¿Cómo puedo resolver una ecuación de tercer grado?

Answer 1

Una ecuación cúbica es solucionable si de alguna manera puede reducirse a una ecuación de segundo grado. Para ver por qué esto es así, haga lo mismo para una ecuación cuadrática:
[matemáticas] \ begin {ecation} ax ^ 2 + bx + c = 0 \ end {ecation} [/ math]
Deseamos convertirlo a una ecuación lineal : [matemáticas] y + d = 0 [/ matemáticas].
Sin mucho ruido tenemos [matemáticas] y = (x + b / 2a) ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] d = – (b ^ 2 / 4a ^ 2 – c / a) [/ matemáticas]

Para hacer lo mismo con la ecuación cúbica, mostraré cómo reducirla a una ecuación de segundo grado, con la ayuda de Lagrange y algo de álgebra lineal.

Consideraremos la ecuación cúbica monic sin ninguna pérdida de generalidad:
[matemática] \ begin {ecuación} x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c = 0 \ end {ecuación} [/ matemática]

Si [matemática] \ {x_1, x_2, x_3 \} [/ matemática] son ​​las raíces de la ecuación, entonces tenemos:
[matemáticas] (x – x_1) (x – x_2) (x – x_3) = 0 [/ matemáticas], y cortesía de Vieta tenemos:

[matemáticas] \ begin {array} {rcl} (x_1 + x_2 + x_3) & = & -a \\ (x_1.x_2 + x_2.x_3 + x_3.x_1) & = & b \\ (x_1.x_2.x_3 ) & = & -c \ end {array} [/ math]

Inspirado por Lagrange, no intentaremos trabajar en [matemáticas] \ {x_1, x_2, x_3 \} [/ matemáticas] directamente, sino que miraremos [matemáticas] \ {y_1, y_2, y_3 \} [/ matemáticas] cuyo DFT ( Transformada discreta de Fourier ) es la raíz original de la ecuación:

[matemáticas] \ begin {array} {rcl} x_1 & = & y_1 & + & y_2 & + & y_3 \\ x_2 & = & y_1 & + & w.y_2 & + & w ^ 2.y_3 \\ x_3 & = & y_1 & + & w ^ 2.y_2 & + & w.y_3 \ end {array} [/ math]

O más convenientemente, cuando se escribe en forma matricial:

[matemática] \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & w & w ^ 2 \\ 1 & w ^ 2 & w \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \ end {bmatrix} [/ math]

Aquí [matemáticas] 1, w, w ^ 2 [/ matemáticas] son ​​las terceras raíces de la unidad y satisfacen la ecuación [matemáticas] z ^ 3 – 1 = (z-1) (z ^ 2 + z + 1) = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] (1 + w + w ^ 2) = 0; w ^ 3 = 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] x_1 + x_2 + x_3 = 3.y_1 = -a \ implica y_1 = – (a / 3) [/ math].

Antes de continuar, déjame mostrarte la belleza de la simetría .
[matemáticas] \ begin {bmatrix} x_1 \\ w.x_2 \\ w ^ 2.x_3 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & w & w ^ 2 \\ 1 & w ^ 2 & w \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} y_3 \\ y_1 \\ y_2 \ end {bmatrix} [/ math]

Y otro más:
[matemáticas] \ begin {bmatrix} x_1 \\ w ^ 2.x_2 \\ w.x_3 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & w & w ^ 2 \\ 1 & w ^ 2 & w \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} y_2 \\ y_3 \\ y_1 \ end {bmatrix} [/ math]

Descubrimos una forma de permutar [matemáticas] \ {y_1, y_2, y_3 \} [/ matemáticas]. Veremos cómo esto hace que resolver las raíces de la diversión cúbica.

Ahora tenemos que encontrar [matemáticas] y_2, y_3 [/ matemáticas]. Trabajando en la segunda ecuación para Vieta: [matemáticas] \ begin {bmatrix} (x_1.x_2 + x_2.x_3 + x_3.x_1) \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_1 \ end {bmatrix} = b [/ math]

Esto nos da la siguiente ecuación:
[matemática] \ begin {bmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & w & w ^ 2 \\ 1 & w ^ 2 & w \ end {bmatrix } \ begin {bmatrix} 1 & w & w ^ 2 \\ 1 & w ^ 2 & w \\ 1 & 1 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \ end {bmatrix } = b [/ matemáticas]

Llevándolo más allá:
[matemática] \ begin {bmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3w ^ 2 \\ 0 & 3w & 0 \ end {bmatrix} \ \ begin {bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \ end {bmatrix} = b [/ math]

Entonces nosotros tenemos:
[matemáticas] \ begin {bmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 3.y_1 \\ 3w ^ 2.y_3 \\ 3w.y_2 \ end {bmatrix} = b [/ math]

Esto nos da:
[matemáticas] \ begin {ecation} 3 (y_1 ^ 2 + (w + w ^ 2) y_2y_3) = b \ end {ecuación} [/ math]

Lo anterior producirá la siguiente ecuación:
[matemáticas] 3 (y_1 ^ 2 -y_2.y_3) = b [/ matemáticas], como [matemáticas] 1+ w + w ^ 2 = 0 [/ matemáticas].

Obtenemos la siguiente relación:
[matemáticas] \ begin {ecation} y_2y_3 = ((a / 3) ^ 2 – (b / 3)) = A \ end {ecuación} [/ math]

Necesitamos otra ecuación relacionada con [math] {y_2, y_3} [/ math] para determinar de forma única las variables.

La última ecuación de Vieta es crucial, y todavía no nos estamos rindiendo en álgebra lineal.
[matemáticas] x_1.x_2.x_3 = -c [/ matemáticas], en otras palabras
[matemáticas] x_1.x_2.x_3 + x_1.x_2.x_3 + x_1.x_2.x_3 = -3c [/ matemáticas]

Invocamos álgebra lineal aquí:
[matemáticas] \ begin {bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_3.x_2 \\ x_1.x_3 \\ x_2.x_1 \ end {bmatrix} = -3c [/ math]

En forma matricial tenemos:

[matemáticas] \ begin {bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} x_3 & 0 & 0 \\ 0 & x_1 & 0 \\ 0 & 0 & x_2 \ end {bmatrix} \ begin { bmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_1 \ end {bmatrix} = -3c [/ math]

Expandiendo tenemos la siguiente ecuación (solo expande [math] \ {x_1, x_2, x_3 \} [/ math], en términos de [math] \ {y_1, y_2, y_3 \} [/ math]):
[matemática] \ begin {bmatrix} y_1 & y_2 & y_3 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & w & w ^ 2 \\ 1 & w ^ 2 & w \ end {bmatrix } \ left (y_1 \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] + y_2 \ left [\ begin {array} {ccc} w ^ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & w \ end {array} \ right] + y_3 \ left [\ begin {array} {ccc} w & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & w ^ 2 \ end {array} \ right] \ right) \ begin {bmatrix} 1 & w & w ^ 2 \\ 1 & w ^ 2 & w \\ 1 & 1 & 1 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \ end {bmatrix} = -3c [/ math ]

Esto debería darnos la siguiente ecuación (después de algunas multiplicaciones de matriz agradables):
[matemáticas] \ begin {array} {rcl} y_1 (y_1 ^ 2 – y_2.y_3) + y_2 (y_2 ^ 2 -y_1.y_3) + y_3 (y_3 ^ 2 -y_1.y_2) & = & -c \\ y_1 ^ 3 + y_2 ^ 3 + y_3 ^ 3 -3y_1.y_2.y_3 & = & -c \ end {array} [/ math]

Sin embargo, ¿realmente hiciste todas las multiplicaciones de matrices? Si queremos ser perezosos, será mejor que sepamos cómo usar simetrías. Reescribiendo la ecuación matricial anterior como:
[matemática] \ begin {bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \ end {bmatrix} \ left (y_1 \ left [\ begin {array} {ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right] + y_2 \ left [\ begin {array} {ccc} w ^ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & w \ end {array} \ right] + y_3 \ left [\ begin {array} {ccc} w & 0 y 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & w ^ 2 \ end {array} \ right] \ right) \ begin {bmatrix} x_2 \\ x_3 \\ x_1 \ end {bmatrix} = -3c [/ math]

