Cómo derivar la ecuación del cohete de Tsiolkovsky

Answer 1

La siguiente derivación aparece en muchos libros, estoy usando Spaceflight Dynamics de Wiesel como referencia (lo simplificaré a forma escalar de forma vectorial).

Debemos considerar un cohete que tiene una masa [matemática] m [/ matemática] y una velocidad [matemática] v [/ matemática]. Poco tiempo después, decimos [math] dt [/ math] debemos rastrear una partícula que es expulsada desde la parte posterior de la boquilla, esta partícula tiene masa [math] -dm [/ math] y una velocidad de escape de [math] – V_e [/ matemáticas]. Entonces el cohete tiene una nueva masa de [matemáticas] m – (- dm) = m + dm [/ matemáticas] (esto a veces es una fuente de confusión, pero recuerde que la masa perdida es [matemáticas] -dm [/ matemáticas]) . El cohete tiene entonces una nueva velocidad de [matemáticas] v + dv [/ matemáticas]. Entonces podemos escribir esto de la siguiente manera usando la conservación del momento lineal:

[matemáticas] mv = (m + dm) (v + dv) – dm (v-V_e) [/ matemáticas]

Lo escribimos de tal manera que el cohete y la partícula expulsada estén en un sistema cerrado. El primer término [math] mv [/ math] es el impulso original del cohete cuando la partícula aún no fue expulsada. Entonces [math] (m + dm) (v + dv) [/ math] es el nuevo impulso del cohete a medida que se expulsa la partícula, y [math] – dm (v-V_e) [/ math] es el impulso de la partícula

Ahora podemos simplemente multiplicar esto (ignoramos los términos de segundo orden, por ejemplo, dm dv):

[matemáticas] m dv + dm V_e = 0 [/ matemáticas]

Dividimos por dt y tomamos el límite, también asumimos que no hay fuerzas externas, entonces tenemos:

[matemáticas] m \ frac {dv} {dt} = -V_e \ frac {dm} {dt} [/ matemáticas]

Integre la masa de [matemática] m_i [/ ​​matemática] a [matemática] m_f [/ matemática] y la velocidad de [matemática] v_i [/ ​​matemática] a [matemática] v_f [/ matemática]:

[matemáticas] -V_e \ int_ {m_i} ^ {m_f} \ frac {dm} {m} = \ int_ {v_i} ^ {v_f} dv [/ math]

Podemos voltear las masas para deshacernos del signo negativo al frente, y luego obtenemos la ecuación del cohete de la siguiente manera:

[matemáticas] \ Delta v = V_e ln \ frac {m_i} {m_f} [/ matemáticas]

Nota importante: no puede obtener la ecuación del cohete modificando la segunda ley de Newton como:

[matemáticas] \ frac {dp} {dt} = ma + \ frac {dm} {dt} v [/ matemáticas]

La razón es porque esto solo mira el cohete en sí, la velocidad aquí es solo del cohete y no de la partícula expulsada, es decir, el escape del cohete. En consecuencia, cuando la velocidad del cohete es cero, ya que estaría inicialmente en la plataforma de lanzamiento, no podría despegar.

Answer 2

Permítanme dividir la derivación de esta ecuación en unos pocos pasos.

1. Suponga que está mirando un cohete volando por el espacio exterior (de modo que esté en reposo en el marco inercial y no haya fuerza de arrastre o gravitacional)
2. Digamos que la velocidad en el tiempo t = v y la masa del cohete es m
3. En el momento t + dt se convierte en velocidad de cohete v + delta (t) y la masa se convierte en m – delta (m)
4. La reducción en la masa del cohete no es más que los gases de escape que han sido expulsados. Así, la masa del gas expulsado es delta (m)
5. Si la ley de conservación del momento lineal se cumple, el momento del sistema en el tiempo t = momento del sistema en el tiempo t + delta (t)
6. O Momento del cohete en el tiempo t = Momento del cohete (con masa reducida) + Momento de los gases
7. Si haces esto, obtendrás una ecuación como en la esquina superior derecha de la imagen de abajo
8. Consulte la derivación a partir de entonces.
9. La velocidad de los gases se toma como “u” en relación con el cohete, pero cuando se aplica a la ecuación, deberá tomarla con referencia a la tierra como marco inercial (por lo tanto, u = vu)
10. Tendrá que recordar que cuando convierte delta (m) / delta (t) en forma diferencial, se volverá negativo ya que la masa del cohete se está reduciendo. (Ver explicación sobre el RHS en la foto)
11. Si observa de cerca la ecuación logarítmica, encontrará que un cohete acelerará en la misma medida si pierde una fracción de masa similar: es decir, pasar de m a m / 2 da la misma aceleración que pasar de m / 2 a m / 4

También puedes ver este video que explica muy bien el concepto

La ecuación del cohete – CBSE (clase 11), IIT-JEE, NEET. Física AP # 10

Answer 3

Comenzamos con la conservación del momento lineal.

[matemática] \ dot p = m \ dot v + \ dot mv = 0 [/ math]

Ahora tenemos el cohete acelerador que pierde masa a una velocidad constante y la corriente continua de escape a velocidad constante, que debe equilibrarse.

[matemática] (m_0- \ dot mt) \ dot v_ {cohete} + \ dot m v_ {exhaust} = 0 [/ matemática]

La activación del propulsor durante algún tiempo hace que el cohete se acelere.

[matemáticas] \ Delta v_ {cohete} = v_ {escape} \ displaystyle \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ frac {dt} {(t-t_0) – \ frac {m (t_0)} {\ dot m} }[/matemáticas]

La integral ahora debería ser estándar.

Sugerencia: [matemáticas] \ dot m = \ frac {m (t_1) -m (t_0)} {t_1-t_0} [/ matemáticas]

Answer 4

Al visitar y leer: Ecuación de cohete ideal y ecuación de cohete Tsiolkovsky

Una descripción más simple: página en mit.edu

En resumen, puede considerar la masa en sí misma como una variable en el cambio de momento lineal (después del segundo de Newton).
[matemática] F = \ frac {d mv} {dt} = v \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt} [/ math]
Dado que no hay fuerza externa en el sistema, y ​​la velocidad de escape es una constante
[matemáticas] v_e \ frac {dm} {dt} + m \ frac {dv} {dt} = 0 [/ matemáticas]
O,
[matemáticas] v_e.dm = -m .dv [/ matemáticas]
y
[matemáticas] v_e \ frac {dm} {m} = – {dv} [/ matemáticas]
Integrando y tomando los límites apropiados (masa inicialmente, m_i, y finalmente m_f, y velocidad del cohete inicialmente 0, finalmente V), obtenemos
[matemáticas] V = -v_e \ log \ frac {m_f} {m_i} [/ matemáticas].

Esta derivación, aunque breve, no es técnicamente precisa y solo proporciona una descripción introductoria de cómo se puede derivar la fórmula. La página de la NASA proporciona una explicación detallada. Esta pregunta se edita según las sugerencias del usuario de Quora.

Answer 5

Derivé la ecuación del cohete Tsiolkovsky usando Cálculo.

Entonces haz tus operaciones de logaritmo …

Lo siento, esto parece descuidado. Ya es la 1 AM aquí y tengo muchas ganas de dormir.