¿De qué maneras hay que demostrar [matemáticas] \ sum \ limits_ {i = 1} ^ {n} F_i = F_ {n + 2} -F_2 [/ matemáticas] donde [matemáticas] F_n [/ matemáticas] es la [matemáticas] n ^ {\ text {th}} [/ math] número de Fibonacci?

Answer 1

La prueba basada en la inducción es bastante simple. En el paso de hipótesis, asume que, [matemática] \ sum_ {i = 1} ^ k F_i = F_ {k + 2} – F_2 [/ matemática] y luego en el paso de inducción, [matemática] \ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} F_i = \ sum_ {i = 1} ^ k F_i + F_ {k + 1} = F_ {k + 2} – F_2 + F_ {k + 1} = F_ {k + 3} – F_2 [/ matemáticas]. Por lo tanto demostrado.

---

Aquí hay un método alternativo para probar. Deje que [math] A = \ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix} [/ math]. Ahora,

[matemáticas] A ^ n = \ begin {bmatrix} F_ {n + 1} & F_n \\ F_n & F_ {n-1} \ end {bmatrix} \ tag {1} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n F_i = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ n A ^ i \ right) _ {1,2} \ tag {2} [/ math]

Ahora,

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n A ^ i = (A ^ {n + 1} – A) (A – I) ^ {- 1} \ tag {3} [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que (3) no es muy difícil de probar y, de hecho, tiene una prueba muy similar a la utilizada para probar series geométricas finitas.

Tenga en cuenta que,

[matemáticas] (A – I) ^ {- 1} = A \ etiqueta {4} [/ matemáticas]

Por lo tanto, de (3) y (4),

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n A ^ i = A ^ {n + 2} – A ^ 2 \ tag {5} [/ matemáticas]

Por lo tanto, de (1), (2) y (5),

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ n F_i = F_ {n + 2} – F_2 \ etiqueta {6} [/ matemáticas]

Answer 2

A2A – Morderé. Comenzamos llamando a la premisa que queremos demostrar como [math] p_n [/ math]. Es decir,

[matemáticas] p_n \ equiv F_1 + F_2 + \ cdots + F_n = F_ {n + 2} – F_2 [/ matemáticas]

Escribe la expresión para demostrar lo siguiente:

[matemáticas] F_1 + F_2 + \ cdots + F_n = F_ {n + 1} + F_n – F_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ iff F_1 + F_2 + \ cdots + F_ {n – 1} = F_ {n + 1} – F_2 [/ matemáticas]

Así,

[matemáticas] p_ {n} \ iff p_ {n – 1} \ iff \ cdots \ iff p_1 [/ matemáticas]

Pero, [matemática] p_1 \ equiv F_1 = F_3 – F_2 [/ matemática], que es por la definición de la secuencia de Fibonacci. Por lo tanto, la premisa es válida para todas [matemáticas] n [/ matemáticas].

Answer 3

Prueba 1: –

[matemáticas] F_1 = F_3 – F_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] F_2 = F_4 – F_3 [/ matemáticas]

[matemáticas] F_3 = F_5 – F_4 [/ matemáticas]

[matemáticas]… \ hspace {1cm}… [/ matemáticas]

[matemáticas]… \ hspace {1cm}… [/ matemáticas]

[matemáticas]… \ hspace {1cm}… [/ matemáticas]

[matemáticas] F_ {n-1} = F_ {n + 1} – F_ {n} [/ matemáticas]

[matemáticas] F_ {n} = F_ {n + 2} – F_ {n + 1} [/ matemáticas]

sumando todas estas ecuaciones, en el LHS obtendremos [matemática] \ displaystyle F_1 + F_2 +… + F_ {n-1} + F_n = \ sum_ {i = 1} ^ {n} F_i [/ ​​matemática]

y en el RHS, [matemáticas] F_3 [/ matemáticas] y [matemáticas] -F_3 [/ matemáticas] se cancelan, [matemáticas] F_4 [/ matemáticas] y [matemáticas] -F_4 [/ matemáticas] se cancelan, [matemáticas] … [/ Math], [math] F_ {n} [/ math] y [math] -F_ {n} [/ math] se cancelan, [math] F_ {n + 1} [/ math] y [math] -F_ {n + 1} [/ math] se cancela,

así que en el RHS solo nos queda [math] F_ {n + 2} – F_ {2} [/ math]

así que después de sumar todas estas ecuaciones, finalmente nos queda la ecuación:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} F_i = F_ {n + 2} – F_ {2} [/ matemáticas]