Luego, haciendo un poco de magia menor, tenemos:
[matemáticas] \ left (y_1 \ left [\ begin {array} {ccc} x_1 & x_2 & x_3 \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {ccc} x_2 \\ x_3 \\ x_1 \ end {array} \ right] + y_2 \ left [\ begin {array} {ccc} x_1 & w ^ 2.x_2 & w.x_3 \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {ccc} w ^ 2.x_2 \\ w.x_3 \\ x_1 \ end {array} \ right] + y_3 \ left [\ begin {array} {ccc} x_1 & w.x_2 & w ^ 2.x_3 \ end {array} \ right] \ left [\ begin {array} {ccc} w.x_2 \\ w ^ 2.x_3 \\ x_1 \ end {array} \ right] \ right) = -3c [/ math]
Recuerde la belleza de la simetría, para el segundo y el tercer término, las variables [matemáticas] \ {y_1, y_2, y_3 \} [/ matemáticas] simplemente se permutan en orden cíclico. Solo teníamos que hacer una multiplicación matricial, y el resto era solo simetría. Esto nos da:
[matemáticas] \ begin {array} {rcl} 3.y_1 (y_1 ^ 2 – y_2.y_3) + 3.y_2 (y_2 ^ 2 -y_3.y_1) + 3.y_3 (y_3 ^ 2 -y_1.y_2) & = & -3c \\ y_1 ^ 3 + y_2 ^ 3 + y_3 ^ 3 -3y_1.y_2.y_3 & = & -c \ end {array} [/ math]

Como [math] y_3 = A / y_2 [/ math] donde [math] A [/ math] se calculó anteriormente, la ecuación anterior se reduce a una ecuación cuadrática .
[matemáticas] ((-a / 3) ^ 3 -3 (-a / 3) A + c) + y_2 ^ 3 + (A / y_2) ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

Y finalmente tenemos la ecuación cuadrática que queríamos:
[matemáticas] u ^ 2 + Bu + A ^ 3 = 0 [/ matemáticas]

donde [matemáticas] B = ((-a / 3) ^ 3 -3 (-a / 3) A + c) [/ matemáticas] y [matemáticas] u = y_2 ^ 3 [/ matemáticas].
Al resolver la ecuación cuadrática, tendremos los valores [matemática] \ {y_1, y_2, y_3 \} [/ matemática] y, por lo tanto, las raíces de la ecuación cúbica original [matemática] \ {x_1, x_2, x_3 \} [ /matemáticas].

¿Por qué usamos matrices? El uso de matrices agiliza significativamente la computación y nos ayuda a realizar un seguimiento de las simetrías. El método de Lagrange funciona para resolver ecuaciones de grado 2, 3, 4, y esa es la razón por la que creo que es elegante [1].

Notas al pie

[1] La respuesta de Jacob Minz a ¿Cuál es tu teorema matemático favorito?

Answer 2

Aprende a resolver ecuaciones cúbicas

En términos matemáticos, todas las ecuaciones cúbicas tienen una raíz o tres raíces reales. La ecuación cúbica general es,

ax3 + bx2 + cx + d = 0

Los coeficientes de a, b, cyd son números reales o complejos con un valor no igual a cero (a ≠ 0). Debe tener el término x3 , o de lo contrario no será una ecuación cúbica. Pero cualquiera o todos de b, cyd pueden ser cero.

Los ejemplos de ecuaciones cúbicas son,

No 1, x3 + 3a3 + 3 a2 + a3– b = 0

No 2, 4 × 3 + 57 = 0

No 3, x3 + 9x = 0

Estrategia para resolver ecuaciones cúbicas

A diferencia de la ecuación cuadrática que puede no tener una solución real; Una ecuación cúbica siempre tiene al menos una raíz real. La estrategia previa de resolver una ecuación cúbica es reducirla a una ecuación cuadrática, y luego resolver la cuadrática por los medios habituales, ya sea factorizando o usando una fórmula.

Siempre trate de encontrar la solución de ecuaciones cúbicas con la ayuda de la ecuación general,

ax3 + bx2 + cx + d = 0

Por lo tanto, una ecuación cúbica debe reorganizarse en su forma estándar,

Por ejemplo,

x2 + 4x-1 = 6 / x

Paso 1

Puede ver que la ecuación no está escrita en forma estándar, necesita multiplicar la ‘x’ para eliminar la fracción y obtener la ecuación cúbica, después de hacerlo, terminará con

x3 + 4 × 2– x = 6

Paso 2

Luego restas 6 de ambos lados para obtener ‘0’ en el lado derecho, para que salgas,

x3 + 4 × 2– x- 6 = 0

Resolver ecuaciones cúbicas con la ayuda del teorema del factor

¿Qué es el teorema del factor? Si divide un polinomio p (x) por un factor x – a de ese polinomio, entonces terminará con cero como el resto,

p (x) = (x – a) q (x) + r (x)

Si x – a es de hecho un factor de p (x), entonces el resto después de la división por x – a será cero.

p (x) = (x – a) q (x)

Aquí hay un problema

x3– 5 × 2– 2x + 24 = 0

Con x = – 2 una solución.

El teorema del factor dice que si x = – 2 es una solución de esta ecuación, entonces x + 2 es un factor de toda esta expresión. Entonces,

x3– 5 × 2– 2x + 24 = 0

se puede escribir en la forma,

(x + 2) (x2 + ax + b) = 0

Donde ayb son números,

Debe averiguar cuáles son los valores de a y b aquí mediante la división sintética.

Paso 1

Primero, debe observar los coeficientes de la ecuación cúbica original, que son 1, -5, -2 y 24.

A la derecha de la vertical, debe escribir la raíz conocida, x = -2

Paso 2

Ahora multiplique el número (1) que acaba de bajar, por la raíz conocida -2 , como resultado es -2 , usted menciona el resultado en la otra línea, como

Paso 3

Se suman los números en la segunda columna, así que dándonos,

Paso 4

Luego, el número 7 recientemente escrito se multiplica por la raíz conocida, – 2 ,

Como el resultado es 14, debe escribirlo en la segunda fila sobre la línea,

Paso 5

Como anteriormente se agregaron los números en esta columna, (14 – 2 = 12)

Paso 6

Y necesitas continuar con el proceso,

Paso 7

Cuando tiene cero en la fila inferior, da la confirmación de que x = – 2 es una raíz del cúbico original. En esta etapa, obtuviste los primeros tres números en la fila inferior como los coeficientes en la cuadrática,

X

2

– 7x + 12

Por lo tanto, redujiste tu cubic a,

(x + 2) (x

2

– 7x + 12) = 0

Paso 8

Después de aplicar el término cuadrático, la ecuación viene así:

(x +2) (x – 3) (x – 4) = 0

Como resultado, obtienes la solución como x = -2 o 3 o 4 .

Otro ejemplo:

La ecuación es

X

3

– 7x-6 = 0

Paso 1 Simplemente puedes probar x = – 1, después de poner el valor de x, obtendrás,

(-1)

3 –

7 (-1) -6

El resultado viene como cero, por lo que se demuestra que x +1 es un factor y el cúbico se puede escribir en la forma,

(x + 1) (x

2

+ ax + b) = 0

Paso 2

Después de aplicar la división sintética, como en el ejemplo anterior, tomará los coeficientes de la ecuación cúbica original, que son 1, 0, -7 y -6 , debe escribir la raíz conocida x = -1 a la derecha de línea vertical, dándonos,

Paso 3

Multiplique el número derribado 1 por la raíz conocida x = -1 , y anote el resultado (-1) en la segunda fila, de esta manera,

Paso 4

Los números de la segunda columna se agregan a la primera columna, dándonos,

Y continúe el proceso agregando números en esta columna, hasta que encuentre ‘0’ como resultado,

Paso 5

A medida que agrega más números a la segunda columna siguiendo el proceso de división sintética, aparecerá,

Cuando llegas a cero, es la confirmación de que x = -1 ,

Por lo tanto, obtienes los coeficientes en el cuadrático como los primeros tres números en la fila inferior, entonces el cuadrático es,

x2 -x – 6

Paso 6

Por lo tanto, el cúbico reducido a cuadrático,

(x + 1) (x2-x- 6) = 0

El resultado factorizado es,

(x +1) (x – 3) (x + 2) = 0

Puedes obtener tres soluciones para la ecuación cúbica son x = -2, -1 o 3

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Answer 3

Hay más de una forma de interpretar “resolver” en el contexto de ecuaciones en general, y ecuaciones polinómicas en particular. En la práctica, la mayoría de las veces resolvería una ecuación cúbica (3er grado) adivinando una solución [matemática] x_1 [/ matemática], dividiendo la cúbica por [matemática] x-x_1 [/ matemática] y luego resolviendo la ecuación cuadrática resultante ( 2do grado) como siempre.

