En primer lugar, deberíamos poder ver mediante una mínima cantidad de manipulación y mediante alguna observación de la ecuación cuadrática dada, x² + 2x – 8 = 20, que no se puede resolver factorizando el conjunto de enteros.
Las dos mejores formas de resolver la ecuación cuadrática dada son (1.) la fórmula cuadrática o (2.) completar el cuadrado.
(1.) La fórmula cuadrática
La fórmula cuadrática viene dada por: x = [–b ± √ (b² – 4ac)] / 2a.
- ¿Cuál es la respuesta a la siguiente ecuación diferencial: [matemáticas] y ” = y ^ {- 2} [/ matemáticas]?
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- ¿Cómo comenzaría a resolver la ecuación [matemáticas] (12x ^ 3 + 108x) \ log (x + \ frac {1} {4}) [/ matemáticas] = [matemáticas] (x ^ 2 + 9) \ tan ( x + 4) [/ matemáticas]?
Antes de usar la fórmula cuadrática, primero pongamos la ecuación cuadrática dada en la forma estándar, es decir, ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0.
x² + 2x – 8 = 20
x² + 2x – 8-20 = 20-20
x² + 2x – 28 = 0, donde a = 1, b = 2 y c = –28.
Ahora, sustituyendo en la fórmula cuadrática, tenemos:
x = {–2 ± √ [(2) ² – 4 (1) (- 28)]} / [(2) (1)]
= [–2 ± √ (4 + 112)] / 2
= [–2 ± √ (116)] / 2
= [–2 ± 2√ (29)] / 2
x = –1 ± √ (29)
Verificar (muy importante) :
x = –1 – √ (29)
x² + 2x – 8 = 20
[–1 – √ (29)] ² + 2 [–1 – √ (29)] – 8 = 20
1 + 2√ (29) + 29 –2 – 2√ (29) – 8 = 20
(1+ 29 – 2 – 8) + [2√ (29) – 2√ (29)] = 20
20 + 0 = 20
20 = 20
x = –1 + √ (29)
x² + 2x – 8 = 20
[–1 + √ (29)] ² + 2 [–1 + √ (29)] – 8 = 20
1 – 2√ (29) + 29 – 2 + 2√ (29) – 8 = 20
(1+ 29 – 2 – 8) + [–2√ (29) + 2√ (29)] = 20
20 + 0 = 20
20 = 20
Por lo tanto, la solución establecida para la ecuación dada es {–1 ± √ (29)} .
(2.) Completando el cuadrado
x² + 2x – 8 = 20
x² + 2x – 8 + 8 = 20 + 8
x² + 2x + (1) ² = 28 + (1) ²
x² + 2x + 1 = 29
(x + 1) ² = 29
√ (x + 1) ² = ± √ (29)
x + 1 = ± √ (29)
x + 1 – 1 = ± √ (29) – 1
x = –1 ± √ (29)
NOTA
Hay una tercera forma de resolver la ecuación cuadrática dada: graficando . Solo recomendaría usar este método si tiene una calculadora gráfica como un modelo TI-89. Primero, coloque la ecuación dada en la forma estándar de x² + 2x – 28 = 0, luego ingrese esto en la sección de trazado como y = x² + 2x – 28. Luego, use la función gráfica para trazar esta ecuación, y = x² + 2x – 28. Luego, en “Matemáticas”, use la función “Cero” en la ventana de gráficos para encontrar los dos ceros del gráfico (una parábola), es decir, las dos coordenadas x (valores) donde el gráfico cruza la x -eje; Estos dos valores de x son las dos soluciones a nuestra ecuación cuadrática dada; sin embargo, la calculadora solo puede darle una aproximación decimal; Mi calculadora gráfica TI-89 me dio aproximaciones redondeadas a 5 decimales, es decir, x = –6.38516 ≈ –1 – √ (29) yx = 4.38516 ≈ –1 + √ (29) .
