¿Qué significa no tener soluciones analíticas para las ecuaciones de Navier-Stokes?

Answer 1

Ahora, el caso con los navegadores Stokes es el término no lineal y de presión. Cuando intenta resolver una solución analítica, la solución explota y tiene singularidades. Algunos investigadores creen que es el término de presión el demonio, algunos dicen que es el término no lineal. Sin embargo, la turbulencia es un importante factor de gobierno. Cuando hablamos de una solución analítica a NS, no solo hablamos de PDE, también hablamos de dinámica no lineal. El PDE es altamente sensible a las condiciones iniciales. Hay muchas otras cosas que me pueden faltar. De ninguna manera soy elegible para responder matemáticamente esta pregunta. Según tengo entendido, actualmente lidiamos con la turbulencia de manera estadística, pero todavía estamos usando ecuaciones deterministas en lugar de las formas estocásticas. Podría estar fácilmente equivocado en este asunto. Pero esa es mi opinión sobre las hermosas ecuaciones NS.

Answer 2

Significa que no puede resolver las ecuaciones de Navier Stokes (NS) en papel para definir un campo de flujo. La razón por la que somos incompetentes para resolver estas ecuaciones es porque son lo que llamamos ecuaciones diferenciales parciales (PDE), es decir, la variable dice que la velocidad no solo depende de un factor, sino de varios, como el tiempo y las tres coordenadas del espacio.
Todos hemos resuelto las Ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) en nuestra clase de cálculo. Por ejemplo, si dy / dx = m (donde m es una constante), entonces claramente y = mx + c, donde c se obtiene por una condición de frontera relevante. Esta es una ODE de primer orden, es decir
la variable y depende solo de x y es bastante fácil de resolver. Imagínese si dijera que y depende de x, así como del tiempo t. Obviamente no puedes integrarte ahora mismo. Necesitará otra ecuación que relacione cualquiera de las variables. Entonces la complejidad es más. Este es un PDE.
El mayor problema con NS es que no solo son PDE, sino que en muchos casos (leer flujos viscosos), de segundo orden y eso aumenta la complejidad.

Entonces, la única forma actual de resolver estas ecuaciones es por aproximación, en lugar de calcular el campo de flujo como un todo, lo desglosamos en volúmenes o elementos finitos más manejables y luego calculamos las propiedades de flujo en los nodos de estos volúmenes. Usando una función de extrapolación, obtenemos el campo de flujo como un todo. Eso suena bien, pero todavía tenemos que resolver las ecuaciones diferenciales, ¿cómo lo hacemos? Bueno, también aproximamos las ecuaciones. Entonces, por ejemplo, dy / dx se convierte en §y / §x = [Y (i + 1) – Y (i)] / [X (i + 1) – X (i)], donde el diferencial se aproxima aquí por La diferencia finita entre los nodos i + 1 e i. Este es un ejemplo de interpolación directa. Hay esquemas hacia atrás, centrales y una gama de otros para aproximar el diferencial basado en el campo de flujo que tendemos a esperar y el nivel correspondiente de precisión que deseamos.

En este momento somos incapaces de resolver ecuaciones tan complejas, por lo que hacemos suposiciones en las que podemos descuidar muchos términos del NS (¡uf!) O podemos usarlos como están y resolverlos computacionalmente, un campo nuevo y emocionante por el nombre de dinámica de fluidos computacional.

Answer 3

Hay muchas soluciones para algunos casos de las ecuaciones de Navier-Stokes. Sin embargo, todavía no hay una solución general. Además, hay algunas simplificaciones que aún no tienen soluciones. Ejemplos de esos problemas son los que involucran turbulencia.

Para superar este problema, es común resolver numéricamente las ecuaciones de Navier-Stokes. Por ejemplo, la simulación a continuación muestra el flujo alrededor de un auto de carreras F1. Sería extremadamente difícil resolverlo analíticamente. Probablemente poco práctico, incluso si hubiera una manera de hacerlo. Sin embargo, resolverlo numéricamente solo requiere un buen poder computacional y conocimiento en física.

Análisis aerodinámico de un auto de Fórmula Uno F1 Race

Answer 4

Las ecuaciones de Navier Stokes son esencialmente PDE acopladas. Por soluciones analíticas, queremos decir que existen relaciones / funciones explícitas para la velocidad, la aceleración como relaciones explícitas de tiempo y posición.
Por ejemplo, el ODE [dy] [/ dx] = x tiene una solución analítica y = 0.5 (x ^ 2) + c.
Para resumir, la gente no ha podido resolver (hasta ahora) explícitamente las soluciones para los stokes de los navegadores.