También puede resolver cualquiera de estas ecuaciones numéricamente, por ejemplo, utilizando el método de Newton.

Sin embargo, cuando las personas hablan de “resolver una ecuación de tercer grado”, generalmente se refieren a una solución por radicales . Esto significa una forma de escribir las tres soluciones como expresiones que involucran los coeficientes de la ecuación original, raíces cuadradas, raíces cúbicas y operaciones aritméticas. La fórmula cuadrática

[matemáticas] x_ {1,2} = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

es, famoso, una forma de expresar las raíces de la ecuación cuadrática [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas] de esta manera.

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¿Por qué debería importarle a alguien?

Honestamente, las ecuaciones cúbicas no son tan importantes. Ocurren aquí y allá “en la vida real” y en las matemáticas abstractas, pero en realidad no son fundamentalmente vitales. Sin embargo, el método de solución tiene una importancia histórica tremenda y una belleza considerable, y ahí radica su valor real .

Es sorprendente que la humanidad haya intentado resolver ecuaciones cúbicas durante miles de años, y finalmente haya tenido éxito después de los esfuerzos dedicados de innumerables personas, pero tan pocos en la actualidad, incluso aquellos con una considerable formación matemática, son capaces de recordar el algoritmo lo suficientemente bien como para poder usarlo. o explicarlo a pedido, sin buscarlo. Este fue uno de los logros intelectuales clave del renacimiento, una separación importante de las fronteras del conocimiento clásico, y creo que merece ser mejor conocido.

No es realmente tan difícil, de todos modos. Listo?

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El enfoque clásico

Estamos tratando de resolver una ecuación que se parece a [math] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ math] donde los coeficientes [math] a, b, c, d [/ math] son ​​algunos números. De hecho, me voy a centrar en lo que parece un caso muy especial:

(1) [matemáticas] x ^ 3 + cx + d = 0 [/ matemáticas].

La razón de este enfoque es que reducir un cúbico general a esta forma es bastante sencillo, así que lo dejaré hasta el final. La verdadera joya es este caso especial.

Puede jugar con esta ecuación durante días y meses en vano: las manipulaciones algebraicas que conocemos y amamos simplemente no hacen nada aquí. La idea crucial es realizar un gambito atrevido, reemplazando el único desconocido [matemáticas] x [/ matemáticas] con una suma de dos incógnitas [matemáticas] p, q [/ matemáticas]. Entonces, simplemente escribimos audazmente [math] x = p + q [/ math].

¿Cómo puede ser esto algo bueno? Necesitamos determinar un número [matemática] x [/ matemática], ¿y ahora tenemos dos incógnitas con las que lidiar? Bueno, claro, pero también tenemos un nuevo grado de libertad: podemos imponer otra condición en [matemática] p [/ matemática] y [matemática] q [/ matemática] al tiempo que les permitimos sumar hasta [matemática] x [ /matemáticas]. Tal vez eso nos salve (pista: lo hace). Esta es la única parte de la solución que necesita sacar de un sombrero . El resto es álgebra.

Pongamos que [matemáticas] p + q [/ matemáticas] en nuestra ecuación a resolver (1). Obtenemos

[matemáticas] (p + q) ^ 3 + c (p + q) + d = 0 [/ matemáticas]

Expandiendo el cubo, esto es

[matemática] p ^ 3 + q ^ 3 + 3p ^ 2q + 3pq ^ 2 + c (p + q) + d = 0 [/ matemática].

Dejamos los cubos solos pero observamos que hay otra [matemática] p + q [/ matemática] escondida en términos mixtos:

[matemáticas] p ^ 3 + q ^ 3 + 3pq (p + q) + c (p + q) + d = 0 [/ matemáticas].

Vemos un término repetido [math] p + q [/ math], por lo que naturalmente recopilamos los términos que lo contienen:

[matemáticas] p ^ 3 + q ^ 3 + (3pq + c) (p + q) + d = 0 [/ matemáticas].

Ahora viene la patada: ¿recuerdas ese grado extra de libertad que tenemos? Podemos usarlo para eliminar todo este desastre en el medio. En pocas palabras, imponemos con indiferencia que [math] 3pq + c [/ math] se desvanecerá .

[matemáticas] 3pq + c = 0 [/ matemáticas]

O:
(2) [matemáticas] q = – \ frac {c} {3p} [/ matemáticas].

Nuestra ecuación es ahora:

[matemáticas] p ^ 3 – \ frac {c ^ 3} {27p ^ 3} + d = 0 [/ matemáticas].

¡Y hemos terminado!

Espere. ¿Por qué hemos terminado?

Bueno, si has resuelto muchos ejercicios cuadráticos de la escuela secundaria, puedes reconocer que la última ecuación es simplemente un disfraz cuadrático. Ahora solo hay una variable, y es [math] p [/ math]. Solo aparece en la ecuación como [math] p ^ 3 [/ math], por lo que podríamos llamar [math] z = p ^ 3 [/ math] y obtener

[matemáticas] z – \ frac {c ^ 3} {27z} + d = 0 [/ matemáticas]

o

[matemáticas] z ^ 2 + dz – \ frac {c ^ 3} {27} = 0 [/ matemáticas],

Un mísero cuadrático. Resuélvalo, encuentre los valores posibles de [matemáticas] z [/ matemáticas], infiera los valores posibles de [matemáticas] p [/ matemáticas] (¡incluidas las complejas!), Determine [matemáticas] q [/ matemáticas] (recuerde la ecuación (2)), y sumarlos para obtener [matemáticas] x [/ matemáticas].

TADAAA !!!

Un ejemplo trabajado

Tratemos de seguir esos pasos con una ecuación concreta:

[matemáticas] x ^ 3 – 7x + 6 = 0 [/ matemáticas].

Una vez más, la forma en que realmente resuelve esto es adivinando una solución (bastante fácil en este caso), eliminando esa solución y resolviendo la cuadrática. Toma alrededor de 2 minutos aquí. Pero no, vamos a seguir la receta. Va a ser mucho más difícil, introducir números complejos en el camino, pero lo bueno de esto es que es una receta , que no requiere adivinanzas y garantiza que funcione. Siempre.

Entonces, hacemos [matemáticas] x = p + q [/ matemáticas],

[matemática] p ^ 3 + q ^ 3 + 3p ^ 2q + 3pq ^ 2 – 7 (p + q) + 6 = 0 [/ matemática]

[matemáticas] p ^ 3 + q ^ 3 + 3pq (p + q) – 7 (p + q) + 6 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] p ^ 3 + q ^ 3 + (3pq-7) (p + q) + 6 = 0 [/ matemáticas]

Ahora declaramos que

[matemáticas] 3pq = 7 [/ matemáticas], o

[matemáticas] q = \ frac {7} {3p} [/ matemáticas]

consiguiendo

[matemáticas] p ^ 3 + \ frac {343} {27p ^ 3} + 6 = 0 [/ matemáticas]

o, dejando que [matemática] z = p ^ 3 [/ matemática],

[matemáticas] z + \ frac {343} {27z} + 6 = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] z ^ 2 + 6z + \ frac {343} {27} = 0 [/ matemáticas]

Esto es algo peludo, pero nos abrimos paso y encontramos

[matemáticas] z = -3 \ pm \ frac {10 \ sqrt {3}} {9} i [/ matemáticas].