Otra forma de hacer lo mismo es: –

tome la relación de recurrencia de la serie de Fibonacci:

[matemáticas] F_i = F_ {i-1} + F_ {i-2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica F_i – F_ {i-1} = F_ {i-2} [/ matemáticas]

aplique [matemática] \ displaystyle \ sum_ {i = 3} ^ {n + 2} [/ matemática] en ambos lados:

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sum_ {i = 3} ^ {n + 2} (F_i – F_ {i-1}) = \ sum_ {i = 3} ^ {n + 2} F_ {i-2} [/matemáticas]

ahora, los telescopios LHS a [matemática] F_ {n + 2} – F_2 [/ matemática]:

[matemáticas] \ displaystyle \ implica F_ {n + 2} – F_2 = \ sum_ {i = 3} ^ {n + 2} F_ {i-2} [/ matemáticas]

y, el RHS puede reescribirse como:

[matemáticas] \ displaystyle \ implica F_ {n + 2} – F_2 = F_ {1} + F_ {2} +… + F_ {n + 2-2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica F_ {n + 2} – F_2 = F_ {1} + F_ {2} +… + F_ {n + 0} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica F_ {n + 2} – F_2 = F_ {1} + F_ {2} +… + F_ {n} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica F_ {n + 2} – F_2 = \ sum_ {i = 1} ^ {n} F_ {i} [/ matemáticas]

QED

---

Prueba 2: –

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} F_i = F_ {n + 2} – F_ {2} [/ matemáticas]

demostremos primero que es cierto para [math] n = 1 [/ math]:

LHS [matemáticas] = \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {1} F_i = F_1 = 1 [/ matemáticas]

RHS [matemáticas] = F_ {1 + 2} – F_ {2} = F_ {3} – F_ {2} = 2 – 1 = 1 [/ matemáticas]

LHS [matemática] = [/ matemática] RHS [matemática] \ por lo tanto [/ matemática] la ecuación es verdadera para [matemática] n = 1 [/ matemática]

supongamos que es cierto para [matemáticas] n = k [/ matemáticas]:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {k} F_i = F_ {k + 2} – F_ {2} [/ matemáticas]

ahora demostremos que es cierto para [math] n = k + 1 [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {k} F_i = F_ {k + 2} – F_ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} F_i = F_ {k + 1 + 2} – F_ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica \ sum_ {i = 1} ^ {k + 1} F_i = F_ {k + 3} – F_ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica F_ {k + 1} + \ sum_ {i = 1} ^ {k} F_i = F_ {k + 3} – F_ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica F_ {k + 1} + F_ {k + 2} – F_ {2} = F_ {k + 3} – F_ {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ require {cancel} \ displaystyle \ implica F_ {k + 1} + F_ {k + 2} \ cancel {- F_ {2}} = F_ {k + 3} \ cancel {- F_ {2}} [/matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle \ implica F_ {k + 3} = F_ {k + 2} + F_ {k + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] [/ matemáticas] ahora, se sabe que esta ecuación a la que llegamos es verdadera por la relación de recurrencia de la secuencia de Fibonacci, es decir, en [matemáticas] F_ {i} = F_ {i-1} + F_ {i-2} [/ math], agregar 3 a cada índice dará [math] F_ {i + 3} = F_ {i-1 + 3} + F_ {i-2 + 3} \ implica F_ {i + 3} = F_ { i + 2} + F_ {i + 1} [/ math] y eso es lo mismo que [math] F_ {k + 3} = F_ {k + 2} + F_ {k + 1} [/ math], ya que llegó a un resultado que se deduce directamente de una de las definiciones de la secuencia de Fibonacci, por lo tanto, también es cierto para [matemáticas] n = k + 1 [/ matemáticas], y por lo tanto, según el principio de inducción matemática,

[math] \ displaystyle \ sum_ {i = 1} ^ {n} F_i = F_ {n + 2} – F_ {2} [/ math] es verdadero.

Por lo tanto, probado.