¿Cómo se resuelve [matemáticas] x ^ 2 = 2 ^ x [/ matemáticas] analíticamente?

Answer 1

En general, este tipo de ecuación no tiene (hasta donde se sabe) soluciones en términos de las funciones habituales (suma, resta, multiplicación, división, exponenciación, logaritmos). Eso esencialmente hace que tales ecuaciones sean irresolubles con métodos algebraicos “usuales”.

Por otro lado, esta función particular tiene dos soluciones “fáciles”, [matemática] x = 2 [/ matemática] y [matemática] x = 4 [/ matemática], que uno puede encontrar por inspección (quizás de un gráfico) y verificar. Esta ecuación tiene una tercera solución en torno a [math] x = -0.7666647 [/ math], y bien podría no tener una representación con las funciones habituales.

Si se nos permite usar funciones “especiales”, entonces el problema vuelve a resolverse. La función que hace el truco es la “función” Lambert W (que ni siquiera es una función, porque falla la prueba de línea vertical). (Gracias a Wolfram | Alpha que dio la solución en términos de la función W, algo que, antes de hoy, no sabía que tenía un nombre). Es la función inversa de [math] xe ^ x [/ math ]

[matemáticas] x ^ 2 = 2 ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] x = 2 ^ {\ frac {x} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] x ^ {- 1} = 2 ^ {- \ frac {x} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = x \ izquierda (2 ^ {- \ frac {x} {2}} \ derecha) [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = x \ izquierda (e ^ {x \ izquierda (- \ frac {\ ln (2)} {2} \ derecha)} \ derecha) [/ matemáticas]

Si [math] u = x \ left (- \ frac {\ ln (2)} {2} \ right) [/ math], entonces:

[matemáticas] – \ frac {\ ln (2)} {2} = x \ left (- \ frac {\ ln (2)} {2} \ right) \ left (e ^ {x \ left (- \ frac {\ ln (2)} {2} \ right)} \ right) [/ math]

[matemáticas] – \ frac {\ ln (2)} {2} = u \ left (e ^ {u} \ right) [/ math]

Eso deja [math] u = W \ left (- \ frac {\ ln (2)} {2} \ right) [/ math], donde W es la función Lambert W, entonces [math] x = \ frac {- 2} {\ ln {2}} W \ left (- \ frac {\ ln (2)} {2} \ right) [/ math]. Por supuesto, ese es un resultado bastante insatisfactorio, porque en efecto, simplemente estableció la solución en términos de una función que es la solución de una ecuación relacionada.

Eso también es insatisfactorio de una manera diferente: la función W tiene como máximo 2 valores (a lo largo de la línea real), pero teníamos tres soluciones. ¿Qué pasó con el último? En el plano complejo, la función inversa de [matemática] xe ^ x [/ matemática] es más que solo 2 valores. Otra parte de la función inversa de [math] xe ^ x [/ math] genera la tercera solución, así como muchas más.

Answer 2

La ecuación [matemáticas] x ^ 2 = 2 ^ x [/ matemáticas] tiene dos soluciones “obvias”: [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas]. Son “obvios” porque son relativamente fáciles de encontrar simplemente adivinando o dibujando los gráficos de las dos funciones involucradas, y una vez adivinados son triviales de verificar.

Hay una tercera solución con [math] x <0 [/ math]. También es bastante obvio que esta solución existe : solo considere el comportamiento general de las dos funciones para los valores negativos de [math] x [/ math] y verá que deben cruzarse al menos una vez; de hecho, no es difícil ver que se cruzan exactamente una vez en esa región.

Sin embargo, no es posible (¡creemos!) Escribir una fórmula explícita para esa solución mediante el uso de números racionales, operaciones aritméticas y las llamadas funciones elementales: exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas. Es posible escribir una expresión tan explícita usando una función decididamente menos estándar, la función Lambert W, y eso también es bastante sencillo.

Probar la afirmación negativa anterior está lejos de ser trivial, y de hecho no creo que tal prueba sea conocida. El hecho de que la solución pueda expresarse evaluando [matemáticas] W [/ matemáticas] en [matemáticas] \ ln (2) / 2 [/ matemáticas] (y haciendo algunos otros cálculos simples) no descarta la posibilidad de que haya es también otra expresión para esa misma solución usando funciones elementales evaluadas en números racionales.

