el punto más importante …

¿Cómo podemos esperar que los estudiantes de secundaria sepan lo que les interesa si el plan de estudios de la escuela no les da una idea adecuada de cada materia?

¿Qué sucede si aprender sobre números imaginarios es lo que inspira a un estudiante a querer convertirse en matemático?

¿Por qué esconder las cosas de los estudiantes solo porque podrían no usarlas más adelante en la vida?
Eso solo haría que sea más probable que no lo usen, porque limita el conocimiento que necesitan al decidir qué quieren hacer con sus vidas.

Si el propósito de la escuela secundaria, o la escuela en general, es preparar a los estudiantes para la vida, ¿no tiene sentido asegurarse de que sepan lo suficiente sobre sus opciones académicas?

Hacer lo contrario y enseñar solo lo que crees que podrían usar, es como pedirles que elijan una carrera eligiendo lo que está detrás de la cortina # 1, # 2 o # 3.

Los números imaginarios y complejos se enseñan desde el principio, porque son lo suficientemente simples como para que la mayoría de los estudiantes que van a la universidad comprendan en algún lugar alrededor del noveno grado.

Creo que debería haber mucho más material agregado al plan de estudios de matemáticas de la escuela secundaria. Conceptos básicos de álgebra abstracta, teoría de números, teoría de grupos, pruebas, teoría de conjuntos, teoría de grafos, etc. Conceptos simples pero bellos como la Paradoja de Russell y la prueba de diagonalización de Cantor sobre la incontabilidad de los reales, y la Invariante de Dehn debería enseñarse, si es que nada más que inspirar potencialmente a los estudiantes a ver la belleza de las matemáticas e informarles que es una opción de carrera viable.

No estoy hablando de un tratamiento completo de cada uno de estos temas. Solo lo suficiente para provocar e inspirar y dar más información a los estudiantes de secundaria sobre la amplitud de las matemáticas. Estas son todas las cosas que pueden comprender los estudiantes de secundaria que van a la universidad, y es una pena que no estén expuestos a ellas hasta la universidad, e incluso entonces solo a aquellos estudiantes que eligieron la “cortina # 3”.

A menudo escuchamos a la gente decir que la forma en que se enseñan las matemáticas en el nivel secundario hace que parezca aburrido. Una de las formas de hacer que un tema parezca aburrido es solo enseñar lo que crees que la persona promedio usará en la vida posterior, y esconder todas sus hermosas gemas en el armario, para que nunca las vean.

Answer 11

En serio, como un fenómeno generador de fractales en la escuela secundaria, no habría tenido la oportunidad de comprender realmente el algoritmo de conjunto de Mandelbrot sin comprender los números complejos. Me alegra que nos hayan enseñado eso.

[matemáticas] Z = Z ^ 2 + C [/ matemáticas]…. ¡por vida!

Answer 12

Los números complejos tienen mucho uso en ingeniería, al menos eléctrico. No recuerdo haber cubierto números complejos en Álgebra 2, pero eso fue hace 8 años. Si bien nunca comprendí por completo el uso de números complejos (aparte de probar una solución a la raíz (-1)), muchos de mis cursos han consistido en matemáticas complejas. Tomé un libro recientemente llamado Variables complejas y aplicaciones de James Brown y Ruel Churchill , como un medio para aprender más sobre ellos. Tal vez un libro similar podría darle más información si nadie más aquí proporciona una respuesta adecuada.

Answer 13

Tienes razón, los números complejos eventualmente tienen un uso. Pero tiene más razón al preguntar por qué se enseña en absoluto a nivel de secundaria. No debería Necesitas aprender matemáticas, física, química, geografía, historia, idiomas, etc. Eso es parte de la educación básica de todos. La pregunta es hasta qué punto se deben enseñar las matemáticas avanzadas.

