Trabajemos en un marco de coordenadas giratorio sobre el centro de masa, girando con una velocidad angular [matemática] \ omega [/ matemática] igual a la velocidad angular de la luna que orbita la Tierra [es decir, nuestro sistema de coordenadas gira con el mismo período que la luna, y en la misma dirección].
Hagamos que [math] x_E [/ math] denote la posición de la Tierra, [math] x_M [/ math] denote la posición de la luna, y [math] x [/ math] denote la posición de nuestra “nueva” nave espacial . Deje que [math] M_E [/ math], [math] M_M [/ math] y [math] m [/ math] denotan las masas de la Tierra, la luna y las naves espaciales, respectivamente.
Tenga en cuenta que (bajo el supuesto de que la nave espacial, debido a su baja masa ([matemáticas] m \ ll M_M, M_E [/ matemáticas]), no perturba el período del sistema de la Luna / Tierra) podemos tomar [matemáticas] x_E [/ math] y [math] x_M [/ math] para que sean constantes, porque estamos girando nuestro marco de coordenadas de la misma manera que se mueven. [¡Es por eso que hacemos esta elección coordinada!]
Ahora, con estas coordenadas encontradas, ¿cómo encontramos el potencial?
- ¿Cuál es el valor de x en la ecuación dada: X ^ 4 + x ^ (1/4) = 18?
- Cómo resolver [matemáticas] \ displaystyle \ int_0 ^ 1 \ int_0 ^ 1 \ cdots \ int_0 ^ 1 \ frac {dx_1 \, dx_2 \, \ cdots \, dx_n} {1-x_1x_2 \ cdots x_n} [/ math]
- Una elipse tiene la siguiente ecuación [matemáticas] 0.2x ^ 2 + 0.6y ^ 2 = 0.6 [/ matemáticas]. ¿Cuál es la parte de la ecuación de la gráfica que queda del eje y y la parte de la ecuación de la gráfica que está debajo del eje x?
- ¿Cómo resuelvo la ecuación de Schrodinger para números fraccionarios de electrones?
- ¿Cuál es la ecuación publicada más complicada, como en el mayor número de símbolos discretos en una sola ecuación publicada en una publicación académica?
Bueno, obviamente, comenzamos con la energía potencial real, [matemáticas] V (x) = – Gm \ left [\ frac {M_E} {| x-x_E |} + \ frac {M_M} {| x-x_M | } \ right] [/ math]. Sin embargo, eso no es todo; que nos estamos perdiendo
Bueno, dado que estamos trabajando en un marco de coordenadas giratorio, tenemos un pseudoforcio centrífugo, [math] F_C = m \ omega ^ 2 | x | [/ math], también, hacia afuera desde el origen de nuestro marco de coordenadas (el centro de masa). Esto produce un potencial efectivo adicional, [matemática] V_ {eff} (x) = m \ omega ^ 2 | x | ^ 2 [/ matemática].
Si agregamos esto, entonces obtenemos el potencial total, [matemática] V_ {tot} = m \ left [\ omega ^ 2 | x | ^ 2-G \ left (\ frac {M_E} {| x-x_E | } + \ frac {M_M} {| x-x_M |} \ right) \ right] [/ math]
Ese potencial total es lo que se traza (o sus curvas de nivel, de todos modos).
Los puntos en los que el gradiente es cero son los puntos de Lagrange. De manera equivalente, estos son los puntos en los que la fuerza total (incluida la seudo fuerza centrífuga) es cero.
¿Podríamos hacer este mismo análisis en un marco de coordenadas no giratorio?
Bueno, realmente no podríamos hacer el mismo análisis potencial, ¡porque todo se está moviendo! Eso parece bastante prohibitivo para trazar un potencial.
Sin embargo, podríamos determinar los puntos de Lagrange (en cualquier momento en particular), porque estos serían donde la fuerza total se suma a la fuerza centrípeta requerida sobre el centro de masa (para un objeto con una velocidad angular sobre ese punto de [matemáticas] \ omega [/ matemáticas]).