Hay un artículo brillante y legible de Tim Chow sobre este tema, llamado ” ¿Qué es un número de formulario cerrado? ” (Disponible aquí). Se lo recomiendo a cualquier persona interesada en obtener una comprensión más profunda de esas preguntas. Es un poco sorprendente que muchas personas no duden en hacer la afirmación que hice anteriormente, acerca de que la solución negativa es imposible de escribir “en forma cerrada”, sin tener pruebas de ese hecho y, a menudo, sin siquiera poder expresar con precisión cuál es el reclamo

Answer 3

Estuve jugando con la versión generalizada de este problema hace un par de meses, [matemáticas] x ^ y = y ^ x [/ matemáticas]. Dependiendo del tipo de problema en cuestión, algunas soluciones podrían ser realmente fáciles y al menos una de ellas se puede encontrar mediante prueba y error. Esto es cierto para este problema en particular.

Dado que hay [math] 2 [/ math] ‘s en ambos lados de la ecuación, ¿puede [math] x = 2 [/ math] ser una solución? Podemos intentar.

[matemáticas] 2 ^ 2 = 2 ^ 2 [/ matemáticas], funciona!

Ahora, pondré [matemáticas] x = 2 ^ k [/ matemáticas] y veré si puedo resolver algo

[matemáticas] (2 ^ k) ^ 2 = 2 ^ {(2 ^ k)} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 2 ^ {2k} = 2 ^ {2 ^ k} [/ matemáticas]

Si pongo [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas], simplemente obtengo mi primera solución, [matemáticas] 2 ^ 2 = 2 ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

¿Qué sucede cuando pongo [matemáticas] k = 1,2,3… .. [/ matemáticas]

Si hago un gráfico, veré que [matemáticas] k = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] k = 2 [/ matemáticas] hace que esta ecuación sea válida. Es decir, [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] x = 4 [/ matemáticas] son ​​soluciones. Los otros valores simplemente harán que los lados izquierdo y derecho de la ecuación sean demasiado diferentes.

De acuerdo, haciendo un buen progreso. Pero tengo un último problema. ¿Debería parar aquí? Esta no es una ecuación polinómica que puedo adivinar fácilmente el número de soluciones. Entonces, es hora de otro juego de adivinanzas, ahora es donde más se mata mi capacidad mental. Quizás porque todavía no tengo suficiente conocimiento para enfrentar estos problemas. Intentaré con todo lo que pueda para ver si puedo sacar algo de eso.

Si yo digo

[matemáticas] f (x) = x ^ 2–2 ^ x [/ matemáticas] y poner

[matemáticas] f (0) = 0 ^ 2–2 ^ 0 = 0–1 = -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] f (-1) = (- 1) ^ 2–2 ^ {- 1} = 1- \ dfrac {1} {2} = \ dfrac {1} {2} [/ matemáticas]

Por el teorema del valor intermedio (IVT), una solución a [matemáticas] f (x) = 0 [/ matemáticas] se encuentra en el intervalo [matemáticas] (- 1,0) [/ matemáticas]. Ahora, podemos usar el método de bisección o el método de Newton-Raphson para aproximar la otra raíz.

Podemos usar el método NR ya que [matemática] x ^ 2 [/ matemática] es una función polinómica y [matemática] 2 ^ x [/ matemática] es una función exponencial, ambas son continuas y tienen derivadas continuas en [matemática] \ R [ /matemáticas]. Esto simplemente reducirá nuestro número de iteraciones a la mitad.

La fórmula es [matemáticas] x_ {n + 1} = x_n- \ dfrac {f (x_n)} {f ‘(x_n)} [/ matemáticas]

Elegiremos nuestro punto inicial [matemática] x_0 = -0.5 [/ matemática], utilizando el concepto de Método de bisección. Continuar con esta solución y realizar un par de iteraciones da [math] x \ approx -0.766665 [/ math]

Otra forma de encontrar la tercera solución podría ser mediante el uso de la función Lambert W o la función ProductLog.