La siguiente tarea es encontrar las [matemáticas] p [/ matemáticas] s que corresponden a cada una de esas [matemáticas] z [/ matemáticas] s. Se trata de extraer raíces cúbicas de un número complejo, una tarea difícil pero no insuperable. Busquemos las raíces cúbicas de la que tiene el signo [math] + [/ math] (resulta que esto es suficiente; repetir la tarea para el otro valor producirá las mismas raíces nuevamente). Son:

[matemáticas] p_1 = – \ frac {3} {2} + \ frac {\ sqrt {3}} {6} i [/ matemáticas]

[matemáticas] p_2 = \ frac {1} {2} – \ frac {5 \ sqrt {3}} {6} i [/ matemáticas]

[matemáticas] p_3 = 1 + \ frac {2 \ sqrt {3}} {3} i [/ matemáticas]

Para cada uno de estos, calculamos [matemática] q = 7 / (3p) [/ matemática], sumamos [matemática] p + q [/ matemática] y encontramos los valores de [matemática] x [/ matemática], que resultan ser…

[matemáticas] x_1 = p_1 + \ frac {7} {3p_1} = -3 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_2 = p_2 + \ frac {7} {3p_2} = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] x_3 = p_3 + \ frac {7} {3p_3} = 2 [/ matemáticas].

Bien. Las raíces resultaron ser números bastante simples: -3, 1 y 2. Eso ciertamente podría haberse adivinado. El método es impresionantemente ineficiente en este caso particular, lo que nos obliga a trabajar con estas expresiones complejas solo para obtener respuestas tan simples con el tiempo. Pero de nuevo: esta es una receta infalible que funciona para cualquier ecuación cúbica de la forma [matemáticas] x ^ 3 + bx + c = 0 [/ matemáticas].

El cubico general

Hasta ahora tratamos el caso especial [matemática] x ^ 3 + bx + c = 0 [/ matemática]. En el caso general, comienzas con

[matemáticas] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ matemáticas].

Primero, divida entre [math] a [/ math] para deshacerse del coeficiente principal (asumimos que [math] a \ neq 0 [/ math], de lo contrario no es un cúbico). Ahora tiene algo como esto (renombrando las variables para mantener las cosas simples):

[matemáticas] x ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ matemáticas].

El coeficiente [matemáticas] b [/ matemáticas] es menos la suma de las raíces. Este es solo un caso especial de las fórmulas de Vieta, pero si no está familiarizado con ellas, puede verlo fácilmente escribiendo

[matemáticas] x ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = (x-x_1) (x-x_2) (x-x_3) [/ matemáticas], coeficientes de expansión y ecuación de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] .

Esto significa que si cambiamos [matemática] x [/ matemática] por [matemática] b / 3 [/ matemática], la suma de las raíces de la nueva ecuación será 0. De hecho, sea [matemática] y = x + b / 3 [/ math] o [math] x = yb / 3 [/ math], sustituye en la ecuación y observa cómo [math] x ^ 3 [/ math] contribuye con un factor de [math] -by ^ 2 [ / math] y el término [math] bx ^ 2 [/ math] contribuye [math] con ^ 2 [/ math] haciendo que desaparezca el término cuadrático.

Esto es mucho más fácil de hacer en casos específicos que siguiendo las fórmulas. Si no recuerda por qué necesita cambiar la variable, simplemente escriba [math] x = y – t [/ math], sustitúyalo y luego encuentre el valor de [math] t [/ math] que hace que el término cuadrado desaparecer.

Una vez que haya terminado de resolver la fórmula para [math] y [/ math], que ahora está en la forma correcta, solo recuerde restar [math] b / 3 [/ math] de cada solución para obtener los valores del original [matemáticas] x [/ matemáticas].

¡Eso es!

Answer 4

La solución original de Cardano ya ha sido discutida por Alon Amit con gran detalle, por lo que tomaré una ruta alternativa desarrollada por Lagrange que sentó las bases de donde Galois sacó sus ideas para abordar la cuestión de la solvencia de un polinomio general en una variable por radicales

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que la ecuación cúbica que se nos da es monica, es decir, se puede escribir como

[matemáticas] x ^ 3 + a_2x ^ 2 + a_1x + a_0 = 0. [/ matemáticas]

Deje que las tres raíces de lo anterior se denoten [matemática] x_1 [/ matemática], [matemática] x_2 [/ matemática] y [matemática] x_3 [/ matemática].

La solución de Lagrange implica la construcción de un ‘resolvente’ que queda invariable bajo algunas de las permutaciones de las tres raíces, pero no todas. En otras palabras, las permutaciones que dejan el resuelto invariante forman un subgrupo del grupo completo de permutaciones permitidas en las raíces. En el caso general, el grupo completo de permutaciones en las raíces resulta ser [math] S_3 [/ math]. Por supuesto, tiene muchos subgrupos dentro de él. Veremos que el subgrupo de permutaciones pares [math] A_3 = \ mathbb Z / 3 \ mathbb Z [/ math], que en este caso son las permutaciones cíclicas, es una opción particularmente buena.

Nuestra tarea entonces es construir una expresión que involucre las raíces [matemáticas] x_j [/ matemáticas] que permanezca invariable bajo permutaciones cíclicas pero no todas las permutaciones. Hay muchas opciones para esto, pero la elección que hizo Lagrange fue la siguiente

[matemáticas] z_1 = (x_1 + \ omega x_2 + \ omega ^ 2 x_3) ^ 3 [/ matemáticas]

donde [math] \ omega [/ math] es una de las raíces cúbicas de la unidad aparte de [math] 1 [/ math] en sí. La acción de cualquier permutación cíclica transforma [math] z_1 [/ math] en sí misma y en cualquier otra cosa, es decir, una permutación extraña, la transforma en

[matemáticas] z_2 = (x_1 + \ omega ^ 2 x_2 + \ omega x_3) ^ 3 [/ matemáticas]

que nuevamente permanece invariante bajo transformaciones cíclicas.

Ahora tomemos el grupo de todas las permutaciones de [matemáticas] (x_1, x_2, x_3) [/ matemáticas] y veamos qué transformaciones inducen en [matemáticas] (z_1, z_2) [/ matemáticas]. Las permutaciones pares de la primera actúan como la transformación de identidad en la segunda, mientras que las permutaciones impares intercambian [matemáticas] z_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] z_2 [/ matemáticas]. Por lo tanto, tenemos un homomorfismo grupal de [math] S_3 [/ math] a [math] S_2 = \ mathbb Z / 2 \ mathbb Z [/ math] con el núcleo [math] A_3 [/ math] que se asigna a la identidad en [matemáticas] (z_1, z_2) [/ matemáticas].

Ahora, tenga en cuenta que esto significa que si tenemos alguna expresión en [math] z_1 [/ math] y [math] z_2 [/ math] que es invariante bajo la acción [math] S_2 [/ math] en ellos, se verán automáticamente invariante bajo la acción completa [matemáticas] S_3 [/ matemáticas]. Esto es obvio ya que la acción [math] S_3 [/ math] deja invariante [math] z_1 [/ math] y [math] z_2 [/ math] o las intercambia, lo que deja la expresión invariante [math] S_2 [/ math] en [math] z_1 [/ math] y [math] z_2 [/ math] invariante. Esto implica además que los polinomios simétricos elementales en [matemáticas] z_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] z_2 [/ matemáticas] son ​​automáticamente simétricos en [matemáticas] x_1 [/ matemáticas], [matemáticas] x_2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_3 [/ math] y, por lo tanto, puede construirse a partir de las funciones simétricas elementales en [math] x_1 [/ math], [math] x_2 [/ math] y [math] x_3 [/ math], que resultan ser (arriba a un signo) precisamente los coeficientes [matemática] -a_2 [/ matemática], [matemática] a_1 [/ matemática] y [matemática] -a_0 [/ matemática]. Entonces, podemos escribir [matemáticas] z_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] z_2 [/ matemáticas] como las soluciones de una ecuación cuadrática con coeficientes que son expresiones que involucran los coeficientes del polinomio cúbico original. Ya sabemos cómo resolver ecuaciones cuadráticas, por lo que podemos usar eso para encontrar [matemáticas] z_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] z_2 [/ matemáticas].

