¿Qué significa una función? ¿Cómo es diferente de una ecuación?

Answer 1

Volvamos a lo básico.

Supongamos que tenemos dos conjuntos [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática]. Podemos definir el producto cartesiano de dos conjuntos como [math] A \ times B = \ {(a, b) | a \ in A, b \ in B \} [/ math] (en palabras, ‘El producto cartesiano de dos conjuntos es el conjunto de pares ordenados [matemática] (a, b) [/ matemática] tal que [matemática] a [/ matemática] está en [matemática] A [/ matemática] y [matemática] b [/ matemática] es en [matemática] B [/ matemática]; [matemática] a \ en A [/ matemática] significa ‘[matemática] a [/ matemática] es un elemento de [matemática] A [/ matemática]’).

Podemos definir una función [matemática] f [/ matemática] entre [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática] como un subconjunto de [matemática] A \ veces B [/ matemática] (en teoría de conjuntos notación [matemática] f \ subconjunto A \ veces B [/ matemática]) con la siguiente condición:
Si [matemática] (a, b) \ en f [/ matemática] y [matemática] (a, c) \ en f [/ matemática], entonces [matemática] b = c [/ matemática].

En otras palabras, si consideramos que el primer elemento del par ordenado es la ‘entrada’ de la función, entonces cada entrada tiene solo 1 salida.

Notación sabia, escribimos [matemática] f: A \ a B [/ matemática], lo que significa que [matemática] f [/ matemática] es una función de [matemática] A [/ matemática] a [matemática] B [/ matemática]. También escribimos [matemáticas] f (a) = b [/ matemáticas] cuando queremos decir [matemáticas] (a, b) \ en f [/ matemáticas].

Entonces, todo esto es probablemente un poco diferente de lo que has visto si no has tomado un curso de matemáticas de nivel superior. La forma en que hemos definido una función arriba es bastante general; incluye muchas cosas que probablemente no se parecen a las funciones “agradables” a las que solías. Sin embargo, la generalidad es agradable, porque ahora tenemos una definición de una función que es algo concreta (es un conjunto en sí misma) en lugar de una regla vaga. También nos permite definir funciones en una amplia variedad de estructuras matemáticas, desde los números reales hasta los espacios vectoriales, pasando por grupos, anillos, campos y más.

Una ecuación simplemente dice que dos cosas son iguales, para una definición específica de igualdad.

Podemos definir funciones con ecuaciones. Vamos a definir la función [matemática] f (x) = x ^ 2 [/ matemática] (donde [matemática] x [/ matemática] y [matemática] f (x) [/ matemática] son ​​reales) como un conjunto usando una ecuación .
[matemáticas] f = \ {(x, y) | x \ in \ mathbb {R}, y = x ^ 2 \} [/ matemáticas]
Esto significa que para todos los números reales [matemática] x [/ matemática], [matemática] (x, x ^ 2) [/ matemática] es un elemento de [matemática] f [/ matemática].

Espero que esto lo deje claro, o al menos te dé una mejor comprensión.

Answer 2

Coloquialmente, a menudo se usan en la misma configuración, pero su significado matemático es diferente.

Una ecuación es una declaración matemática que equipara dos expresiones .

Por ejemplo:

y = x + 4 o 2 = x – 7

Una función es una relación donde cada entrada tiene exactamente una salida . En términos más matemáticos, cada valor en el dominio corresponde exactamente a un valor en el rango.

Por ejemplo:

f (x) = x + 4 o g (x) = {(2,3) (4,5) (1,20)}

En este caso, f (1) = 5 yg (1) = 20. Como acaba de ver, muchas funciones se definen con expresiones, pero otras veces se definen de otras maneras, como un conjunto de pares ordenados. A los matemáticos a menudo les gusta escribir y = x + 4 en lugar de f (x) = x + 4.

Además, no todas las ecuaciones formarán una relación funcional. Por ejemplo: [matemática] x ^ 2 + y ^ 2 = 1 [/ matemática] es la ecuación para un círculo. Si resuelve x o y, obtendrá una relación que no es una función.