[matemáticas] 2 ^ x = x ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1 = \ dfrac {x ^ 2} {2 ^ x} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1 = x ^ 2 e ^ {- x \ ln 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 1 = xe ^ {- \ frac {x \ ln 2} {2}} [/ matemáticas]

Tomando [matemáticas] y = \ dfrac {-x \ ln 2} {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica x = – \ dfrac {2y} {\ ln 2} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ ln 2 = 2ye ^ y [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica ye ^ y = \ dfrac {- \ ln 2} {2} [/ matemáticas]

[matemática] \ implica y = W \ izquierda (- \ dfrac {\ ln 2} {2} \ derecha) [/ matemática]

[matemáticas] \ implica – \ dfrac {x \ ln 2} {2} = W \ left (- \ dfrac {\ ln 2} {2} \ right) [/ math]

[matemáticas] \ implica x = – \ dfrac {2W \ left (- \ dfrac {\ ln 2} {2} \ right)} {\ ln 2} [/ math]

Parece que WolframAlpha también está de acuerdo.

Answer 4

[matemáticas] x ^ 2 = 2 ^ x [/ matemáticas] (1)

[matemática] \ Rightarrow x ^ {\ frac {1} {x}} = 2 ^ {\ frac {1} {2}} [/ matemática]

Lo que vale para cada [matemática] x = 2 ^ z [/ matemática] si,

[matemáticas] 2 ^ z = 2z [/ matemáticas] (2)

que claramente se cumple para z = 1,2.ie x = 2,4.

(1) también se puede reescribir como

[matemáticas] \ frac {1} {x} ln (\ frac {1} {x}) = \ frac {1} {2} ln (\ frac {1} {2}) [/ matemáticas]
o
[math] \ frac {1} {x} = W (\ frac {1} {2} ln (\ frac {1} {2})) [/ math], usando la función de registro del producto
[Función Lambert W] yx se pueden encontrar calculando RHS.
PD:
En este último caso, estamos usando la función inversa para resolver la ecuación y los valores pueden perderse en inversa multivalor.

Answer 5

Las matemáticas de la escuela secundaria no serán suficientes, así que tampoco:

• hazlo numéricamente

• use la función ProductLog (también numérica)
• haz lo que todos hacemos y ve a este sitio: x ^ 2 = 2 ^ x – Wolfram | Alpha,
  para encontrar esta trama:

Puede ver que hay tres soluciones: {2, 4 yx = -0.766665}

NÓTESE BIEN:
Tenga en cuenta que esta última solución no es [matemáticas] – \ frac {23} {30} = -0.76666666666…. [/ Matemáticas], aunque se acerca mucho:

Lo que revela que [matemáticas] {\ frac {23} {30}} ^ {\ frac {30} {23}} [/ matemáticas] es una aproximación bastante impresionante de [matemáticas] \ frac {1} {2} \ sqrt {2} [/ matemáticas], ¡hasta seis decimales!

---

También puede convertir el problema en una ecuación en la que [matemáticas] x [/ matemáticas] está en un lado. Para hacer esto, suba tanto el lado izquierdo a la potencia [matemática] \ frac {1} {2x} [/ matemática]

[matemáticas] x ^ 2 = 2 ^ x \ implica (x ^ 2) ^ {\ frac {1} {2x}} = (2 ^ x) ^ {\ frac {1} {2x}} \ implica x ^ { \ frac {1} {x}} = 2 ^ {\ frac {1} {2}} [/ math]

Para una gráfica de esta función [matemáticas] y = x ^ {\ frac {1} {x}} [/ matemáticas]:
x ^ (1 / x) = 2 ^ (1/2) – Wolfram | Alpha

¿De qué sirve esta trama? Bueno, el pico muestra que solo hay un número real positivo r , para el cual su ecuación:

[matemáticas] r ^ x = x ^ r [/ matemáticas]

Solo tiene una solución. Puede encontrar esto configurando la derivada:

diferenciar x ^ (1 / x) – Wolfram | Alpha

[matemáticas] \ frac {d} {dx} x ^ {\ frac {1} {x}} = -x ^ {\ frac {1} {x} -2} (log (x) -1) [/ matemáticas ]

a cero, lo que le mostrará que su espera para:

[matemáticas] r _ {\ text {una solución}} = x _ {\ text {peak}} = e [/ math]

Answer 6

Para x ∈ ℝ (conjunto de reales)
uno simplemente puede encontrar la solución trazando la gráfica de x ^ 2 y 2 ^ x

De la gráfica se desprende que x tiene tres valores reales posibles
x = {-0.7666, 2, 4}
GraphSketch

Answer 7

Cuando x = 2, x = 4 o x es aproximadamente -0.7666

Si alguna vez queda atrapado en un problema, siempre es bueno comenzar dibujando un gráfico o haciendo una tabla. En este caso

x x ^ 2 2 ^ x
-2 4 0.25
-1 1 0.5
0 0 1
1 1 2
2 4 4
3 9 8
4 16 16
5 25 32
6 36 64
10 100 1024

Como puede ver, ambos son iguales cuando x = 2 o x = 4.