Una vez que hayamos encontrado [math] z_1 [/ math] y [math] z_2 [/ math] en términos de coeficientes, podemos elegir una de las tres raíces cúbicas que tienen, denotadas [math] z_1 ^ {\ frac {1 } {3}} [/ math] y [math] z_2 ^ {\ frac {1} {3}} [/ math].
Esto nos da tres ecuaciones linealmente independientes

[matemáticas] x_1 + x_2 + x_3 = -a_2, [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1 + \ omega x_2 + \ omega ^ 2 x_3 = z_1 ^ {\ frac {1} {3}}, [/ matemáticas]
[matemáticas] x_1 + \ omega ^ 2 x_2 + \ omega x_3 = z_2 ^ {\ frac {1} {3}}. [/ matemáticas]

Estos se pueden resolver para obtener las soluciones.

[matemáticas] x_1 = \ frac {1} {3} \ left (-a_2 + z_1 ^ {\ frac {1} {3}} + z_2 ^ {\ frac {1} {3}} \ right), [/ matemáticas]
[matemáticas] x_2 = \ frac {1} {3} \ left (-a_2 + \ omega ^ 2z_1 ^ {\ frac {1} {3}} + \ omega z_2 ^ {\ frac {1} {3}} \ right ),[/matemáticas]
[matemáticas] x_3 = \ frac {1} {3} \ left (-a_2 + \ omega z_1 ^ {\ frac {1} {3}} + \ omega ^ 2 z_2 ^ {\ frac {1} {3}} \ derecha). [/ matemáticas]

En este punto, vale la pena retroceder para ver con precisión qué fue lo que hizo posible tal solución. Era el hecho de que encontraríamos un solvente no trivial que no permanecía invariable bajo el grupo completo de permutaciones, pero tampoco se actuaba libremente sobre ellos. Es decir, que el grupo de permutaciones que lo deja invariante no es el grupo completo de permutaciones ni es el grupo trivial que consiste solo en la identidad. Además de esto, actúa como el núcleo de un homomorfismo grupal desde el grupo completo de permutaciones hasta el grupo de permutaciones que actúan sobre el resolvente. Esta es básicamente la esencia de los subgrupos normales. Un subgrupo normal es aquel que actúa como núcleo para algún homomorfismo y la imagen del homomorfismo en cuestión es el grupo cociente. La gran idea de Galois fue que la clave para comprender las raíces de un polinomio se encontraba en los subgrupos normales de su grupo de permutaciones. De hecho, la prueba del hecho de que el quintic general no puede ser resuelto por los radicales esencialmente se reduce a la observación de que el grupo de permutaciones pares de cinco objetos [matemáticas] A_5 [/ matemáticas] no tiene un subgrupo normal.

Anexo: Tal vez se pregunte si es posible elegir un solvente como [math] x_1 ^ 2x_2 + x_2 ^ 2x_3 + x_3 ^ 2x_1 [/ math] que evita el uso de las raíces cúbicas de la unidad y usa solo constantes en [math] \ mathbb Q [/ math]. La respuesta es no. Necesitas las raíces cúbicas de la unidad para obtener las raíces en general. Es suficiente proporcionar un solo ejemplo. Supongamos que se le dio el polinomio cúbico [matemáticas] x ^ 3-2 [/ matemáticas] y una raíz [matemáticas] \ alfa [/ matemáticas]. Las otras dos raíces están dadas por [math] \ alpha \ omega [/ math] y [math] \ alpha \ omega ^ 2 [/ math]. Entonces, ves que solo recibir [math] \ alpha [/ math] no es suficiente; necesitas [math] \ omega [/ math] también. En el lenguaje de la teoría de Galois, decimos que la extensión de campo [math] \ mathbb Q [x] / (x ^ 3-2) = \ mathbb Q (\ alpha) \ supset \ mathbb Q [/ math] no es Galois pero la extensión de campo [math] \ mathbb Q [x, y] / (x ^ 3-2, y ^ 3-1) = \ mathbb Q (\ alpha, \ omega) \ supset \ mathbb Q [/ math] es.

Answer 5

En términos matemáticos, todas las ecuaciones cúbicas tienen una raíz o tres raíces reales. La ecuación cúbica general es,

ax3 + bx2 + cx + d = 0

Los coeficientes de a, b, cyd son números reales o complejos con un valor no igual a cero (a ≠ 0). Debe tener el término x3 , o de lo contrario no será una ecuación cúbica. Pero cualquiera o todos de b, cyd pueden ser cero.

Los ejemplos de ecuaciones cúbicas son,

No 1, x3 + 3a3 + 3 a2 + a3– b = 0

No 2, 4 × 3 + 57 = 0

No 3, x3 + 9x = 0

Estrategia para resolver ecuaciones cúbicas

A diferencia de la ecuación cuadrática que puede no tener una solución real; Una ecuación cúbica siempre tiene al menos una raíz real. La estrategia previa de resolver una ecuación cúbica es reducirla a una ecuación cuadrática, y luego resolver la cuadrática por los medios habituales, ya sea factorizando o usando una fórmula.

Siempre trate de encontrar la solución de ecuaciones cúbicas con la ayuda de la ecuación general,

ax3 + bx2 + cx + d = 0

Por lo tanto, una ecuación cúbica debe reorganizarse en su forma estándar,

Por ejemplo,

x2 + 4x-1 = 6 / x

Paso 1

Puede ver que la ecuación no está escrita en forma estándar, necesita multiplicar la ‘x’ para eliminar la fracción y obtener la ecuación cúbica, después de hacerlo, terminará con

x3 + 4 × 2– x = 6

Paso 2

Luego restas 6 de ambos lados para obtener ‘0’ en el lado derecho, para que salgas,

x3 + 4 × 2– x- 6 = 0

Resolver ecuaciones cúbicas con la ayuda del teorema del factor

¿Qué es el teorema del factor? Si divide un polinomio p (x) por un factor x – a de ese polinomio, entonces terminará con cero como el resto,

p (x) = (x – a) q (x) + r (x)

Si x – a es de hecho un factor de p (x), entonces el resto después de la división por x – a será cero.

p (x) = (x – a) q (x)

Aquí hay un problema

x3– 5 × 2– 2x + 24 = 0

Con x = – 2 una solución.

El teorema del factor dice que si x = – 2 es una solución de esta ecuación, entonces x + 2 es un factor de toda esta expresión. Entonces,

x3– 5 × 2– 2x + 24 = 0

se puede escribir en la forma,

(x + 2) (x2 + ax + b) = 0

Donde ayb son números,

Debe averiguar cuáles son los valores de a y b aquí mediante la división sintética.

Paso 1

Primero, debe observar los coeficientes de la ecuación cúbica original, que son 1, -5, -2 y 24.

A la derecha de la vertical, debe escribir la raíz conocida, x = -2

Paso 2

Ahora multiplique el número (1) que acaba de bajar, por la raíz conocida -2 , como resultado es -2 , usted menciona el resultado en la otra línea, como

Paso 3

Se suman los números en la segunda columna, así que dándonos,

Paso 4

Luego, el número 7 recientemente escrito se multiplica por la raíz conocida, – 2 ,

Como el resultado es 14, debe escribirlo en la segunda fila sobre la línea,

Paso 5

Como anteriormente se agregaron los números en esta columna, (14 – 2 = 12)

Paso 6

Y necesitas continuar con el proceso,

Paso 7

Cuando tiene cero en la fila inferior, da la confirmación de que x = – 2 es una raíz del cúbico original. En esta etapa, obtuviste los primeros tres números en la fila inferior como los coeficientes en la cuadrática,

X

2

– 7x + 12

Por lo tanto, redujiste tu cubic a,

(x + 2) (x

2

– 7x + 12) = 0

Paso 8

Después de aplicar el término cuadrático, la ecuación viene así:

(x +2) (x – 3) (x – 4) = 0

Como resultado, obtienes la solución como x = -2 o 3 o 4 .