Los números complejos, y muchas otras cosas, solo deberían enseñarse a un nivel educativo en el que se complete su comprensión de algo. Los números complejos son indispensables para comprender varios fenómenos físicos del mundo real como solución a las ecuaciones diferenciales. Los números complejos también surgen en muchas otras áreas, pero desde una perspectiva de ingeniería es donde surgen con mayor frecuencia.

En mi opinión, a menos que esté aprendiendo sobre ecuaciones diferenciales y otras aplicaciones prácticas en su nivel de aprendizaje, no debe acercarse a números complejos y en su lugar centrarse en algo más útil, en particular estadísticas y probabilidad, ya que la mayoría de las personas son engañadas con frecuencia estadística.

Necesitamos ver las matemáticas no como un tema en sí mismo, sino más bien como el lenguaje utilizado para diseminar una determinada categoría de ideas; la mayoría de las personas no estudian ingeniería o física ni nada que alguna vez se acerque a ver una aplicación de números complejos.

Incluso el álgebra lineal es algo que la mayoría de las personas usará o comprenderá por qué lo están aprendiendo. Sin embargo, cualquiera que esté haciendo ingeniería asistida por computadora usa álgebra lineal en el fondo de cada software que usa. Sin embargo, hasta que aprenda el uso de estas cosas, aprenderlo a menudo es frustrante y desalentador.

Esos dos, álgebra lineal y números complejos, son las cosas que más odié de mis días de escuela secundaria y fue solo una vez en la Universidad que entendí el punto de aprender eso. Esto debe ser abordado. Enseñe sus aplicaciones o elimínelo del plan de estudios.

Answer 14

Creo que no puedo estar de acuerdo con este punto: “Se supone que la escuela preparatoria debe preparar a las personas para el mundo real y para la universidad”. Este es quizás el papel más importante de la escuela secundaria, pero no el único. Otro objetivo (que también es importante) es producir una persona adulta inteligente y educada. El que tiene conocimientos básicos sobre todos los aspectos principales del estado actual de la humanidad, incluida la ciencia. Números imaginarios, relatividad, mecánica cuántica, cálculo, química, biología, genética y muchos más, todo esto es parte esencial del conocimiento. Sin ella, obtenemos una persona que percibe la ciencia como otra forma de magia. No pueden ver la diferencia entre ciencia y religión, entre un ingeniero y un psíquico. En realidad, podemos ver las preguntas de esas personas aquí en Quora, generalmente van con las líneas de “Si un ateo puede creer en X, ¿por qué no puede creer en Dios?”

Pero supongo que no todas las escuelas secundarias son buenas para enseñar números imaginarios de tal manera que sean comprensibles para todos. Quizás necesiten centrarse más en el lado práctico.

Answer 15

Este gran tema me hace preguntarme sobre temas avanzados en matemáticas, no solo números complejos, para adolescentes o niños.

Me pregunto qué muestra la investigación sobre la enseñanza de lo que se consideran ideas más desafiantes (trigonometría, cálculo, etc.) para los niños más pequeños.

Por ejemplo, un estudiante de 7º grado está aprendiendo números complejos ahora *. ¿Hay algún daño en aprender “fuera de secuencia”, por así decirlo? Obviamente, para la aritmética se podría esperar que una persona aprenda la suma de dos columnas antes de la suma de 3 columnas. Sin embargo, ¿qué pasa con otros temas? Digamos que el niño es REALMENTE bueno en matemáticas; ¿Cuáles son las ventajas y desventajas desde el punto de vista del desarrollo mental de aprender trigonometría o cálculo a, digamos, los 8 años de edad?

* es la clase de séptimo grado de mi hijo en una escuela pequeña. Ella está solo un poco por encima del promedio. y NO un genio de las matemáticas.

Answer 16

XKCD tiene algunas ideas sobre esto. Espero que esto despeje la niebla.