También tenga en cuenta que antes de que ambos sean iguales, uno es más grande que el otro y después de que cambian. Por ejemplo,
en x = 1, 2 ^ x> x ^ 2
x = 2, 2 ^ x = x ^ 2
pero en x = 3, x ^ 2> 2 ^ x

Parecen cambiar en x = 2, x = 4 y en algún lugar entre x = -1 y 0, por lo que tendrían otra respuesta para x allí. El mejor paso a seguir desde aquí sería mover ambos términos a un lado para obtener una nueva ecuación
2 ^ x = x ^ 2
2 ^ x – x ^ 2 = 0
f (x) = 2 ^ x – x ^ 2

En este punto, tendríamos que usar el método The Newtons. La fórmula para ello es:
x [i + 1] = x [i] – f (x [i]) / f ‘(x [i])
Esta fórmula aproxima valores para x que harán que f (x) = 0. Cada vez que la compute, se acercará a un valor de x que hará que f (x) = 0.

Entonces necesitamos tomar la derivada de f (x)
f ‘(x) = 2 ^ x * ln (2) – 2x
y conecte estos dos a nuestra fórmula,
x [i + 1] = x [i] – (2 ^ x [i] – x [i] ^ 2) / (2 ^ x [i] * ln (2) – 2x [i])

Ahora necesitamos elegir un punto, establezca nuestra x [0] en, nuestro punto de partida. Como sabemos que el punto que estamos buscando está entre 0 y 1, bien comenzará con 0. (Si comenzáramos con 1, nuestra fórmula iría hacia 2 porque ese es el valor más cercano que hace que f (x) = 0).

x [0] = 0
x [1] = 0 – (2 ^ 0 – 0) / (2 ^ 0 * ln (2) – 0) = -1 / (1 * ln (2)) = -1 / ln (2) = -1.442 …
x [2] = -1.442 – (2 ^ (- 1.442…) – -1.442… ^ 2) / (2 ^ (- 1.442…) * ln (2) – 2 * -1.442…) = -0.897
…
x [10] = -0.7666

Entonces tenemos x = 2, 4 y aproximadamente -0.7666

(Aquí hay un enlace para el método de Newton)

Answer 8

Respondamos la pregunta general:
¿Cómo resolver [matemáticas] x ^ n = n ^ x [/ matemáticas] para cualquier n?

Supongamos x positivo (de lo contrario, la respuesta es diferente). ¡Toma el registro!

De las propiedades de registro que obtienes:

[matemáticas] n \ cdot \ log (x) = x \ cdot \ log (n) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ dfrac {\ log x} {x} = \ dfrac {\ log n} {n} [/ matemáticas]

Que tiene la solución trivial [matemáticas] x = n. [/ Matemáticas]

Pero generalmente hay otra solución. Elijamos base [math] e [/ math] (logaritmo natural). Entonces el gráfico de [math] f (x) = \ dfrac {\ log_e x} {x} [/ math] es:

Y a la derecha baja hacia cero. Observe que el máximo está en [matemáticas] x = e = 2.7183 … [/ matemáticas]

Entonces, para cualquier [matemática] n \ ge e [/ matemática] hay exactamente una [matemática] x [/ matemática] más pequeña que [matemática] e [/ matemática] para la cual se cumple la igualdad. También está claro en el gráfico que la solución entera existe solo para [matemáticas] x = 2; n = 4 [/ matemáticas] (lo que da la igualdad: [matemáticas] 2 ^ 4 = 4 ^ 2 [/ matemáticas]).

Answer 9

[matemáticas] 2 ^ x = x ^ 2 [/ matemáticas]

Tomando el registro de ambos lados:

[matemáticas] \ log (2 ^ x) = \ log (x ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] x \ log 2 = 2 \ log x [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ log x} {x} = \ frac {log 2} {2} [/ matemáticas]

Si tomas la derivada del lado izquierdo,

[matemáticas] \ frac {d} {dx} \ frac {\ log x} {x} = \ frac {1 = \ log x} {x ^ 2} [/ matemáticas]

y ponerlo a cero

[matemáticas] \ frac {1 = \ log x} {x ^ 2} = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] x = e [/ matemáticas]

puede ver que hay exactamente un extremo en [matemáticas] e [/ matemáticas]. (Y usted sabía que [math] e [/ math] se iba a involucrar de alguna manera). Esto significa que hay como máximo dos soluciones al problema, en lados opuestos de [math] e [/ math]. [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] debería ser obvio. El otro debe ser mayor que [math] e [/ math].