Otro ejemplo:

La ecuación es

X

3

– 7x-6 = 0

Paso 1 Simplemente puedes probar x = – 1, después de poner el valor de x, obtendrás,

(-1)

3 –

7 (-1) -6

El resultado viene como cero, por lo que se demuestra que x +1 es un factor y el cúbico se puede escribir en la forma,

(x + 1) (x

2

+ ax + b) = 0

Paso 2

Después de aplicar la división sintética, como en el ejemplo anterior, tomará los coeficientes de la ecuación cúbica original, que son 1, 0, -7 y -6 , debe escribir la raíz conocida x = -1 a la derecha de línea vertical, dándonos,

Paso 3

Multiplique el número derribado 1 por la raíz conocida x = -1 , y anote el resultado (-1) en la segunda fila, de esta manera,

Paso 4

Los números de la segunda columna se agregan a la primera columna, dándonos,

Y continúe el proceso agregando números en esta columna, hasta que encuentre ‘0’ como resultado,

Paso 5

A medida que agrega más números a la segunda columna siguiendo el proceso de división sintética, aparecerá,

Cuando llegas a cero, es la confirmación de que x = -1 ,

Por lo tanto, obtienes los coeficientes en el cuadrático como los primeros tres números en la fila inferior, entonces el cuadrático es,

x2 -x – 6

Paso 6

Por lo tanto, el cúbico reducido a cuadrático,

(x + 1) (x2-x- 6) = 0

El resultado factorizado es,

(x +1) (x – 3) (x + 2) = 0

Puedes obtener tres soluciones para la ecuación cúbica son x = -2, -1 o 3

Fuente: Cómo resolver la ecuación cúbica: ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0

Answer 6

Si no hay una factorización obvia, use el método de Newton en el dominio apropiado. Si necesita una solución exacta, no una aproximación, la única forma es con la solución general, que no es bonita.

El método de Newton es un método de aproximación de soluciones a ecuaciones “siguiendo las tangentes”. Es decir, si deseas resolver

[matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas]

para [math] x \ in \ mathbb {R} [/ math], que tiene una solución [math] x ^ * [/ math], sigue la línea tangente desde el punto [math] (x_n, f (x_n) ) [/ math] volver al eje [math] x [/ math] para obtener [math] x_ {n + 1} [/ math], una solución más cercana (¡con suerte!).

La ecuación de la línea que pasa por ese punto con esa pendiente es

[matemáticas] \ frac {yf (x_n)} {x-x_n} = f ^ \ prime (x_n) [/ matemáticas].

Si elegimos [matemática] y = 0 [/ matemática] y [matemática] x = x_ {n + 1} [/ matemática] obtenemos

[matemáticas] x_ {n + 1} = x_n – \ frac {f (x_n)} {f ^ \ prime (x_n)} [/ matemáticas].

Este es el método de Newton.

Si comienza lo suficientemente cerca del punto que le interesa (llame a esto [matemática] x_0 [/ matemática]) podrá iterar y obtener con bastante rapidez una solución que sea “suficientemente buena” para la mayoría de los propósitos prácticos.

Sin embargo, es posible que haya notado algo sobre esa fórmula de iteración que podría causar problemas. ¿Lo ves? Piénselo por un momento antes de seguir leyendo, si no lo sabe.

¡No te engañes!

¿Entendido?

OK, es esa fracción. Si la derivada es cero para alguna [matemática] x_n [/ matemática], la línea recta ya no se cruza con el eje [matemática] x [/ matemática]. ¡Tenemos un problema! Si eso sucede, debe intentarlo nuevamente desde una [matemática] x_0 [/ matemática] diferente.

Pero incluso si la derivada es pequeña, puede causar problemas, porque cuanto más pequeña sea la derivada, más lejos aterrizará la tangente de donde desea. Es por eso que mencioné que [math] x_0 [/ math] está “lo suficientemente cerca”. También se basa en que la función se comporta “bien” y no tiene demasiadas oscilaciones entre [math] x_n [/ math] y [math] x ^ * [/ math]. Esta es también la razón por la que mencioné que cada iteración es un punto más cercano a la solución.

Otro problema que puede surgir es que terminará en un bucle, y ya no se acercará a ningún punto sino a una secuencia de puntos. Si esto sucede, debe darse cuenta de que ha realizado “demasiadas” iteraciones y detenerse; comenzar con una [matemática] x_0 [/ matemática] diferente.

Ahora, ¿por qué usarías este método si tiene todas estas advertencias?

Porque es un método tan rápido como sea posible de implementar. La bisección, que mantiene su solución siempre atrapada en el medio de otros dos puntos, converge lentamente; pero convergerá, y no requiere el cálculo de derivados potencialmente complicados. Newton, sin embargo, converge un orden de magnitud más rápidamente para alcanzar la misma precisión, cuando funciona (que es la mayor parte del tiempo, si su función inicial es lo suficientemente agradable).

El método de Newton puede extenderse a funciones y variables multidimensionales, pero lo dejaré como un ejercicio de investigación si necesita saberlo.

Answer 7

Sustitución de Vieta

Nos estamos refiriendo a las ecuaciones en forma de [matemáticas] x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Si no está en esta forma, puede transformarse fácilmente en la forma dividiendo el coeficiente del término [matemática] x ^ 3 [/ matemática]. Luego sustituya [matemática] x [/ matemática] [matemática] = y- \ frac {a} {3} [/ matemática]

Si realmente hace el cálculo, debe tener una ecuación en la forma cúbica deprimida [matemática] y [/ matemática] [matemática] ^ 3 + py + q = 0 [/ matemática] donde [matemática] p = b- \ frac {a ^ 2} {3} [/ matemáticas] y [matemáticas] q = \ frac {2a ^ 3} {27} – \ frac {ab} {3} + c [/ matemáticas]

Esta sustitución se conoce bastante temprano, pero debe sustituir [matemática] y [/ matemática] [matemática] = z- \ frac {p} {3z} [/ matemática], que no es tan fácil de pensar.

Entonces deberías obtener algo como [matemáticas] z ^ 6 + qz ^ 3- \ frac {p ^ 3} {27} = 0 [/ matemáticas]. ¡ECUACIÓN CUADRÁTICA!

Luego resuelva para z, (solo una solución servirá) e introduzca otra constante llamada raíz cúbica de la unidad donde [matemáticas] \ omega = \ frac {1} {2} + \ frac {\ sqrt {3}} {2} i [/matemáticas]

La raíz de la ecuación original será [matemáticas] z_1- \ frac {p} {3z_1} – \ frac {a} {3}, \; \; \ omega z_1- \ frac {p} {3 \ omega z_1} – \ frac {a} {3}, \; \; \ omega ^ 2 z_1 – \ frac {p} {3 \ omega ^ 2 z_1} – \ frac {a} {3} [/ math].

Método numérico

En realidad, esto se puede aplicar a todas las ecuaciones de tipo polinomial (definitivamente para las de grado impar, pero para las ecuaciones de grado par, si tiene raíces reales). No sé si hay un nombre para eso.

Nuevamente, nos estamos refiriendo a las ecuaciones en forma de [matemáticas] x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas].

Luego tenemos una solución aproximada para x, por ejemplo [math] x_0 [/ math]. Luego usamos la división larga polinómica para dividir la ecuación original por [matemática] (x-x_0) ^ 2 [/ matemática]. Después de eso, obtienes el cociente [matemáticas] Px + Q [/ matemáticas], y el resto [matemáticas] px + q [/ matemáticas]. Luego elegimos [matemáticas] x_1 = – \ frac {q} {p} [/ matemáticas], que es una mejor estimación de la ecuación. Para obtener una estimación aún mejor, simplemente divida la ecuación original entre [matemáticas] (x-x_1) ^ 2 [/ matemáticas], y repita el proceso nuevamente. Puede obtener la solución con bastante rapidez.

¡Creo que estos dos métodos no se mencionan en las respuestas de otros y espero que esto pueda ayudarlo!