Fuente [xkcd: zumbido]

Answer 17

La verdadera razón, que es prácticamente la única razón que no se discute en este hilo, es porque es un remanente de la pedagogía de Euler. Usted ve, en los libros de texto de matemática de Euler, él, siendo bastante aficionado a sus descubrimientos, utilizó números electrónicos e imaginarios bastante ampliamente en su trigonometría. Sin embargo, la cuestión es que, si bien su trigonometría estaba igualmente inspirada, el trigonometrio de hoy es casi el trigonometraje de Euler, más tarde los maestros descubrieron que realmente no necesitaba que yo hablara de senos, cosenos, etc. (También argumentaría en el nivel de cálculo, ya que es perfectamente posible hacer un cálculo de una sola variable sin necesitarlo nunca). Pero la fuerza del programa analítico de Euler nunca se ha desvanecido realmente de nuestro cálculo previo: también fue responsable de la forma exponencial y las funciones logarítmicas se enseñan, por lo que la discusión aparentemente inútil de i permanece como un vestigio de ello.

Answer 18

Un matemático, como un pintor o un poeta, es un hacedor de patrones. Si sus patrones son más permanentes que los de ellos, es porque están hechos con ideas. Un pintor hace patrones con formas y colores, un poeta con palabras. Una pintura puede encarnar una ‘idea’, pero la idea suele ser común y sin importancia. En poesía, las ideas cuentan mucho más; pero, como insistió Housman, la importancia de las ideas en la poesía se exagera habitualmente: “No puedo asegurarme de que existan ideas poéticas … La poesía no es lo que se dice sino una forma de decirlo”.

No toda el agua en el mar agitado y rudo
Puede lavar el bálsamo de un Rey ungido.

¿Podrían las líneas ser mejores, y podrían las ideas ser a la vez más trilladas y más falsas? La pobreza de las ideas no parece afectar la belleza del patrón verbal. Un matemático, por otro lado, no tiene material para trabajar sino ideas, por lo que es probable que sus patrones duren más, ya que las ideas se desgastan menos con el tiempo que las palabras.
Los patrones del matemático, como el del pintor o el del poeta, deben ser hermosos; Las ideas como los colores o las palabras, deben encajar de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para las matemáticas feas. Y aquí debo lidiar con un concepto erróneo que todavía está muy extendido (aunque probablemente mucho menos ahora que hace veinte años), lo que Whitehead ha llamado la ‘superstición literaria’ de que el amor por una apreciación estética de las matemáticas es ‘una monomanía limitada a unas pocas excéntricas en cada generación ‘.
Sería bastante difícil ahora encontrar un hombre educado bastante insensible al atractivo estético de las matemáticas. Puede ser muy difícil definir la belleza matemática, pero eso es igual de cierto para la belleza de cualquier tipo: es posible que no sepamos exactamente qué queremos decir con un hermoso poema, pero eso no nos impide reconocer uno cuando lo leemos. Incluso el profesor Hogben, que intenta minimizar a toda costa la importancia del elemento estético en las matemáticas, no se aventura a negar su realidad. “Hay, sin duda, individuos para quienes las matemáticas ejercen una atracción fríamente impersonal … El atractivo estético de las matemáticas puede ser muy real para unos pocos elegidos”. Pero son “pocos”, sugiere, y se sienten “fríamente” (y en realidad son personas bastante ridículas, que viven en pequeñas y tontas ciudades universitarias al abrigo de la fresca brisa de los espacios abiertos). En esto, simplemente hace eco de la “superstición literaria” de Whitehead.
El hecho es que hay pocas asignaturas más “populares” que las matemáticas. La mayoría de las personas aprecian las matemáticas, así como la mayoría de las personas pueden disfrutar de una melodía agradable; y probablemente haya más personas realmente interesadas en las matemáticas que en la música. Las apariencias sugieren lo contrario, pero hay explicaciones fáciles. La música puede usarse para estimular la emoción masiva, mientras que las matemáticas no pueden; y la incapacidad musical es reconocida (sin duda con razón) como levemente desacreditable, mientras que la mayoría de las personas tienen tanto miedo del nombre de las matemáticas que están listas, sin ninguna afectación, para exagerar su propia estupidez matemática.
Una muy poca reflexión es suficiente para exponer lo absurdo de la “superstición literaria”. Hay masas de jugadores de ajedrez en todos los países civilizados: en Rusia, casi toda la población educada; y cada jugador de ajedrez puede reconocer y apreciar un juego o problema “hermoso”. Sin embargo, un problema de ajedrez es simplemente un ejercicio de matemática pura (un juego no del todo, ya que la psicología también juega un papel importante), y todos los que llaman a un problema “bello” aplauden la belleza matemática, incluso si es una belleza de un tipo relativamente bajo . Los problemas de ajedrez son los himnos de las matemáticas.
Podemos aprender la misma lección, en un nivel inferior, pero para un público más amplio, desde el puente o descendiendo más lejos, desde las columnas de rompecabezas de los periódicos populares. Casi toda su inmensa popularidad es un tributo al poder de dibujo de las matemáticas rudimentarias, y los mejores creadores de rompecabezas, como Dudeney o ‘Caliban’, usan muy poco más. Conocen su negocio: lo que el público quiere es una pequeña “patada” intelectual, y nada más tiene la patada de las matemáticas.
Podría agregar que no hay nada en el mundo que complace incluso a hombres famosos (y hombres que han usado palabras bastante despectivas sobre las matemáticas) tanto como para descubrir o redescubrir un teorema matemático genuino. Herbert Spencer volvió a publicar en su autobiografía un teorema sobre círculos que probó cuando tenía veinte años (sin saber que Platón lo había probado hace más de dos mil años). El profesor Soddy es un ejemplo más reciente y más llamativo (pero su teorema es realmente el suyo).