Como [math] \ frac {\ log {5}} {5} [/ math] es menor que [math] \ frac {\ log {2}} {2} [/ math], la otra respuesta debe ser menor que [matemáticas] 5 [/ matemáticas]. Si tiene razones para pensar que es un número entero, puede probar todos los números enteros entre [matemáticas] e [/ matemáticas] y [matemáticas] 5 [/ matemáticas]. De lo contrario, puede usar un método numérico para encontrar una solución aproximada.

Answer 10

Use la definición de exponenciación para cambiar el RHS a un exponente en base [math] e [/ math].

[matemáticas] x ^ 2 = 2 ^ x [/ matemáticas].

[matemáticas] x ^ 2 = e ^ {x \ ln 2} [/ matemáticas].

Intente cambiar un lado a la forma [math] ye ^ y [/ math].

[matemáticas] x = \ pm e ^ {\ frac {x \ ln 2} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ {- \ frac {x \ ln 2} {2}} x = \ pm 1 [/ matemáticas].

[matemáticas] e ^ {- \ frac {x \ ln 2} {2}} (- \ frac {x \ ln 2} {2}) = \ mp \ frac {\ ln 2} {2} [/ matemáticas] .

Aplique la función Lambert-W, que invierte la función [math] f (x) = xe ^ x [/ math].

[matemáticas] – \ frac {x \ ln 2} {2} = W (\ mp \ frac {\ ln 2} {2}) [/ matemáticas].

[matemáticas] x = – \ frac {2} {\ ln 2} W (\ mp \ frac {\ ln 2} {2}) [/ matemáticas].

Evalúe la función Lambert-W numéricamente, ya que no es expresable en términos de las operaciones elementales. Esto predice 4 soluciones, pero solo hay 3, por lo que probablemente una sea extraña.

Answer 11

El siguiente método converge con el valor exacto de la solución no trivial (x = –1 / y):

En calculadora científica:

Presione las teclas [C] [1] [=] en orden.

Haz el show:

(2 ^ (1 / (2 × ANS)) + ANS) / 2

Presione [=] repetidamente hasta que el valor y se fije en la pantalla. Entonces la solución es x = –1 / y (= –1 / ANS).

Editar:

Me gustaría justificar la respuesta pero mi inglés no es bueno. Sin embargo, resumiré algunos resultados que pueden ser útiles.

Si para algunos números positivos a , b es

y si ponemos c = 1 / a , d = 1 / b, entonces es fácil demostrar que también se aplicará

En la pregunta es a = 2, b = x, entonces tenemos

que se satisface para x = 2, 4. Esto está relacionado con el problema general de encontrar una y tal que ocurra

que se resuelve de muchas maneras (la derivada y ^ y es ( y ^ y ) (1 + ln y )). Lo más simple que he encontrado es la relación retrospectiva.

de donde fui llevado a la solución. No lo hice bien, en la respuesta usé el formulario

porque esto es más adecuado para valores más grandes de a . Entonces, la solución no trivial está dada por las relaciones

Answer 12

Si estás en el nivel secundario y has aprendido cálculo, entonces parece
que tienes que resolver la ecuación dada por vista o idea básica.
Manera directa: está claro que si a, b> 0 entonces a ^ b = b ^ a.

Por lo tanto, si x = 2, entonces 2 ^ x = x ^ 2 = 2 ^ 2.
Entonces, x = 2 es una raíz de 2 ^ x = x ^ 2.
Prueba formal con logaritmo y cálculo como se muestra a continuación.
2 ^ x = x ^ 2… (*)
Aplique log2 en ambos lados de (*), tenemos log2 x ^ 2 = log2 2 ^ x,
entonces 2 log2 x = x log2 2 = x,
Deje y = log2 x, obtenemos 2 y = 2 ^ y.

Aplique log2 en ambos lados, tenemos log2 (2y) = log2 2 + log2y
= 1 + log2y = log2 2 ^ y = y.

Sea f (y) = log2 y, ya que f ‘(y) = 1 / (yln2) yf (1) = 0.

