Si [math] \ alpha, \ beta, \ gamma [/ math] son ​​las raíces de [math] x ^ 3 + 2x ^ 2 + 3x +3 = 0 [/ math], entonces, ¿cómo calculo el valor de [ matemática] \ left (\ frac {\ alpha} {\ alpha + 1} \ right) ^ 3 + [/ math] [math] \ left (\ frac {\ beta} {\ beta + 1} \ right) ^ 3 + [/ math] [math] \ left (\ frac {\ gamma} {\ gamma + 1} \ right) ^ 3 [/ math]?

Answer 1

Nuestro trabajo será mucho más fácil si podemos encontrar una ecuación cuyas raíces sean de la forma:

[matemática] A = α / α + 1, Β = β / β + 1, C = γ / γ + 1 [/ matemática]

Sea Y la raíz general de la ecuación requerida relacionada con la raíz general de la ecuación dada por la relación:

Y = α / α + 1 o α = Y / 1-Y

Sustituyendo en la ecuación dada, obtenemos una ecuación cúbica en Y, que es la ecuación requerida.

Nueva ecuación: [matemáticas] Y ^ 3-5Y ^ 2 + 6Y-3 = 0 [/ matemáticas]

Ahora, [matemáticas] A ^ 3 + B ^ 3 + C ^ 3 = (A + B + C) (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2-AB-BC-CA) + 3ABC [/ matemáticas]

[matemáticas] A + B + C = 5, AB + BC + CA = 6, ABC = 3, A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2 = (A + B + C) ^ 2-2 (AB + BC + CA) = 13 [/ matemáticas]

Sustituyendo los valores, obtenemos:

[matemáticas] A ^ 3 + B ^ 3 + C ^ 3 = (5 * 7) + 9 = 44 [/ matemáticas]

Answer 2

Graficaba la función en software. Solo puede ver una raíz real. Utilicé el método de iteración y descubrí que esta raíz es aproximadamente alrededor de x = —1.39, por lo que puede tomar (x + 1.39) como factor.

Si las raíces que mencionó en la pregunta son reales, entonces la expresión que dio no tiene sentido. Si las raíces pueden ser reales o imaginarias, aquí es cómo encontrar una aproximación del valor.

Escribí la ecuación cuadrática en términos del factor lineal y el factor cuadrático. Encuentra las raíces complejas del factor cuadrático usando la fórmula cuadrática. Sustituir las 3 raíces en la expresión requerida. Debido al largo proceso de evaluación de números complejos, utilicé una calculadora científica.

Answer 3

Considerar,
[matemática] y = \ dfrac {x} {1 + x} [/ matemática] o en otras palabras, [matemática] x = \ dfrac {y} {1-y} [/ matemática].
Si sustituye eso como x en la ecuación cúbica dada, obtenemos una nueva ecuación,
[matemáticas] y ^ 3-7y ^ 2 + 6y + 3 [/ matemáticas].
[matemática] A = \ dfrac {\ alpha} {1+ \ alpha} [/ matemática], [matemática] B = \ dfrac {\ beta} {1+ \ beta} [/ matemática], [matemática] C = \ dfrac {\ gamma} {1+ \ gamma} [/ math] son ​​las raíces de la nueva ecuación anterior.
Así, A + B + C = 7, AB + BC + AC = 6 y ABC = -3
[matemáticas]
A ^ 3 + B ^ 3 + C ^ 3 = [/ matemáticas] [matemáticas] (A + B + C) ^ 3 – [/ matemáticas] [matemáticas] 3 (A + B + C) (AB + BC + CA ) +3 ABC
[/matemáticas]
[matemáticas]
= 343-126-9
= 208
[/matemáticas]