Un problema de ajedrez es la matemática genuina, pero de alguna manera es matemática ‘trivial’. Por ingeniosos e intrincados, por originales y sorprendentes que sean los movimientos, falta algo esencial. Los problemas de ajedrez no son importantes. La mejor matemática es seria y hermosa: “importante” si lo desea, pero la palabra es muy ambigua, y “serio” expresa mucho mejor lo que quiero decir.
No estoy pensando en las consecuencias “prácticas” de las matemáticas. Tengo que volver a eso más adelante: en este momento solo diré que si un problema de ajedrez es, en el sentido burdo, “inútil”, entonces eso es igualmente cierto para la mayoría de las mejores matemáticas; que muy poco de las matemáticas es útil prácticamente, y que ese poco es comparativamente aburrido.
La “seriedad” de un teorema matemático radica, no en sus consecuencias prácticas, que generalmente son insignificantes, sino en la importancia de las ideas matemáticas que conecta. Podemos decir, más o menos, que una idea matemática es “significativa” si se puede conectar, de forma natural e iluminadora, con un gran complejo de otras ideas matemáticas. Por lo tanto, un teorema matemático serio, un teorema que conecta ideas significativas, es probable que conduzca a un avance importante en las matemáticas mismas e incluso en otras ciencias. Sin embargo, ningún problema de ajedrez ha afectado el desarrollo general de los científicos: Pitágoras, Newton, Einstein en su época han cambiado toda su dirección.
La seriedad de un teorema, por supuesto, no radica en sus consecuencias, que son simplemente la evidencia de su seriedad. Shakespeare tuvo una enorme influencia en el desarrollo del idioma inglés, Otway casi no tiene ninguno, pero no es por eso que Shakespeare fue el mejor poeta. Fue el mejor poeta porque escribió una poesía mucho mejor. La inferioridad del problema del ajedrez, como el de la poesía de Otway, no radica en sus consecuencias en su contenido.

– GH Hardy, la disculpa de un matemático

Answer 19

En ingeniería eléctrica, especialmente ingeniería de RADIO, uso números imaginarios casi todos los días. También lo hacen las personas involucradas en la transmisión de energía de CA. “Imaginario” es en realidad un término desafortunado, ya que implica algo no físico … pero nada puede estar más lejos de la verdad. Los números imaginarios representan fenómenos físicos muy reales que no se pueden expresar de otra manera.