Por el teorema del valor medio para f (y) en el intervalo [1, y] (o [y, 1]),

existe z ‘entre 0 e y tal que
(log2y – 0) / (y -1) = f ‘(z’) = 1 / (z ‘ln2)
Entonces, log2y = (y-1) / (z ‘ln2)
Por lo tanto, log2y – y + 1 = (y-1) / (z ‘ln2) – (y -1) = (y-1) [- 1+ 1 / (z’ ln2)]
Esto muestra que y = 1 es una raíz de la ecuación log2y – y + 1 = 0.
Y, por lo tanto, 2 ^ y = 2y tiene una raíz y = 1.
Cuando y = log2 x = 1, satisface log2y – y + 1 = 0, y por lo tanto también
satisface 2 ^ y = 2y.
Recuerde x = 2 ^ y, entonces x = 2 ^ 1 = 2 si y = 1.
Vemos que x = 2 es una raíz de la ecuación dada 2 ^ x = x ^ 2.

Además, f (2) = log2 2 = 1.
Por el teorema del valor medio para f (y) en el intervalo [y, 2],
existe z “entre y & 2 tal que
(log2 y – 1) / (y -2) = f ‘(z “) = 1 / (z” ln2)
Entonces, log2 y -1 = (y-2) / (z ‘ln2)
Por lo tanto, log2y – y + 1 = log2 y – 1 -y + 2 = (y-2) / (z ‘ln2) – (y-2)
= (y-2) [- 1 + 1 / (z “ln2)]
Por lo tanto, y = 2 satisface log2y – y + 1 = 0.
Del mismo modo, x = 2 ^ y = 4 también es una raíz de la ecuación dada 2 ^ x = x ^ 2.

Respuesta: Dos raíces 2 y 4.

Answer 13

Con la continuación analítica de la función Lambert W.

[matemáticas] x ^ 2 = 2 ^ x [/ matemáticas]

[matemáticas] (x \ neq0 \ implica x ^ {- 1} = 2 ^ {- \ frac {x} {2}}) \ land (x = 0 \ implica0 ^ 2 = 2 ^ 0) [/ matemática]

[matemáticas] (x \ neq0 \ implica \ frac {1} {x} = (e ^ {\ ln (2)}) ^ {- \ frac {x} {2}} \ land (x = 0 \ implica0 = 1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {1} {x} = e ^ {- \ frac {x \ ln (2)} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] 1 = xe ^ {- \ frac {x \ ln (2)} {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ frac {\ ln (2)} {2} = – \ frac {x \ ln (2)} {2} e ^ {- \ frac {x \ ln (2)} {2}} [ /matemáticas]

[matemáticas] W_n (- \ frac {\ ln (2)} {2}) = – \ frac {x \ ln (2)} {2} \ land n \ in \ mathbb {Z} [/ math]

[matemáticas] -2W_n (- \ frac {\ ln (2)} {2}) = x \ ln (2) \ land n \ in \ mathbb {Z} [/ math]

[matemáticas] x = – \ frac {2W_n (- \ frac {\ ln (2)} {2})} {\ ln (2)} \ land n \ in \ mathbb {Z} [/ math]

[matemáticas] x = 4 \ lor x = 2 \ lor x \ aprox-0.7667 \ lor x \ notin \ mathbb {R} [/ math]

Answer 14

Suponiendo que [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 2 ^ x [/ matemáticas] número positivo,

podemos escribir [math] log (x ^ 2) = log (2 ^ x) [/ math]

[matemáticas] 2log (x) = x (log2) [/ matemáticas]

[matemáticas] log (x) / x = log (2) / 2 [/ matemáticas]

Por la propiedad de similitud puede escribir, [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas]

Answer 15

De un vistazo x = 2 yx = 4 soluciones, y también debería haber un valor negativo, cuando cada lado es menor que 1, pero mayor que cero, porque ninguna x finita hace 2 ^ x = 0.

No tengo el conocimiento suficiente para encontrarlo analíticamente, excepto para notar:

2logx = xlog2 o

x / logx = 2 / log 2 = 6.643856 …

Pero el registro de negativo no está definido, por lo que se necesita un enfoque diferente.