Answer 8

Cuando resuelve una ecuación cuadrática, intenta obtener 2 corchetes dobles () (). Sin embargo, en una ecuación cúbica, se vuelve un poco más difícil, está intentando obtener 3 corchetes () () (), todos los cuales contienen una ecuación lineal. Para hacer eso, primero debe encontrar una ecuación lineal y una ecuación cuadrática que encajen en la ecuación cúbica (x + c) (ax² + bx + c). Luego, después de tener una fórmula cuadrática, generalmente puede factorizarla o usar una ecuación cuadrática para encontrar 2 ecuaciones lineales más. (X + a) (x + b) (x + c) y la respuesta de x sería -a, -b, – c. Entonces, ¿cómo se obtiene una fórmula cuadrática y lineal? Utiliza el teorema del factor: sustituye enteros en ecuaciones hasta que = 0. Digamos que obtuviste 2 como uno de los números para x que te da = 0, entonces tendrías la ecuación de (x-2) (ax² + bx + c). Entonces, ahora todo lo que necesita hacer es encontrar la ecuación cuadrática, ¿y cómo lo hace? División factorial. Tomas tu fórmula cúbica y la divides por tu lineal para obtener nuestra cuadrática. Hay varias formas en que puede hacer esto, y la forma en que lo hago es demasiado compleja y desperdicia tiempo: solo desea que su cuadrático y lineal se multipliquen para hacer su ecuación cúbica. Obtener ax² y c es fácil, ya que ax² multiplicado por ax en la ecuación lineal debería darte x³. Los números sin la x en ambos corchetes pueden multiplicarse, por lo tanto, forman solo un número regular o c. Después de esto, deberías poder factorizar la ecuación cuadrática, dándote un total de 3 ecuaciones lineales, proporcionándote 3 respuestas diferentes.

Espero que esto haya ayudado, pero si desea que haga un ejemplo trabajado, no dude en proporcionarme una ecuación cúbica para resolver

Answer 9

Aquí están las tres soluciones a la ecuación cúbica general: ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0.

Esto parece horrible porque (para decirlo simplemente) lo es, si este es su único medio de solución. Obviamente, siempre trate de factorizar el polinomio antes de recurrir a esta bestia. Comience con la regla de signos de Descartes y luego use el teorema de la raíz racional y el teorema de la raíz conjugada compleja (si a + bi es una solución, entonces también lo es a-bi).

Si no puede factorizar, intente con métodos numéricos (el método de Newton siempre es una opción) a menos que desee una respuesta algebraica.

Tu ÚLTIMO recurso debería ser usar este monstruo.

¡Salud!

Answer 10

Resolviendo Ecuaciones Cúbicas

¿Cuál es el teorema del resto?
Si un polinomio, f (x), se divide por x – k, el resto es igual a f (k).

¿Cuál es el teorema del factor?
x – k es un factor del polinomio f (x) si y solo si f (k) = 0

¿Cómo resolver ecuaciones cúbicas usando el teorema del factor?
consideraremos cómo resolver ecuaciones cúbicas de la forma
px3 + qx2 + rx + s = 0 donde p, q, r y s son constantes utilizando el teorema del factor y la división sintética.
Ejemplo:

Encuentre las raíces de f (x) = 2x ^ + 3x ^ 2 – 11x – 6 = 0, dado que tiene al menos una raíz entera.

Solución:

Como la constante en la ecuación dada es un 6, sabemos que la raíz entera debe ser un factor de 6. Los valores posibles son

Paso 1: Use el teorema del factor para probar los posibles valores por prueba y error.

f (1) = 2 + 3 – 11 – 6 ≠ 0
f (–1) = –2 + 3 + 11 – 6 ≠ 0
f (2) = 16 + 12 – 22 – 6 = 0
Encontramos que la raíz entera es 2.

Paso 2: Encuentra las otras raíces por inspección o por división sintética.
2x ^ 3 + 3x ^ 2 – 11x – 6
= (x – 2) (ax ^ 2 + bx + c)
= (x – 2) (2x ^ 2 + bx + 3)
= (x – 2) (2x ^ 2 + 7x + 3)
= (x – 2) (2x + 1) (x +3)

Entonces, las raíces son 2, -1 / 2 y -3

Ejemplo:

Resolver la ecuación cúbica x ^ 3-7x ^ 2 + 4x + 12 = 0

Solución:

Deje f (x) = x ^ 3– 7x ^ 2 + 4x + 12
Encontramos que f (–1) = –1 – 7 – 4 + 12 = 0

Entonces, (x + 1) es un factor de f (x)

x ^ 3-7x ^ 2 + 4x + 12
= (x + 1) (x ^ 2-8x + 12)
= (x + 1) (x – 2) (x – 6)

Entonces, las raíces son –1, 2, 6

Answer 11

1. 1
   Asegúrese de que su cúbico tenga una constante. Si su ecuación en la forma ax3 + bx2 + cx + d = 0 tiene un valor distinto de cero para d, podemos usar este método a continuación para resolverlo.
• Por ejemplo, supongamos que se nos da la ecuación 2 × 3 + 9 × 2 + 13x = -6. En este caso, obtener un 0 en el lado derecho del signo igual requiere que agreguemos 6 a ambos lados. En nuestra nueva ecuación, 2 × 3 + 9 × 2 + 13x + 6 = 0, d = 6.
2. 

   2
   Encuentre los factores de a y d . Para resolver su cúbico, comience por encontrar los factores de a (el coeficiente del término x3) yd (la constante al final de la ecuación). Como recordatorio rápido, los factores son los números que pueden multiplicarse para formar otro número. Por ejemplo, ya que puedes hacer 6 multiplicando 6 y tiempo; 1 y 2 × 3, 1, 2, 3 y 6 son los factores de 6.

• En nuestro problema de ejemplo, a = 2 yd = 6. Los factores de 2 son 1 y 2 . Los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6.
3. 

   3
   Divide los factores de a por los factores de d . Luego, haga una lista de los valores que obtiene dividiendo cada factor de a por cada factor de d. Esto generalmente dará como resultado muchas fracciones y algunos números enteros. Las soluciones enteras a su ecuación cúbica serán uno de los números enteros en esta lista o el negativo de uno de estos números.

• En nuestra ecuación, tomar los factores de a (1, 2) sobre los factores de d (1, 2, 3, 6) obtiene esta lista: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 y 2 / 3. A continuación, agregamos los negativos a la lista para completarla: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2 , 2/3 y -2/3 . Las soluciones enteras de nuestra ecuación cúbica se encuentran en algún lugar de esta lista.
4. 

   4 4
   Use la división sintética o verifique sus respuestas manualmente. Una vez que tenga su lista de valores, puede encontrar las respuestas enteras a su ecuación cúbica conectando rápidamente cada entero manualmente y encontrando cuáles son iguales a cero. Sin embargo, si no desea pasar el tiempo haciendo esto, hay un método un poco más rápido que involucra una técnica llamada división sintética. Básicamente, querrás dividir sintéticamente tus valores enteros por los coeficientes originales a, b, c y d en tu ecuación cúbica. Si obtiene un resto de 0, su valor es una de las respuestas de la ecuación cúbica.

Fuente- wikihow

Answer 12

Hay una fórmula general para las raíces de [math] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d [/ math] y puedes encontrarla en el artículo de Wikipedia sobre la función cúbica, pero no es algo que quieras hacer a mano .

Answer 13

Jacob ya ha publicado la fórmula completa.

También puedes resolverlo gráficamente. He hecho esto usando una aplicación web de calculadora gratuita Desmos, recientemente.

Puede ayudarlo a visualizar cómo las coordenadas afectan la solución. Mi gráfico también muestra soluciones complejas, ya que en realidad he adoptado esa monstruosa fórmula en este gráfico.

También puedes jugar con él: Ecuación cúbica

Answer 14

Hay muchas otras respuestas aquí que dan explicaciones realmente agradables, pero aquí simplemente le daré una “fórmula cúbica”, que podría usar para forzar una solución por fuerza bruta. ADVERTENCIA: es realmente muy desordenado, y no recomiendo memorizarlo (en todo caso, intente derivarlo). Resuelve la ecuación [matemática] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ matemática].

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[matemáticas] x_1 = \ frac {\ sqrt [3] {\ sqrt {\ left (27 a ^ 2 d-9 ab c + 2 b ^ 3 \ right) ^ 2-4 \ left (b ^ 2-3 ac \ right) ^ 3} -27 a ^ 2 d + 9 ab c-2 b ^ 3}} {3 \ sqrt [3] {2} a} – \ frac {\ sqrt [3] {2} \ left ( 3 a cb ^ 2 \ right)} {3 a \ sqrt [3] {\ sqrt {\ left (27 a ^ 2 d-9 ab c + 2 b ^ 3 \ right) ^ 2-4 \ left (b ^ 2-3 ac \ right) ^ 3} -27 a ^ 2 d + 9 ab c-2 b ^ 3}} – \ frac {b} {3 a} [/ math]

.