Answer 20

Hubo una revista de Harper relativamente reciente contra la enseñanza de álgebra en la escuela secundaria. Hay una publicación en Facebook que dice “Pasó otro día y no usé álgebra”.

Esto se ha convertido en un tema común. Entonces, en lugar de centrarme solo en números imaginarios o álgebra (otros lo han hecho), me gustaría revisar los propósitos de la educación. En cierto sentido, solo hay dos:

1. Preparación para la vida . Obviamente, las habilidades comunes de la vida son importantes. Pero más allá de lo básico, realmente no sabemos cuáles serán las habilidades e intereses de un estudiante en particular. Y sin alguna exposición nunca lo sabremos. La educación se puede adaptar al alumno en particular solo hasta cierto punto. Por lo tanto, la mayor parte de la educación debe adaptarse a un término medio. También, obviamente, algunos estudiantes se beneficiarán del deporte, pero algunos lo odian, ¿cuál es la respuesta? No hay aptitud para los estudiantes? El razonamiento es el mismo para las matemáticas y un poco más alto (lo que significa más allá de lo que uno necesita para las actividades diarias). Sin álgebra y otras materias quizás difíciles, los estudiantes que serían buenos en eso nunca estarán expuestos. No se darán cuenta de su talento. Si bien muchas personas tienen opiniones al respecto, dudo que muchas de ellas sepan qué es el álgebra. Y no es su culpa. Lo que se necesita es mejorar la educación para no deshacerse de ella. Podría haber álgebra básica (bien enseñada); y aquellos que estaban interesados ​​podrían pasar a más álgebra. Las universidades no tendrían que enseñar a sus estudiantes de primer año lo que deberían haber aprendido en la escuela secundaria. Además, incluso si no usa un pensamiento superior día a día, la mejora de su habilidad le será útil de manera práctica. Si te interesa la educación superior más adelante, será útil. Si todo lo que tienes son las habilidades básicas de la vida, no es una muy buena preparación para una vida agradable. Pero si se espera que aprenda más, la instrucción debe ser buena.
2. Devolviendo a la sociedad . No es exactamente un contrato, pero es algo así. La sociedad nos da a la mayoría de nosotros una educación gratuita. Estamos preparados para la vida (uno espera). La sociedad necesita habilidades a cambio. Sin álgebra, sin cálculo, etc., entonces no habrá ciencia moderna y todos sus beneficios (de los que dependemos todos los días). ¿Crees en trabajar para vivir? Entonces también cree que si se beneficia de la modernidad, trabajará por ella. Y no podemos descubrir quién es bueno en álgebra ni nada sin exponerlos, lo cual es un asunto de dos vías: la sociedad adquiere buen talento; los individuos adquieren una buena cultura (no se trata solo de practicidad, el entorno cultural también es importante, y si te han enseñado bien en la escuela secundaria, lo sabrás). Pero, de nuevo, esto significa buena enseñanza, no mala enseñanza, no de memoria (lo que significa que debemos comenzar valorando a los maestros y la educación). Y nosotros (Estados Unidos) tenemos que competir con China, Rusia … donde entienden que es necesario algún sacrificio para el bien común (pero donde también saben que el individuo también se beneficia). ¿Estoy humillando a Estados Unidos? No lo creo. Pero sí creo que hemos llegado a dar por sentada la vida moderna y tal vez hemos olvidado lo que se necesita; es parte del precio por ser el número 1 (de alguna manera). Me parece que en la cultura ‘yo’ y ‘sin dolor’ hemos olvidado la idea del ‘equilibrio’. Dicho esto, no quiero volver a las viejas formas, excepto, por supuesto, recordar el valor de la enseñanza y la educación, si no las formas.

¿Quién creo que es responsable de nuestro malentendido de la educación y sus propósitos? No lo se Supongo que es económico y político; está tomando el camino fácil; son los medios y cómo retratan la buena vida y la educación; y somos nosotros