La iteración de un simple algoritmo de tipo ‘dividir la diferencia’ como podemos hacer para la raíz cuadrada, etc.

f (x) = x ^ 2 = LHS … g (x) = 2 ^ x = RHS

Quiero f (x) = g (x)

f (0) = 0

f (-1) = 1> g (-1) = 1/2

f (-1/2) = 0.25

f (-3/4) = 0.5625

La solución está en (-1, -3 / 4) pero más cerca de -0.75

f (-0.8) = 0.64> g (-0.8) = 0.574 …

Solución en (-0.8, = 0.75)

f (-077) = 0.5929> g (-0.77) = 0.586 …

Otras iteraciones deberían centrarse en el valor con mayor precisión

Answer 16

Usar Gráficos ES una forma matemática de resolver ecuaciones.

¿Por qué tanta gente en Quora parece ignorar los métodos gráficos?

A continuación, he dibujado y = x ^ 2 e y = 2 ^ x

Dos soluciones bastante obvias son x = 2 porque ambas gráficas se cruzan en (2, 4)

yx = 4 porque ambas gráficas se cruzan en (4,16)

La solución sorpresa es x = – 0.7667 porque ambas gráficas se cruzan en el punto inesperado (- 0.7667, 0.5878)

Desafortunadamente, no existe un método algebraico simple para resolver tales ecuaciones.

Answer 17

La única forma en que puedo pensar para resolver esto es pensarlo de esta manera:

Piensa en los números más lógicos:
Si en el primer término (x ^ 2), x se eleva a la potencia de 2 y en el otro lado de la ecuación, 2 se eleva a la potencia de x, x debe ser igual a 2.

Por lo tanto, una solución es x = 2

Se puede encontrar otra solución usando el hecho único de que 4 ^ 2 = 2 ^ 4
Por lo tanto, otra solución es x = 4

Sin embargo, hay una tercera solución que se puede ver graficando f (x) = x ^ 2–2 ^ x pero no puedo encontrar un método para encontrarla algebraicamente (x = -0.766664696)

Answer 18

Cualquier solución probablemente tendrá un carácter analítico (por ejemplo, Newton-Raphson, si eso no es analítico, ¿qué más es?), Pero creo que eso no es lo que quiere decir.

Si desea una carrera rápida a través de algunas ingeniosas transformaciones algebraicas, al final de las cuales aparece una fórmula simple de forma cerrada, me temo que es muy probable que no haya ninguna. Gente más inteligente que yo no he podido encontrar uno.

Por supuesto, es bueno tener una expresión simple en términos de funciones elementales, pero eso está atascado. Su declaración de la ecuación que satisface x es en realidad mejor en brevedad y claridad de lo que probablemente sea cualquier “respuesta”. Hay claramente dos soluciones reales (las soluciones no reales presentan problemas de definición). El resto es solo – números.

POR FAVOR, IGNORE LA SIGUIENTE SENTENCIA. ¡Vea mi propio comentario más adelante para más detalles!

x no puede ser racional (piense en el gran teorema de Lindemann; log 2 debería ser algebraico).

Ya no tiene forma de encontrar una representación numérica de un valor irracional, excepto por algún tipo de aproximación. Por supuesto, puede escribir irracionales (pi, sqrt (3)), pero entre la definición y un número siempre hay un deslizamiento. sqrt (3) es 10 en base sqrt (3), pero eso no ayuda. La forma cerrada se ve bien, pero cuando se trata de encontrar un número, casi ninguna forma no racional es realmente “directa”.

Answer 19

No es necesario en este caso, ya que se me pidió que memorizara esto en el 7º grado (clase de matemáticas), además, la respuesta es trivial;

3 ^ 3 = 3 * 3 * 3 = 27 … eso es 3 cubos.

Además, x (2) = 2 (x) produce 2 ^ 2 = 2 * 2 = 4 que es 2 al cuadrado.

Esto es en realidad las partes iniciales de una serie: (x = y: 1, infinito) → x (y) = y (x)

Answer 20

Está comprobado que ayuda al método de seguimiento y error

Pon x = 1, 2, 3, …

Pon x = 1, entonces 1 ^ 2 no es igual a 2 ^ x

Pon x = 2 y luego 2 ^ 2 = 2 ^ 2

Pon x = 3, entonces 3 ^ 2 no es igual a 2 ^ 3

Pon x = 4 luego 4 ^ 2 = 2 ^ 4

Poner x = 5, 6, 7, 8 …… no es igual

Por lo tanto, creo que 2,4 es adecuado para ‘x’.

Cualquier número excepto 2, 4 no es adecuado para x

Entonces la respuesta requerida es x = 2, 4.