[matemáticas] x_2 = – \ frac {\ left (1-i \ sqrt {3} \ right) \ sqrt [3] {\ sqrt {\ left (27 a ^ 2 d-9 ab c + 2 b ^ 3 \ derecha) ^ 2-4 \ izquierda (b ^ 2-3 ac \ derecha) ^ 3} -27 a ^ 2 d + 9 ab c-2 b ^ 3}} {6 \ sqrt [3] {2} a} + \ frac {\ left (1 + i \ sqrt {3} \ right) \ left (3 a cb ^ 2 \ right)} {3 \ 2 ^ {2/3} a \ sqrt [3] {\ sqrt { \ left (27 a ^ 2 d-9 ab c + 2 b ^ 3 \ right) ^ 2-4 \ left (b ^ 2-3 ac \ right) ^ 3} -27 a ^ 2 d + 9 ab c- 2 b ^ 3}} – \ frac {b} {3 a} [/ math]

.

[matemáticas] x_3 = – \ frac {\ left (1 + i \ sqrt {3} \ right) \ sqrt [3] {\ sqrt {\ left (27 a ^ 2 d-9 ab c + 2 b ^ 3 \ derecha) ^ 2-4 \ izquierda (b ^ 2-3 ac \ derecha) ^ 3} -27 a ^ 2 d + 9 ab c-2 b ^ 3}} {6 \ sqrt [3] {2} a} + \ frac {\ left (1-i \ sqrt {3} \ right) \ left (3 a cb ^ 2 \ right)} {3 \ 2 ^ {2/3} a \ sqrt [3] {\ sqrt { \ left (27 a ^ 2 d-9 ab c + 2 b ^ 3 \ right) ^ 2-4 \ left (b ^ 2-3 ac \ right) ^ 3} -27 a ^ 2 d + 9 ab c- 2 b ^ 3}} – \ frac {b} {3 a} [/ math]

Answer 15

¡La solución para el cubic general no es tan simple como para el cuadrático!

Si [math] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ math], calcule el discriminante del cúbico:

[matemáticas] D = 18abcd-4b ^ 3d + b ^ 2c ^ 2-4ac ^ 3-27a ^ 2d ^ 2 [/ matemáticas]

Si D> 0, hay tres soluciones reales; si D = 0, algunas de las tres soluciones son iguales pero son reales; si D <0, dos de las soluciones son conjugadas complejas.

Calcular

[matemáticas] E = b ^ 2-3ac [/ matemáticas]

[matemáticas] F = 2b ^ 3-9abc + 27a ^ 2d [/ matemáticas]

[matemática] C = \ sqrt [3] {\ frac {F \ pm \ sqrt {-27a ^ 2D}} {2}} [/ matemática]

[matemáticas] w = \ frac {-1+ \ sqrt {3} i} {2} [/ matemáticas]

El valor w es una raíz cúbica de 1. Entonces las tres soluciones (k = 0,1,2) son:

[matemáticas] x = – \ frac {1} {3a} \ bigg (b + w ^ kC + \ frac {E} {w ^ kC} \ bigg) [/ math]

¡Puede que no se vean muy bonitas! 🙂

https://en.wikipedia.org/wiki/Cu …

Answer 16

Conéctelo a un solucionador. Aquí hay uno:

Manual de referencia: ecuaciones cúbicas

Y mira esto, aquí hay un lugar donde realmente lo uso:

Peteysoft / libmsci

Answer 17

Las ecuaciones cúbicas se pueden resolver de varias maneras. Curiosamente, si bien las ecuaciones cuadráticas se resuelven fácilmente mediante una gran cantidad de métodos algorítmicos, así como una fórmula fácil de usar, las ecuaciones cúbicas son una bestia compleja. Extraño dado que, el grado, el poder más alto, solo se incrementa en uno.

La forma general de una ecuación cúbica es

Aquí hay algunas formas de abordar este fenómeno.

1. ¡Comprueba los factores! Con mucho, el método manual más eficiente es utilizar el teorema del factor.

Entonces, para f (x) = 0, si f (a) = 0, entonces x – a es factor.

1. Utilice un método numérico como Newton – Raphson
2. Trazar un gráfico usando un software de gráficos
3. Trace un gráfico usted mismo y calcule
4. Utilice el software Wolfram o similar.

El método utilizado depende de la razón para resolver en primer lugar.

¡Disfrutar!

Answer 18

La cuestión de encontrar raíces de cualquier polinomio dado es, de hecho, la cuestión de factorizar ese polinomio en factores lineales. Factorizar un polinomio cúbico general es un problema bastante complicado, pero afortunadamente hay una familia paramétrica 2 de polinomios cúbicos que son factorizables y estos son los siguientes:

(1) x ^ 3-3 * (u * v) * x- (u ^ 3 + v ^ 3) = (x- (u + v)) * (x ^ 2 + (u + v) * x + ( u ^ 2-u * v + v ^ 2))

donde u, v son los 2 parámetros.

Una vez que somos conscientes de este hecho, podemos aplicarlo a cualquier polinomio cúbico de la forma especial:

f (x) = x ^ 3-3 * p * x-2 * q

con 2 números dados p, q, solo necesitamos encontrar los 2 números u, v que satisfacen las 2 ecuaciones:

(2) u ^ 3 + v ^ 3 = 2 * q, u * v = p,

es decir, u ^ 3, v ^ 3 son las 2 soluciones de la ecuación cuadrática:

(3) z ^ 2-2 * q * zp ^ 3 = 0: u ^ 3 = q + sqrt (q ^ 2-p ^ 3), v ^ 3 = q-sqrt (q ^ 2-p ^ 3) ,

y deducir esa solución de la ecuación cúbica

f (x) = x ^ 3-3 * p * x-2 * q = 0

es:

(4) x (1) = u + v (solución de Cardano).

Las otras 2 soluciones son las soluciones de las ecuaciones cuadráticas:

(5) x ^ 2 + (u + v) * x + (u ^ 2-u * v + v ^ 2) = 0.

De acuerdo con las ecuaciones (2) descubrimos que el discriminante de (4) es

(6) (u + v) ^ 2-4 * (u ^ 2-u * v + v ^ 2) = 3 * (4 * px (1) ^ 2)

y, por lo tanto, las otras 2 soluciones de la ecuación cúbica dada son:

(7) x (2,3) = (- x (1) + – sqrt (3 * (4 * px (1) ^ 2))) / 2.

La etapa final del estudio de la solución de la ecuación cúbica general de la forma:

F (w) = w ^ 3 + 3 * a * w ^ 2 + 6 * b * w + 2c = 0

es traduciendo la variable: w = xa, que transforma la ecuación dada en:

F (xa) = x ^ 3-3 * p * x-2 * q = 0, (p = a ^ 2-2 * b, q = – * a ^ 3 + 2 * a * bc)

que ya “sabemos” cómo resolver.

Answer 19

puede usar el teorema del factor que establece que si a es una solución de la ecuación, entonces (xa) es un factor de la ecuación. entonces puedes escribir la ecuación cúbica en términos del factor lineal que encontraste y un factor cuadrático. Escribe el factor cuadrático como ax ^ 2 + bx + c. Multiplique su ecuación y equípela a la ecuación cúbica original y compare coffecients en x en el lado izquierdo y derecho para obtener valores de a, byc.

Answer 20

A menos que una ecuación cúbica se factorice fácilmente, use métodos numéricos. Hay una fórmula, pero no vale la pena. La fórmula involucra tanto raíces cuadradas como raíces cúbicas y estas deben ser aproximadas de todos modos (a menos que la ecuación sí factore) para que no haya ninguna ventaja. Incluso si la ecuación factoriza, las raíces cuadradas suelen ser irracionales.

Si debe usar la fórmula para resolver ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0, deje y = x – b / 3a y sustitúyalo en la ecuación. Esto da una ecuación para y, ay ^ 3 + Cy + D = 0 y puede usar la fórmula de Cardano. Si en la ecuación original, c = 0, podría dejar y = 1 / x y usar la fórmula de Cardano.