La ecuación dada es una ecuación diferencial parcial lineal lineal de primer orden de la forma:
[matemáticas] \ displaystyle x \ frac {\ partial u (x, y)} {\ partial x} + y \ frac {\ partial u (x, y)} {\ partial y} = 1 [/ math]
Daré la solución a esta ecuación con la ayuda de Mathematica.
La función incorporada de Mathematica DSolve [] se puede utilizar para resolver ecuaciones diferenciales tanto ordinarias como parciales.
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Teniendo en cuenta la condición inicial dada y escribiendo:
sol = DSolve [{x D [u [x, y], x] + y D [u [x, y], y] == 1, u [1, y] == y}, u [x, y ], {x, y}]
produce el siguiente resultado o salida:
{u [x, y] -> (y + x Log [x]) / x}
cual es la solucion Esto se puede expresar como:
[matemáticas] \ displaystyle u (x, y) = \ frac {x \ ln (x) + y} {x} = \ frac {y} {x} + \ ln (x) [/ math]
Se puede hacer un diagrama 3D de la solución escribiendo:
Plot3D [u [x, y] /. sol, {x, -2, 6}, {y, -2, 6}, PlotRange -> {-1, 20}, Malla -> Ninguno]
Y se obtiene la siguiente trama:
